高中数学必修一第二章 21 第1课时.docx

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高中数学必修一第二章21第1课时

2．1　等式性质与不等式性质

第1课时　不等关系与不等式

学习目标

　1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．

知识点一　基本事实

两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a

依据

如果a>b⇔a－b>0.

如果a＝b⇔a－b＝0.

如果a

结论

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小

思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？

答案　作差：

x2＋1－2x＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x.

知识点二　重要不等式

∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

预习小测　自我检验

1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．

答案　T≤40

解析　“限重40吨”是不超过40吨的意思．

2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．

答案　M≥N

解析　因为M－N＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以M≥N.

3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．

答案　c－2b

解析　c－2a－（c－2b）＝2b－2a＝2（b－a）<0.

4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．

答案　2

一、用不等式（组）表示不等关系

例1　《铁路旅行常识》规定：

一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……

设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系.

文字表述

身高在1.2～1.5米

身高超过1.5米

身高不足1.2米

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米

符号表示

解　由题意可获取以下主要信息：

（1）身高用h（米）表示，物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）；

（2）题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．

身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，

身高超过1.5米可表示为h>1.5，

身高不足1.2米可表示为h<1.2，

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：

文字表述

身高在1.2～1.5米

身高超过1.5米

身高不足1.2米

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米

符号表示

1.2≤h≤1.5

h>1.5

h<1.2

P≤160

反思感悟

（1）将不等关系表示成不等式（组）的思路

①读懂题意，找准不等式所联系的量．

②用适当的不等号连接．

③多个不等关系用不等式组表示．

（2）常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于，高于，超过

小于，低于，少于

大于等于，至少，不低于

小于等于，至多，不超过

符号语言

>

<

≥

≤

跟踪训练1　某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

解　提价后销售的总收入为

x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

x≥20（2.5≤x<6.5）．

二、作差法比较大小

例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

解　∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）

＝a2（a－b）＋b2（b－a）

＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）．

当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；

当a≠b时，（a－b）2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.

综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.

延伸探究

1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？

解　（a5＋b5）－（a3b2＋a2b3）＝a5－a3b2＋b5－a2b3

＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）

＝（a2－b2）（a3－b3）

＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）．

∵a>0，b>0，

∴（a－b）2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.

∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.

2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？

解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.

反思感悟　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：

作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．

跟踪训练2　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．

解　∵（x3－1）－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1

＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2

＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1）

，

又∵

2＋

>0，x－1<0，

∴（x－1）

<0，∴x3－1<2x2－2x.

重要不等式

典例　已知a>0，求证：

a＋

≥2.

证明　方法一　利用a2＋b2≥2ab.

∵a>0，∴a＋

＝（

）2＋

2≥2

·

＝2.

方法二　a＋

－2＝（

）2＋

2－2＝

2≥0，

∴a＋

≥2.

[素养提升]　由a＋

构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．

1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.

2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是（　　）

A．5x＋4y<200B．5x＋4y≥200

C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200

答案　D

解析　由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.

3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　）

A．a>bB．a

C．a≥bD．a≤b

答案　C

解析　a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.

4．若x＝（a＋3）（a－5），y＝（a＋2）（a－4），则x与y的大小关系是________．

答案　x

解析　x－y＝（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7<0，所以x

5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________．

答案　

解析　由题意得

即

1．知识清单：

（1）实际问题，找不等关系，构建不等式（组）．

（2）比较大小．

（3）重要不等式．

2．方法归纳：

作差法．

3．常见误区：

实际问题中变量的实际意义．

1．下列说法正确的是（　　）

A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000”

B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”

C．变量x不小于a可表示为“x≥a”

D．变量y不超过a可表示为“y≥a”

答案　C

解析　对于A，x应满足x≤2000，故A错误；对于B，x，y应满足x

2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（　　）

A．4×

≥100B．4×

≤100

C．4×

>100D．4×

<100

答案　C

解析　导火索燃烧的时间

秒，人在此时间内跑的路程为4×

m．由题意可得4×

>100.

3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．M>NB．M＝N

C．M

答案　A

解析　∵M－N＝x2＋x＋1＝

2＋

>0，

∴M>N.

4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1>y2B．y1＝y2

C．y1

答案　A

5．如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（　　）

A．a>4bB．（a＋4）（b＋4）＝200

C.

D.

答案　C

解析　由题意知a>4b，根据面积公式可以得到（a＋4）（b＋4）＝200，故选C.

6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：

________.（不用化简）

答案　5x－2（19－x）≥80，x∈N*

解析　这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2（19－x）≥80，x∈N*.

7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．

答案　|x－500|≤1

解析　∵某商品包装上标有重量500±1克，

若用x表示商品的重量，

则－1≤x－500≤1，

∴|x－500|≤1.

8．若x∈R，则

与

的大小关系为________．

答案　

≤

解析　∵

－

＝

＝

≤0.

∴

≤

.

9．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．

解　因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2＋1），

所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；

当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；

当a

10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：

甲

乙

丙

维生素A（单位/kg）

600

700

400

维生素B（单位/kg）

800

400

500

成本（元/kg）

11

9

4

若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．

解　依题意得c＝11x＋9y＋4z，

又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，

由

及z＝100－x－y，

得

∴x，y所满足的不等关系为

11．已知0

A．MN

C．M＝ND．无法确定

答案　B

解析　∵00，

∴M>N，故选B.

12．若0

A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2

C．a1b2＋a2b1D.

答案　A

解析　令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.

13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的

，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．

答案　

（x，y，z∈N*）

解析　由题意可得

（x，y，z∈N*）．

14．若a1”“<”“＝”）

答案　>

解析　a1b1＋a2b2－（a1b2＋a2b1）

＝a1（b1－b2）＋a2（b2－b1）

＝（b1－b2）（a1－a2），

∵a1

∴b1－b2<0，a1－a2<0，

即（b1－b2）（a1－a2）>0，

∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

15．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2（a＋b＋c），那么P与Q的大小关系是（　　）

A．P>QB．P≥QC．P

答案　A

解析　∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2（a＋b＋c）

＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1

＝（a－1）2＋（b－1）2＋（c－1）2≥0，

又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，

∴P>Q，故选A.

16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？

解　设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝

＋

，乙用时t2＝

，t1－t2＝

＋

－

＝s

＝

·s＝

>0，

∴甲用时多．∴乙先到达教室．