中考数学变量间的关系doc.docx
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中考数学变量间的关系doc
第9讲变量间的关系
◆考点链接
1.能发现实际情境中的两个变量及其关系.
2.能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言准确表达.
3.理解平面上的位置与平面直角坐标系之间的联系.
4.利用点的坐标变化,将图形放大、缩小、对称、平移变换.
◆典例精析
【例题1】某港受潮汐的影响,近日每天24小时港内的水深变化大体如图3-1-1,根据图象回答:
(1)当______时,港口的水最深,深度是_______m;
(2)当______时,港口的水最浅,深度是_______m;
(3)当______时,港口的水深一样深,都是________m;
(4)用语言描述水深随时间的变化情况;
(5)一艘货船于上午7:
30在码头开始卸货,计划当天卸完后离港,已知这艘船卸货后吃水深度为2.5m(吃水深度即船底离水面的距离).该港口规定:
为了保证航行安全,只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时,才能进出该港,则该船出港时水深不少于_______m,卸货只能用_______h.
解题思路:
观察图象可知,10:
00水最深,21:
00最浅.关键要抓住:
8:
00~9:
00,1:
00水深都一样深,解决(4)问就不易出错了,船只要安全进出该港口,水深不得少于6m,只能有9h时间供卸货用,这是解决(5)问的关键.
解:
(1)10:
00,7.5m
(2)21:
00,3m(3)8:
00~9:
00,11:
00,7m(4)0:
00~8:
00,9:
00~10:
00,21:
00~24:
00,水深在增加10:
00~21:
00,水深在减小(5)6m,7.5m.
评析:
题中的图象有生动的实际背景,必须细心观察有关特征,结合实际问题的背景知识,才能准确地解答这类题目中的若干问题.一般地,两个变量之间的关系用图象表示出来,有别于我们熟悉的一次函数、反比例函数、二次函数这些规律性极强的函数的图象.
【例题2】阅读下列材料:
“父亲和儿子同时出去晨练,如图1,实线表示父亲离家的路程y(m)与时间x(min)的函数图象;虚线表示儿子离家的路程y(m)与时间x(min)的函数图象.由图可知,他们在出发10min时第一次相遇,此时离家400m;晨练了30min,他们同时到家.”
(1)
(2)(3)
根据阅读材料给你的启示,利用指定的直角坐标系(如图2)或用其他方法解答问题:
一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口,巡逻艇和货轮速度分别为100km/h和20km/h,巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻.(巡逻艇调头的时间忽略不计)
(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次?
(2)出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇?
此时离A港口多少千米?
解题思路:
在给出的平面直角坐标系(图3)中,同时画出巡逻艇往返于A、B港口,货轮由A港口航行到B港口的函数图象即可找到解决问题的办法.
解:
实线表示巡逻艇往返于A、B港口的路程y(km)与时间x(h)的函数图象;虚线表示货轮从A港口航行到B港口的路程y(km)与时间x(h)的函数图象(图3).
由图可知,货轮从A港口出发以后到直B港口与巡逻艇一共相遇了4次.第三次在M处相遇,则BM=
AB.出发3h20min时巡逻艇与货轮第三次相遇,此时离A港口
km.
评析:
通过阅读一段较为简单的数学材料,从中体会情境与图象的关系以及处理某些问题的方法,从而达到考察学生的阅读和获取信息,分析数据和相关材料解决问题的能力.
【例题3】如图,在直角坐标系中,点A(5,0),B(0,4),若有一个直角三角形与Rt△AOB全等,并且它们有一条公共边,请你写出这个直角三角形所有可能的未知顶点的坐标.
解题思路:
由题意,两个Rt△全等,且有一条公共边,考虑原△ABO的三边都可以作公共边,利用翻折、旋转、平移等方法,图中的P1、P2、P3点的坐标易求且不会遗漏,在寻找P4、P5、P6点时,翻折、旋转、平移三种方法要综合使用.另外使用好分类的思想方法,也是杜绝遗漏这六个点中的某些点的情况产生的很好方法.
解:
如图所示,满足条件的三角形未知顶点的坐标有P1(5,4),P2(0,-4),P3(-5,0),P4(-5,4),P5(5,-4),连结P6O交AB于F,作P6E⊥OA于E.
∵△ABP6是将△ABO沿AB翻折得到的.
∴根据对称性,P6O⊥AB,且OF=FP6,
(也可以利用相似比求AF的长).
∵
P6O·AF=
OA·P6E,
∴P6E=
,由△OEP6∽△OFA,得OE=
.
∴P6的坐标是(
,
).
评析:
以OA、OB、AB为公共边构造与△AOB全等的直角三角形都有两种情况,所以满足条件的6种情况就自然产生,类似的可解决有关等腰三角形的问题.另外,面积法求直角三角形斜边上的高较其它方法方便,同学们应引起足够重视,还应注重平面几何的翻折、旋转、平移等方法在代数中的应用.
◆探究实践
【问题1】如图,B船在A船的西偏北45°处,两船相距10
km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,试探索两船能否有一个最近距离?
