山东大学离散数学题库及答案计本.docx
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山东大学离散数学题库及答案计本
一、选择或填空
(数理逻辑部分)
1、下列哪些公式为永真蕴含式?
()
(1)—Q=>(→P
(2)—Q=〉P→Q⑶P=>P→Q(4)—P(PQ)=>-P
答:
(1),(4)
2、下列公式中哪些是永真式?
()
(1)(∏PQ)→(Q→一R)
(2)P→(Q→Q)⑶(PQ)→P(4)P→(PQ)
答:
(2),(3),(4)
3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?
()
(1)P=>PQ⑵PQ=>P⑶PQ=>PQ
⑷P(P→Q)=〉Q(5)—(P→Q)=〉P(6)—P(PQ)=>一P
答:
(2),(3),(4),(5),(6)
4、公式-X((A(X)rB(y,x))ZC(y,z))「.D(x)中,自由变元是(),约束变元是()
答:
χ,y,χ,z
),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()
5、判断下列语句是不是命题。
若是,给岀命题的真值.()
(1)
北京是中华人民共和国的首都。
(2)
陕西师大是一座工厂。
⑶
你喜欢唱歌吗?
(4)
若7+8〉18,
则三角形有4条边。
(5)
前进!
(6)
给我一杯水吧!
答:
(1)是,
T
(2)
是,F(3)
不是
(4)是,
T
(5)
不是(6)
不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是
(
答:
所有人都不是大学生,有些人不会死
7、设P:
我生病,Q:
我去学校,则下列命题可符号化为()
(1)只有在生病时,我才不去学校
(2)若我生病,则我不去学校
(3)当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校
答:
(1)-Q-;P
(2)P■—Q(3)P∙-Q(4)一P—;Q
8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是()。
(1)-Xy(x+y=0)
(2)y—x(x+y=0)
答:
(1)对任一整数X存在整数y满足x+y=0
(2)存在整数y对任一整数X满足x+y=0
9、
设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:
(1)-Xy(xy=y)(
)
(2)X-y(χ+y=y)
()
(3)X—y(x+y=x)(
)
(4)—Xy(y=2x)
()
答:
(1)F
(2)F(3)
F
(4)T
10、
设谓词P(X):
X是奇数,
Q(X)
:
X是偶数,谓词公式
X(P(X)Q(X))在哪个个体域中为真?
()
(1)
自然数
(2)实数
⑶
复数(4)
(1)-—(3)
均成立
答:
(1)
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()
答:
2不是偶数且—3不是负数。
12、永真式的否定是()
(1)永真式
(2)永假式(3)可满足式(4)
(1)--(3)均有可能
答:
(2)
13、公式(一〉P∕∖Q)「P入一IQ)化简为(),公式QT(PM(PaQ))可化简为().
答:
一P,Q〉P
14、谓词公式-X(P(X)yR(y))rQ(X)中量词—X的辖域是()。
答:
P(X)yR(y)
15、令R(x):
X是实数,Q(x):
X是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()
答:
一-X(R(X)Q(X))
(集合论部分)
16、设A={a,{a}},下列命题错误的是()。
(1){a}P(A)
(2){a}■-P(A)(3){{a}}■P(A)(4){{a}}■—P(A)
答:
(2)
17、在0():
•:
■■之间写上正确的符号。
(1)=
(2)(3)■(4)■■■
答:
(4)
18、若集合S的基数∣S∣=5,则S的幂集的基数IP(S)I=()
答:
32
19、设P={x|(x+1)2〈4且XWR},Q={x|52+16且R},则下列命题哪个正确()
(1)Q:
一P
(2)^—P(3)PQ(4)P=Q
答:
(3)
20、下列各集合中,哪几个分别相等().
(1)A1={a,b}
(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}
(5)A5={x|(x-a)(x-b)(x—c)=0}(6)A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答:
A1=A2=A3=A6A4=A5
21、若A-B=Φ,则下列哪个结论不可能正确?
()
(1)A=Φ
(2)B=Φ(3)A—B(4)B二A
答:
(4)
22、判断下列命题哪个为真?
