小专题一 构造全等三角形的方法技巧.docx
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小专题一 构造全等三角形的方法技巧.docx
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小专题一构造全等三角形的方法技巧
小专题
(一) 构造全等三角形的方法技巧
方法1 利用“角平分线”构造全等三角形
因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等),故在处理角平分线问题时,常作以下辅助线构造全等三角形:
(1)在角的两边截取两条相等的线段;
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线.
1.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD.
证明:
在BC上截取BF=AB,连结EF.
∵∠ABC,∠BCD的平分线交AD于点E,
∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠BAE=∠BFE.
∵AB∥CD,
∴∠BAE+∠CDE=180°.
∴∠BFE+∠CDE=180°.
∵∠BFE+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠CDE.
在△FCE和△DCE中,
∴△FCE≌△DCE(AAS).
∴CF=CD.
∴BC=BF+CF=AB+CD.
2.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:
PC=PD.
证明:
过点P作PE⊥OA于点E,
PF⊥OB于点F.
∴∠PEC=∠PFD=90°.
∵OM是∠AOB的平分线.
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.
∵∠PDO+∠PDF=180°,
∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE和△PDF中,
∴△PCE≌△PDF(AAS).
∴PC=PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
截长补短法的具体做法:
在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等,或将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目.
3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.
解:
BC=BE+CD.
证明:
在BC上截取BF=BE,连结OF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBO=∠FBO.
又∵BO=BO,
∴△EBO≌△FBO(SAS).
∴∠EOB=∠FOB.
∵∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-
∠ABC-
∠ACB=180°-
(180°-∠A)=120°.
∴∠EOB=∠DOC=60°.
∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC=60°.
∵CE平分∠DCB,∴∠DCO=∠FCO.
又∵CO=CO,∴△DCO≌△FCO(ASA).
∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.
4.(德州中考)问题背景:
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.点E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法是:
延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是EF=BE+DF;
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
解:
EF=BE+DF仍然成立.
证明:
延长FD到G,使DG=BE,连结AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS).∴EF=FG.
∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF.
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
将中点处的线段延长一倍,然后利用SAS证三角形全等.
5.已知:
如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证:
AE=
AC.
证明:
延长AE至F,使EF=AE,连结DF.
∵AE是△ABD的中线,
∴BE=DE.
又∵∠AEB=∠FED,
∴△ABE≌△FDE(SAS).
∴∠B=∠BDF,AB=DF.
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA,BD=DF.
∵∠ADF=∠BDA+∠BDF,∠ADC=∠BAD+∠B,
∴∠ADF=∠ADC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∴DF=CD.
又∵AD=AD,
∴△ADF≌△ADC(SAS).
∴AC=AF=2AE,即AE=
AC.
6.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:
DE=2AM.
证明:
延长AM至点N,使MN=AM,连结BN,
∵M为BC中点,
∴BM=CM.
又∵AM=MN,∠AMC=∠NMB,
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC=BN,∠C=∠NBM.
∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.
∵AD=AC,AC=BN,
∴AD=BN.
又∵AB=AE,∴△ABN≌△EAD(SAS).
∴DE=NA.
又∵AM=MN,∴DE=2AM.
方法4 巧用“三垂直”构造全等三角形
如图,若AB=AC,AB⊥AC,则可过斜边的两端点B,C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在坐标系中,过顶点A的直线常为x轴或y轴.
7.如图,在△ABC中,AB=BC,AB⊥BC,B(0,2),C(2,-2),求点A的坐标.
解:
作CM⊥y轴于M,
∵B(0,2),C(2,-2),
∴CM=BO=2.
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°.
∴∠ABO+∠CBO=90°.
又∵CM⊥BO,
∴∠CBO+∠BCM=90°.
∴∠ABO=∠BCM.
∴△ABO≌△BCM(ASA).
∴AO=BM=4.
∴A(-4,0).
小专题
(二) 等腰三角形中的分类讨论
类型1 针对腰长和底边长进行分类
1.已知等腰三角形一边长等于5,另一边长等于9,则它的周长是(D)
A.14B.23C.19D.19或23
2.若实数x,y满足|x-5|+
=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为25.
3.已知等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和12cm两部分,则这个三角形的腰长和底边长分别为6cm和9cm或8cm和5cm.
类型2 针对顶角和底角进行分类
4.若等腰三角形中有一个角等于70°,则这个等腰三角形的顶角的度数是(C)
A.70°B.40°C.70°或40°D.70°或55°
5.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为120°或20°.
6.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半,则该等腰三角形各内角的度数为45°,45°,90°或36°,72°,72°.
7.等腰三角形有一个角为52°,它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度?
解:
①若已知的这个角为顶角,则底角的度数为(180°-52°)÷2=64°,故一腰上的高与底边的夹角为26°;
②若已知的这个角为底角,则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
8.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角∠B等于(C)
A.20°B.60°或20°
C.65°或25°D.60°
9.已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,∠AEB=70°,那么∠BAC等于(A)
A.55°或125°B.65°
C.55°D.125°
10.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,求这个等腰三角形的底角的度数.