若有,这个最近距离是多少千米?
何处是这个最近位置?
解题思路:
B→C,A→C分别是B、A船的航行方向,且△ABC是等腰Rt△,AB=10
km,∴BC=AC=10km.设同一时刻B到B′,A到A′,不妨设AA′=x(km),则BB′=2x(km),由勾股定理可找到两船的距离A′B′与x的表达式,问题就可解答.
解:
如图,AA′=x(km),则BB′=2x(km).
由题意知△ABC是等腰Rt△,AC=BC=10km.
∴B′C=10-2x,A′C=10-x.
由勾股定理得A′B′=
.
∴当x=6时,A′B′=
=2
最小.
即当A船,B船分别航行6km,12km时处在最近的位置上,这个最近距离是2
km.
评析:
将两个变量、两船的距离、A船行驶的路程的关系找出来,进行配方,利用非负数的性质解答此题是关键.解决最大(最小)值问题通常用的方法是:
(1)配方,利用非负数性质;
(2)抛物线的顶点坐标;(3)两点之间线段最短.
【问题2】某礼堂共有25排座位,第一排有20个座位.
(1)后面每一排比前一排多1个座位,写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式并求n的取值范围;
(2)其他条件不变,当后面每一排都比前一排多2个座位时写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式(1≤n≤25,且n为整数);
(3)当后面每一排都比前一排多3个座位,4个座位时,分别写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式(1≤n≤25,且n为整数);
(4)某礼堂共有p排座位,第一排有a个座位,后面每一排比前一排多b个座位,试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式,并指出n的取值范围;
(5)针对第
(1)问你能求出该礼堂总共有多少个座位吗?
解题思路:
此题系课本习题的改编题,抓住后面每一排比前一排增加的座位个数与排数之间的数字规律,此题就不难解答了.第(5)问实际上是计算20+(20+1)+(20+2)+…+(20+24)的值的问题,又转化为计算20×25+(1+2+3+…+24)的值的问题,相信同学们已看出了计算方法.
解:
(1)m=19+n,1≤n≤25且n为整数.
(2)m=18+2n.
(3)所求关系式分别为m=17+3n,m=16+4n.
(4)m=(a-b)+bn,1≤n≤p且n为整数.
(5)礼堂总共有座位个数是20×25+(1+2+3+…+24)=500+
=800(个).
评析:
寻找两个变量之间的关系时,如果是数字规律的题型,那么一般方法是找到变化过程中的不变量和改变量,再寻找改变量与序号(如:
排数、个数、千克数、秒数等)的变化规律;如果是面积、体积、周长类题型,那么一般方法是找到变化过程中所要用到的公式中所缺的量(如:
高、底边等),或者将所缺的量用变量表达出来).
◆中考演练
一、填空题
1.如果点M(ab,a+b)在第四象限,那么点N(a,-b)在第______象限.
2.点A(-5,2)关于x轴对称的点B的坐标是_______.
点P(6,-4)关于y轴对称的点Q的坐标是________.
3.如图1,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△A′OB′.若点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为________.
(1)
(2)
二、选择题
1.小亮早晨从家骑车到学校,先上坡后下坡,行程情况如图2所示,若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变,那么小明从学校骑车回家用的时间是().
A.37.2minB.48minC.30minD.33min
2.为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:
(1)若每月每户居民用水不超过4m3,则按每立方米2元计算;
(2)若每月每户居民用水超过4m3,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x(m3),水费y元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是().
3.(山西)若用图
(1)
(2)(3)四幅图象分别表示变量之间的关系.
请按图象所给顺序,将下面的(a)(b)(c)(d)对应排序:
(a)小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系);(b)一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的质量的关系;(c)运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系);(d)小杨从A到B后,停留一段时间,然后按原速度返回(路程与时间的关系)
正确的顺序是().
A.(c)(d)(b)(a)B.(a)(b)(c)(d)
C.(b)(c)(a)(d)D.(d)(a)(c)(b)
三、解答题
1.如图,直角梯形ABCD,BA⊥x轴于A,BC∥OA,OA=10,OC=4,∠AOC=30°.
(1)求B,C两点的坐标;
(2)求梯形AOCB的面积.
2.如图,边长为1的正方形ABCD的顶点B在坐标原点,∠α=60°,求点D的坐标.
◆实战模拟
一、填空题:
1.已知:
点A(-2,0),B(-1,-3),C(4,0),D(1,4),则四边形ABCD的面积是_____.
2.m为整数,点P(1-m,3m-9)关于x轴对称的点在第二象限,则点P到原点的距离是________.
3.如图,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次,点P依次落在P1,P2,P3,P4……P2006的位置,则P2006的横坐标x2006=________.
二、选择题
1.某游泳池分为深水区和浅水区,每次消毒后要重新将水注满泳池,假定进水管的水速是均匀的,那么泳池内水的高度h随时间t变化的图象是().
2.如右图,矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm,动点P从A出发,在折线AD→DC→CB上以1cm/s的速度向B点匀速运动,那么表示△ABP的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系的图像是().
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