()
(1)A—B=B—A=〉A=B
(2)空集是任何集合的真子集
(3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B,则A=B
答:
(1)
23、判断下列命题哪几个为正确?
()
(1){Φ}∈{Φ,{{Φ}}}⑵{Φ}—{Φ,{{Φ}}}(3)Φ∈{{Φ}}
⑷
Φ{Φ}(5){a,b}
∈{a,b,{a},{b}}
答:
(2),(4)
24、
判断下列命题哪几个正确?
(
)
(1)
所有空集都不相等
(2){
Φ}=Φ(4)
若A为非空集,则A二A成立.
答:
(2)
25、
设A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,则B(
)Co
答:
=(等于)
26、
判断下列命题哪几个正确?
(
)
(1)若A∪B=A∪C,则B=C
(2){a,b}={b,a}
(3)P(A∩B)=P(A)∩P(B)(P(S)表示S的幂集)
(4)若A为非空集,则A=A∪A成立。
答:
(2)
27、A,E,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:
(1)A=B,B二C=〉A二C⑵A=B,B二C=>A∈B⑶A∈B,B∈C=>A∈C
答:
(1)
(二元关系部分)
28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉∣x=y2},求
(1)R
(2)R
答:
(1)R={〈1,1〉,<4,2>}
(2)RJ={〈1,1〉,〈2,4〉}
29、举岀集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
()
答:
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、反对称性和传递性
〈1,2>,〈2,1>,〈2,3>,〈3,4>}
32、设S={1,2,3,4},A上的关系R=求
(1)RR
(2)R—1。
答:
RR={〈1,1〉,<1,3〉,<2,2〉,<2,4>}
R1={<2,1>,〈1,2>,〈3,2〉,〈4,3〉}
33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={()}。
答:
R={<1,1>,〈2,2>,<3,3>,〈4,4〉,<5,5〉,<6,6〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈1,4>,
〈1,5>,<1,6>,〈2,4〉,〈2,6〉,〈3,6〉}
1
j={<1,1>,<2,4>,(36>}
34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y>∣x=2y},求
(1)R
(2)R
答:
(1)R={〈1,1〉,〈4,2>,〈6,3〉}
(2)R
36、集合A={1,2,••
,10}上的关系R={〈x,y〉∣x+y=10,x,y:
=
A},则R的性质为()。
(1)自反的
(2)
对称的(3)传递的,对称的(4)
传递的
答:
(2)
(代数结构部分)
37、设A={2,4,6},A上的二元运算*定义为:
a*b=max{a,b},则在独异点<A,*>中,单位元是(),零元是()
答:
2,6
38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为:
a*b=min{a,b},则在独异点<A,*>中,单位元是(),零元是()
答:
9,3
39、设〈G,*>是一个群,则
(1)若a,b,x∈G,ax=b,则x=()
(2)若a,b,x∈G,ax=ab,则x=()
答:
(1)a」“b
(2)b
40、设a是12阶群的生成元,
则a2是()阶元素,a3是()
阶元素
答:
6,4
41、代数系统<G,*>是一个群,则G的等幂元是()。
答:
单位元
42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素。
答:
5,10
43、群<G,*>的等幂兀是(),有()个。
答:
单位元,1
44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。
答:
循环群,任一非单位元
45、设
(1)若C-a=b,贝Uc=();
(2)若Ca=b"a,贝Uc=()。
答:
(1)b■■a⑵b
46、vH,,—>是<G,,—>的子群的充分必要条件是().
答:
vH,,*>是群或Va,b∈G,a*H,a1EH或∖/a,bEG,a^b—^H
47、群VA,*>的等幂元有()个,是(),零元有()个。
答:
1,单位元,
0
48
在一个群〈
G,*〉中,若G中的元素
a的阶是k,则
-1
a的阶是(
答:
k
49、
在自然数集
N上,下列哪种运算是可结合的?