解:
分两种情况讨论:
①若∠A<90°,如图1所示.
∵BD⊥AC,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠ABD=36°
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=
(180°-54°)=63°.
②若∠A>90°,如图2所示.
同①可得∠DAB=90°-36°=54°,
∴∠BAC=180°-54°=126°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=
(180°-126°)=27°.
综上所述:
等腰三角形底角的度数为63°或27°.
类型4 确定等腰三角形的数目
11.(武汉中考)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是(A)
A.5B.6C.7D.8
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有(B)
A.7个B.6个C.5个D.4个
类型5 运动过程中等腰三角形中的分类讨论
13.(杭州下城区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,在射线BC上一动点D,从点B出发,以2厘米每秒的速度匀速运动,若点D运动t秒时,以A,D,B为顶点的三角形恰为等腰三角形,则所用时间t为
或5或8秒.
解析:
①当AD=BD时,
在Rt△ACD中,根据勾股定理,得
AD2=AC2+CD2,即BD2=(8-BD)2+62,
解得BD=
cm.
则t=
=
(秒);
②当AB=BD时,
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得
AB2=AC2+BC2=62+82=100(cm2),
∴AB=10cm.
则t=
=5(秒);
③当AD=AB时,BD=2BC=16cm,
则t=
=8(秒).
综上所述,t的值可以是:
,5,8.
14.(杭州期中改编)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)当t=2秒时,求PQ2的长;
(2)求出发时间为几秒时,△PQB是等腰三角形?
(3)若Q沿B→C→A方向运动,则当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
解:
(1)BQ=2×2=4(cm),
BP=AB-AP=8-2×1=6(cm),
∵∠B=90°,
∴PQ2=BQ2+BP2=42+62=52(cm2).
(2)根据题意,得BQ=BP,
即2t=8-t,
解得t=
.
∴出发时间为
秒时,△PQB是等腰三角形.
(3)分三种情况:
①当CQ=BQ时,如图1所示,
则∠C=∠CBQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°.
∴∠A=∠ABQ.
∴BQ=AQ.
∴CQ=AQ=5cm.
∴BC+CQ=11cm.
∴t=11÷2=5.5(秒).
②当CQ=BC时,如图2所示,
则BC+CQ=12cm.
∴t=12÷2=6(秒).
③当BC=BQ时,如图3所示,
过B点作BE⊥AC于点E,
则BE=
=
=4.8(cm).
∴CE2=BC2-BE2=62-4.82=3.62(cm2).
∴CE=3.6cm.
∴CQ=2CE=7.2cm.
∴BC+CQ=13.2cm.
∴t=13.2÷2=6.6(秒).
由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.
小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题
类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
1.如图所示,有一张直角三角形纸片,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为(A)
A.1cmB.1.5cmC.2cmD.3cm
2.如图,长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则FC等于(B)
A.1B.2C.3D.4
3.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为(D)
A.
cmB.
cmC.
cmD.
cm
4.(铜仁中考)如图,在长方形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为(B)
A.3B.
C.5D.
5.(上城区期末)在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动,若限定点P,Q分别在线段AB,AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为(B)
A.1B.2C.3D.4
解析:
如图1,当点D与点Q重合时,根据翻折对称性可得
A′D=AD=5.
在Rt△A′CD中,A′D2=A′C2+CD2,
即52=(5-A′B)2+32,解得A′B=1.
如图2,当点P与点B重合时,根据翻折对称性可得A′B=AB=3.
∵3-1=2,
∴点A′在BC边上可移动的最大距离为2.
故选B.
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为7.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是6cm2.
8.如图,在长方形ABCD中,CD=6,BC=8,E为CD边上一点,将长方形沿直线BE折叠,使点C落在线段BD上C′处,求DE的长.
解:
∵在长方形ABCD中,∠C=90°,DC=6,BC=8,
∴BD2=62+82=102.
∴BD=10.
由折叠可得BC′=BC=8,EC′=EC,∠BC′E=∠C=90°,
∴C′D=2,∠DC′E=90°.
设DE=x,则C′E=CE=6-x.
在Rt△C′DE中,x2=(6-x)2+22,
解得x=
.
∴DE的长为
.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题
9.如图是一个封闭的正方体纸盒,E是CD中点,F是CE中点,一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G,那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C)
A.A⇒B⇒C⇒G
B.A⇒C⇒G
C.A⇒E⇒G
D.A⇒F⇒G
10.如图,在一个长为2m,宽为1m的长方形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为0.2m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m.(精确到0.01m)
11.(凉山中考)如图,圆柱形玻璃杯,高为18cm,底面周长为24cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.
12.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6cm,底面是边长为4cm的正方形,从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短?
最短长度是多少?
解:
把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上,如图.
构成矩形ABC′D′,则A到C′的最短距离为AC′的长度,
连结AC′交DC于点O,易证△AOD≌△C′OC.
∴OD=OC,
即O为DC的中点.
由勾股定理得AC′2=AD′2+D′C′2=82+62=100,
∴AC′=10cm.
即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′),再沿直线到顶点C′,贴的彩带最短,最短长度为10cm.
