考研数学考前必备重点题型函数与极限.docx
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考研数学考前必备重点题型函数与极限
第一章函数与极限
教学目的:
1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
教学重点:
1、复合函数及分段函数的概念;
2、基本初等函数的性质及其图形;
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则;
4、两个重要极限;
5、无穷小及无穷小的比较;
6、函数连续性及初等函数的连续性;
7、区间上连续函数的性质。
教学难点:
1、分段函数的建立与性质;
2、左极限与右极限概念及应用;
3、极限存在的两个准则的应用;
4、间断点及其分类;
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1.1映射与函数
一、集合
1.集合概念
集合(简称集):
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.
元素:
组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aÎM.
集合的表示:
列举法:
把集合的全体元素一一列举出来.
例如A={a,b,c,d,e,f,g}.
描述法:
若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为
A={a1,a2,×××,an},
M={x|x具有性质P}.
例如M={(x,y)|x,y为实数,x2+y2=1}.
几个数集:
N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.
N={0,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.
R表示所有实数构成的集合,称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.
Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.
Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.
子集:
若xÎA,则必有xÎB,则称A是B的子集,记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA.
如果集合A与集合B互为子集,AÌB且BÌA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.
若AÌB且A¹B,则称A是B的真子集,记作A
B.例如,N
Z
Q
R.
不含任何元素的集合称为空集,记作Æ.规定空集是任何集合的子集.
2.集合的运算
设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AÈB,即
AÈB={x|xÎA或xÎB}.
设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AÇB,即
AÇB={x|xÎA且xÎB}.
设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即
A\B={x|xÎA且xÏB}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.
集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合,则
(1)交换律AÈB=BÈA,AÇB=BÇA;
(2)结合律(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);
(3)分配律(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);
(4)对偶律(AÈB)C=ACÇBC,(AÇB)C=ACÈBC.
(AÈB)C=ACÇBC的证明:
xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎAC且xÎBCÛxÎACÇBC,所以(AÈB)C=ACÇBC.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A´B,即
A´B={(x,y)|xÎA且yÎB}.
例如,R´R={(x,y)|xÎR且yÎR}即为xOy面上全体点的集合,R´R常记作R2.
3.区间和邻域
有限区间:
设a
(a,b)={x|a 类似地有 [a,b]={x|a£x£b}称为闭区间, [a,b)={x|a£x 其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度. 无限区间: [a,+¥)={x|a£x},(-¥,b]={x|x 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a). 设d是一正数,则称开区间(a-d,a+d)为点a的d邻域,记作U(a,d),即 U(a,d)={x|a-d ={x||x-a| 其中点a称为邻域的中心,d称为邻域的半径. 去心邻域 (a,d): (a,d)={x|0<|x-a| 二、映射 1.映射的概念 定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作 f: X®Y, 其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即 y=f(x), 而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即 Df=X; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即 Rf=f(X)={f(x)|xÎX}. 需要注意的问题: (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X,即定义域Df=X;集合Y,即值域的范围: RfÌY;对应法则f,使对每个xÎX,有唯一确定的y=f(x)与之对应. (2)对每个xÎX,元素x的像y是唯一的;而对每个yÎRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfÌY,不一定Rf=Y. 例1设f: R®R,对每个xÎR,f(x)=x2. 显然,f是一个映射,f的定义域Df=R,值域Rf={y|y³0},它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个. 例2设X={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|£1},f: X®Y,对每个(x,y)ÎX,有唯一确定的(x,0)ÎY与之对应. 显然f是一个映射,f的定义域Df=X,值域Rf=Y.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上. (3)f: ®[-1,1],对每个xÎ f(x)=sinx. f是一个映射,定义域Df= 值域Rf=[-1,1]. 满射、单射和双射: 设f是从集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1¹x2,它们的像f(x1)¹f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射). 上述三例各是什么映射? 2.逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yÎRf,有唯一的xÎX,适合f(x)=y,于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即 g: Rf®X, 对每个yÎRf,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射,记作f-1,其定义域 =Rf,值域 =X. 按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射? 设有两个映射 g: X®Y1,f: Y2®Z, 其中Y1ÌY2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xÎX映射成f[g(x)]ÎZ.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即 fog: X®Z, (fog)(x)=f[g(x)],xÎX. 应注意的问题: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgÌDf.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使fog与gof都有意义,复映射fog与gof也未必相同. 例4设有映射g: R®[-1,1],对每个xÎR,g(x)=sinx, 映射f: [-1,1]®[0,1],对每个uÎ[-1,1], . 则映射g和f构成复映射fog: R®[0,1],对每个xÎR,有 . 三、函数 1.函数概念 定义设数集DÌR,则称映射f: D®R为定义在D上的函数,通常简记为 y=f(x),xÎD, 其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df=D. 应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),xÎD”或“y=f(x),xÎD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f. 函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“j”等.此时函数就记作y=j(x),y=F(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数 的定义域. 要使函数有意义,必须x¹0,且x2-4³0. 解不等式得|x|³2. 所以函数的定义域为D={x||x|³2},或D=(-¥,2]È[2,+¥]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中,对每个xÎD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xÎD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2给出.显然,对每个xÎ[-r,r],由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值,当x=r或x=-r时,对应y=0 一个值;当x取(-r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中,附加“y³0”的条件,即以“x2+y2=r2且y³0”作为对应法则,就可得到一个单值分支 ;附加“y£0”的条件,即以“x2+y2=r2且y£0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支 . 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集 {P(x,y)|y=f(x),xÎD} 称为函数y=f(x),xÎD的图形.图中的Rf表示函数y=f(x)的值域. 函数的例子: 例.函数 . 称为绝对值函数.其定义域为D=(-¥,+¥),值域为Rf=[0,+¥). 例.函数 . 称为符号函数.其定义域为D=(-¥,+¥),值域为Rf={-1,0,1}. 例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x]. 函数 y=[x] 称为取整函数.其定义域为D=(-¥,+¥),值域为Rf=Z. [p]=3,[-1]=-1,[-3.5]=-4. 分段函数: 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数 . 这是一个分段函数,其定义域为D=[0,1]È(0,+¥)=[0,+¥). 当0£x£1时, ;当x>1时,y=1+x. 例如 ; ;f(3)=1+3=4. 2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D,数集XÌD.如果存在数K1,使对任一xÎX,有 f(x)£K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2,使对任一xÎX,有f(x)³K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M,使对任一xÎX,有|f(x)|£M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数y=f(x)的图形在直线y=-M和y=M的之间. 函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1ÎX,使|f(x)|>M. 例如 (1)f(x)=sinx在(-¥,+¥)上是有界的: |sinx|£1. (2)函数 在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界. 这是因为,对于任一M>1,总有x1: 使 所以函数无上界. 函数 在(1,2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D,区间IÌD.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1 f(x1) 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1 f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y=x2在区间(-¥,0]上是单调增加的,在区间[0,+¥)上是单调减少的,在(-¥,+¥)上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD,则-xÎD).如果对于任一xÎD,有 f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一xÎD,有 f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2,y=cosx都是偶函数.y=x3,y=sinx都是奇函数,y=sinx+cosx是非奇非偶函数 . (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD,且 f(x+l)=f(x) 则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状. 3.反函数与复合函数 反函数: 设函数f: D®f(D)是单射,则它存在逆映射f-1: f(D)®D,称此映射f-1为函数f的反函数. 按此定义,对每个yÎf(D),有唯一的xÎD,使得f(x)=y,于是有 f-1(y)=x. 这就是说,反函数f-1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地,y=f(x),xÎD的反函数记成y=f-1(x),xÎf(D). 若f是定义在D上的单调函数,则f: D®f(D)是单射,于是f的反函数f-1必定存在,而且容易证明f-1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f-1(x)来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数.把函数y=f(x)和它的反函数 y=f-1(x)的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线y=x是对称的.这是因为如果P(a,b)是y=f(x)图形上的点,则有b=f(a).按反函数的定义,有a=f-1(b),故Q(b,a)是y=f-1(x)图形上的点;反之,若Q(b,a)是y=f-1(x)图形上的点,则P(a,b)是y=f(x)图形上的点.而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=x对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有定义且g(D)ÌD1,则由下式确定的函数 y=f[g(x)],xÎD 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为 即 ( )=f[g(x)]. 与复合映射一样,g与f构成的复合函数 的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内,即g(D)ÌDf.否则,不能构成复合函数. 例如,y=f(u)=arcsinu,的定义域为[-1,1], 在 上有定义,且g(D)Ì[-1,1],则g与f可构成复合函数 xÎD; 但函数y=arcsinu和函数u=2+x2不能构成复合函数,这是因为对任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsinu的定义域[-1,1]内. 多个函数的复合: (注: 本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。 请预览后才下载,期待你的好评与关注! )
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