材料力学公式大全.docx

材料力学公式大全.docx

《材料力学公式大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学公式大全.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

材料力学公式大全

材料力学常用公式

1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）

2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式

3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正）

4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）

5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）

6.纵向线应变和横向线应变

7.泊松比

8.胡克定律

9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?

10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

11.轴向拉压杆的强度计算公式

12.许用应力，脆性材料，塑性材料

13.延伸率

14.截面收缩率

15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g）

16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式

17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆

（b）空心圆

18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）

19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式

20.扭转截面系数，（a）实心圆

（b）空心圆

21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0/10，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式

22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式

23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或

24.等直圆轴强度条件

25.塑性材料；脆性材料

26.扭转圆轴的刚度条件?

或

27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,

28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,

29.平面应力状态的三个主应力,,

30.主平面方位的计算公式

31.面内最大切应力

32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，

33.三向应力状态最大与最小正应力,

34.三向应力状态最大切应力

35.广义胡克定律

36.四种强度理论的相当应力

37.一种常见的应力状态的强度条件，

38.组合图形的形心坐标计算公式，

39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式

40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径?

41.平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）

42.纯弯曲梁的正应力计算公式

43.横力弯曲最大正应力计算公式

44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?

，，

45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）

46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式

48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式

49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

51.弯曲正应力强度条件

52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件

53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，

54.梁的挠曲线近似微分方程

55.梁的转角方程

56.梁的挠曲线方程?

57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式

58.偏心拉伸（压缩）

59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，

60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为

61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式

62.