13.如图,一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长.
解:
(1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种.
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1,
爬过的路径的长l
=42+(4+5)2=97,
∴l1=
;
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1,
爬过的路径的长l
=(4+4)2+52=89,
∴l2=
.
∵l1>l2,
∴最短路径的长是
.
小专题(四) 构造等腰三角形的常用方法
类型1 利用平行线构造等腰三角形
①利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形.若∠1=∠2,AC∥OB,则△OAC为等腰三角形.
②作腰的平行线构造等腰三角形.若AB=AC,DE∥AC,则△BDE为等腰三角形.
③作底边的平行线构造等腰三角形.若AB=AC,DE∥BC,则△ADE为等腰三角形.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于点F,求证:
DF=EF.
证明:
过点D作DM∥AC交BC于点M,
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠DMB.∴BD=MD.
∵BD=CE,∴MD=CE.
在△DMF和△ECF中,
∴△DMF≌△ECF(AAS).
∴DF=EF.
2.已知△ABC为等边三角形,点D为AC上的一个动点,点E为BC延长线上一点,且BD=DE.
(1)如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;
(2)如图2,若点D在AC的延长线上,
(1)中的结论是否成立,请说明理由.
解:
(1)AD=CE.
理由:
过点D作DP∥BC,交AB于点P,
∵△ABC是等边三角形,
∴△APD也是等边三角形.
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°.
∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.
∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD.
∴∠PDB=∠DEC.
又∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,
即∠BPD=∠DCE.
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE(AAS).
∴PD=CE.∴AD=CE.
(2)AD=CE成立.
理由:
过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,
∵△ABC是等边三角形,
∴△APD也是等边三角形.
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.
∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.
∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD.
∴∠PDB=∠DEC.
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE(AAS).∴PD=CE.
∴AD=CE.
类型2 运用倍角关系构造等腰三角形
已知在△ABC中,∠ACB=
∠ABC.
①如图1,作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰△BDC;
②如图2,∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于E,则可构造等腰△BCE;
③如图3,延长CB至D,使BD=AB,则可构造两个等腰三角形,如△ABD,△ADC;
④如图4,作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于E,则可构造等腰△BCE.
3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠ABC=2∠C,求证:
AB+BD=AC.
解:
证法1:
在边AC上截取AP=AB,连结PD.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠PAD.
在△ABD和△APD中,
∴△ABD≌△APD(SAS).
∴∠APD=∠B,PD=BD.
∵∠B=2∠C,∴∠PDC=∠C.
∴PD=PC.
∴AB+BD=AC.
证法2:
延长AB至E,使BE=BD,连结DE,证△AED全等于△ACD即可.
证法3:
延长CB至E,使BE=AB,连结AE,则∠E=∠C=∠EAB,易证∠EAD=∠EDA,∴AC=EA=ED=EB+BD=AB+BD.
类型3 截长补短构造等腰三角形
4.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.(用截长法与补短法两种方法解答)
解:
方法1:
(截长法)在CD上取点E,使DE=BD,连结AE,则CE=AB=AE.
∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.
∵∠BAC=120°,∴∠C=20°.
方法2:
(补短法)延长DB至点F,使BF=AB,
则AB+BD=DF=CD.
∴AF=AC,∠C=∠F=
∠ABC.
∵∠BAC=120°,∴∠C=20°.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于D,求证:
BC=CD+AB.(用两种方法)
解:
方法1:
(截长法)在BC上取点E,使BE=BA,连结DE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC=∠BED=108°,AB=EB.
∴∠DEC=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=36°.
∴∠CDE=72°.
∴∠CDE=∠CED=72°.
∴CD=CE.
则BC=BE+EC=AB+CD.
方法2:
(补短法)延长BA至E′,使BE′=BC,连结DE′,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠E′BD.
在△E′BD和△CBD中,
∴△E′BD≌△CBD(SAS).
∴DE′=DC,∠E′=∠C=36°.
∵∠E′AD=72°,
∴∠E′DA=∠E′AD=72°.
∴E′A=E′D.
∴CD=DE′=AE′.
则BC=BE′=AB+AE′=AB+CD.
小专题(五) 一元一次不等式(组)的解法
1.解下列不等式(组):
(1)(金华金东区期末)5x+3<3(2+x);
解:
去括号,得5x+3<6+3x.
移项,得5x-3x<6-3.
合并同类项,得2x<3.
系数化为1,得x<
.
(2)(黄冈中考)
≥3(x-1)-4;
解:
去分母,得x+1≥6(x-1)-8.
去括号,得x+1≥6x-6-8.
移项,得x-6x≥-6-8-1.
合并同类项,得-5x≥-15.
两边都除以-5,得x≤3.
(3)
解:
由①,得x≥1.
由②,得x>1.
所以,不等式组的解集为x>1.
(4)(莆田中考)
解:
由①,得x≤1.
由②,得x<4.
所以,不等式组的解集为x≤1.
(5)(金华金东区期末)
解:
解不等式①,得x>
.
解不等式②,得x≤4.
故不等式组的解集为
<x≤4.
2.(苏州中
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