63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式

64.剪切实用计算的强度条件

65.挤压实用计算的强度条件

66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式

67.压杆的约束条件：

（a）两端铰支μ=l

b）一端固定、一端自由μ=2

c）一端固定、一端铰支

（d）两端固定μ=

68.压杆的长细比或柔度计算公式，

69.细长压杆临界应力的欧拉公式

70.欧拉公式的适用范围

71.压杆稳定性计算的安全系数法

72.压杆稳定性计算的折减系数法

73.关系需查表求得

1、材料力学的任务：

强度、刚度和稳定性；

应力单位面积上的内力

平均应力pmFA

正应力垂直于截面的应力分量，用符号

切应力相切于截面的应力分量，用符号

应力的量纲：

国际单位制：

Pa（N/m2）、MPa、GPa

22

工程单位制：

kgf/m2、kgf/cm2

线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。

外力偶矩

传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。

当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

P

Me9549（N.m）

n

当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

P

Me7024（N.m）

n

拉（压）杆横截面上的正应力

式中FN为该横截面的轴力，A为横截面面积。

正负号规定拉应力为正，压应力为负。

公式（3-1）的适用条件：

（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；

（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；

（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角200时

拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为

全应力p

cos

（3-2）

正应力

2cos

（3-3）

切应力

1sin2

2

（3-4）

式中为横截面上的应力。

正负号规定：

由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

拉应力为正，压应力为负。

纵截面上，=90=0。

（2）当450时，即与杆轴成450的斜截面上，达到最大值，即（）max

1．2拉（压）杆的应变和胡克定律

（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。

如图3-2。

图3-2

bb1b

（b）在计算l时，l长度内其N、求其代数和得总变形。

即

nNili（3-7）

i1EiAi

（3）泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。

即

（3-8）

表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段

阶段

图1-5中线段

特征点

说明

弹性阶段

oab

比例极限p

p为应力与应变成正比的最高应力

弹性极限e

e为不产生残余变形的最高应力

屈服阶段

bc

屈服极限s

s为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力

强化阶段

ce

抗拉强度b

b为材料在断裂前所能承受的最大名义应力

局部形变阶段

ef

产生颈缩现象到试件断裂

表1-2主要性能指标

性能

性能指标

说明

弹性性能

弹性模量E

当p时，E

强度性能

屈服极限s

材料出现显著的塑性变形

抗拉强度b

材料的最大承载能力

延伸率l1l100%

l

材料拉断时的塑性变形程度

截面收缩率AA1100%A

材料的塑性变形程度

塑性性能

材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

强度计算

许用应力

其中ns,nb称为安全系数，且大于1。

强度条件：

构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸（压缩）杆件

3-9）

N

A

按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。

切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。

表示。

纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。

切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即

G（3-10）

2.5.2

切应力计算公式

2.5.3切应力公式讨论

1）切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。

2）极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt是截面几何特征量，计算公式见表3-3。

在面积

不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。

因此，设计空心轴比实心轴更为合理。

表3-3

实心圆

（外径为d）

Ip3d24

p32

Wtd3t16

空心圆（外径为D，内径为d）

D44

Ip（1a4）32

da

D

D44

Wt（1a4）

t16

2.5.4强度条件

圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。

因此，强度条

3-15）式中为材料的许用切应力。

式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；IE是横截面对中性轴Z

轴的惯性矩。

式中，M是横截面上的弯矩；IZ的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离

3-18）

1bh2；对于直径为D

6

Wz32D3（1a4）。

若不是对称轴，则最大

大压应力点距中性轴的距离。

式中，WzIz称为抗弯截面系数。

对于hb的矩形截面，Wz

ymax

3d

的圆形截面，WzD3；对于内外径之比为a的环形截面，

32D若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，拉应力与最大压应力数值不相等。

梁的正应力强度条件

式中，Q是横截面上的剪力；Sz是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；

Iz是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。

3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。

近似计算腹板上的最大切应力：

max

Fsd为腹板宽度h1为上下两翼缘内侧距dh1

3.3.3

圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。

（3-25）圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。

切应力强度条件

式中，Qmax是梁上的最大切应力值；Szmax是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；Iz是横

截面对中性轴的惯性矩；b是max处截面的宽度。

对于等宽度截面，max发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，max不一定发生在中性轴上。

剪切的实用计算

，则名义切应力为

名义切应力：

假设切应力沿剪切面是均匀分布的（3-27）

剪切强度条件：

剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力,即

3-28）

Q

A

挤压的实用计算

名义挤压应力假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则bsPbsbs

bsAbsbs

（3-29）

式中，Abs表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。

当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的投影面积。

挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力

若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为

公式（）的适用条件：

2）在长度l内，T、G、IP均为常量。

当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计

当T、IP沿轴线连续变化时,用式计算。

2，刚度条件

扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角'max不得超过许可的单位长

度扭转角

',即

'maxTGmIaPx'（rad/m）

式'maxTmax180'（/m）

maxGIP

1M

EI

2，挠曲线的近似微分方程及其积分

在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系

对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得

EI

利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即''Mx

''EI

MxdxCEI

将上式积分一次得转角方程为

式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。

当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。

3，梁的刚度条件

刚度条

限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的

件，即

max

max，

3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能

在线弹性范围内，由功能原理得

横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（）

2．截面几何性质的定义式列表于下：

静矩

惯性矩

惯性半径

惯性积

极惯性矩

SyzdA

yA

Iyz2dA

yA

iy

IyA

IyzAyzdA

IpAp2dA

SzAydA

2

Izy2dA

zA

iz

IzA

3．惯性矩的平行移轴公式

IyIyCa2A

IzIzCb2A

静矩：

平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。

定义式：

SyzdA，SzydA（Ⅰ-1）

AA

量纲为长度的三次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。

则

由此可得薄板重心的坐标

zC为

AzC

zC

AzdASy

AzdASyAA

同理有

yC

Sz

A

所以形心坐标zC

Sy，

yC

Sz

（Ⅰ-2）

A

A

或SyAzC，Sz

A

yC

由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC0，

Sz0；zC0，则Sy0；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。

设第I块分图形的n面积为Ai，形心坐标为yCi,zCi，则其静矩和形心坐标分别为SzAiyCi，

ni1SyAizCi（Ⅰ-3）

i1

Ⅰ-2惯性矩和惯性半径

量纲为长度的四次方，恒为正。

相应定义

Ⅰ-6）

iyA，iz

（Ⅰ-9）

式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

Ⅰ-10）

下式IyzyzdA

Iyz可能

定义为图形对一对正交轴y、z轴的惯性积。

量纲是长度的四次方。

简单证明之：

同理可证（I-13）中的其它两式。

结论：

同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。

在使用

惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。

把斜截面上的总应力p分解成与斜截面

垂直的正应力n和相切的切应力n（图13.1c）,则其与主应力的关系为

12l222m232n2n2

在以n为横坐标、n为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上

的正应力

n和切应力n为由三个主应力所确定的三个圆所

围成区域（图中阴影）中的一点。

由图显见

max

13

2

图13.2