(
)
(1)a*b=a—b
(2)a*b=max{a,b}
(3)a*b=a+2b
(4)a*b=∣a—b∣
答:
(2)
50、
任意一个具有2个或以上元的半群,
它()
(1)
不可能是群
(2)不一定是群
一定是群
(4)是交换群
答:
(1)
51、
6阶有限群的任何子群一定不是(
))
(1)2阶
(2)3阶(3)4
阶
⑷6阶
答:
(3)
(格与布尔代数部分)
52、
下列哪个偏序集构成有界格()
(1)
(N,<)⑵(乙_)
({2,3,4,6,12},|(整除关系))
⑷(P(A),
)
答:
(4)
53、
有限布尔代数的元素的个数一定等于(
)。
(1)
偶数
(2)奇数(3)4的倍数
(4)2
的正整数次幂
答:
(4)
(图论部分)
54、设G是一个哈密尔顿图,则G—定是()。
(1)欧拉图
(2)树(3)平面图(4)连通图
答:
(4)
55、下面给出的集合中,哪一个是前缀码?
()
(1){0,10,110,101111}
(2){01,001,000,1}
⑶{b,C,aa,ab,aba}(4){1,11,101,001,0011}
答:
⑵
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路.
答:
所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中,结点V的出度deg+(v)表示(),入度deg—(v)表示(
答:
以V为起点的边的条数,以V为终点的边的条数
58、设G是一棵树,则G的生成树有()棵.
(1)0
(2)1(3)2(4)不能确定
答:
1
59、n阶无向完全图Kn的边数是(),每个结点的度数是()。
66、设G是一棵树,n,m分别表示顶点数和边数,则
(1)n=m⑵m=n+1⑶n=m+1(4)不能确定。
答:
(3)
67、设T= 答: 2 ,G的生成树只有一棵。 68、任何连通无向图G至少有()棵生成树,当且仅当G是() 答: 1,树 69、设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于: ⑴m-n+2⑵n-m-2⑶n+m-2⑷m+n+2 答: (1) 70、设T是一棵树,则T是一个连通且()图 答: 无简单回路 71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是 2,则图G有()个顶点 ⑴10 (2)4(3)8(4)16 答: (4) 72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有()个顶点 (1)10 (2)4(3)8(4)12 答: (4) 则G是有向图还是无向图? 73、设图G=VVE>,V={a,b,c,d,e},E={,va,c>,vb,c〉,vc,d〉,vd,e〉}, 答: 有向图 74、任一有向图中,度数为奇数的结点有()个。 答: 偶数 75、具有6个顶点,12条边的连通简单平面图中,每个面都是由()条边围成? (1)2 (2)4(3)3(4)5 答: (3) 76、在有n个顶点的连通图中,其边数()。 (1)最多有n—1条 (2)至少有n—1条 (3)最多有n条(4)至少有n条 答: (2) 77、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则其1度顶点为( (1)5 (2)7(3)8(4)9 答: (4) 78、若一棵完全二元(叉)树有2n—1个顶点,则它()片树叶。 (1)n (2)2n(3)n—1(4)2 答: (1) 79、下列哪一种图不一定是树()。 (1)无简单回路的连通图 (2)有n个顶点n—1条边的连通图 (3)每对顶点间都有通路的图(4)连通但删去一条边便不连通的图 答: (3) 80、连通图G是一棵树当且仅当G中()。 (1)有些边是割边 (2)每条边都是割边 (3)所有边都不是割边(4)图中存在一条欧拉路径 答: (2) (数理逻辑部分) 二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式: 1、(P→Q)R 解: (P→Q)R=(一PQ)R 二(一PR)(QR)(析取范式) =(一P(Q-Q)R)((-PP)QR) =(—PQR)(—PwιQR)(—PQR)(PQR) U(—PQR)(—P-QR)(PQR)(主析取范式) —((P→Q)R)=(—P—Q-R)(—PQ-R)(P_QR) (PQ—R)(P-Q—R)(原公式否定的主析取范式) (P→Q)R=(PQR)(^√’1QR)(~PQ^'1R) (一P-QR)(一PQR)(主合取范式) 2、(PR)(QR)—P 解: (PR)(QR)一P(析取范式) =(P(Q一Q)R)((P—P)QR)^P(Q—Q)(R-R)) U(PQR)(P—QR)(PQR)(一PQR) (—PQR)(-PQ^R)(一P—QR)(一P—Q-R) (PQR)(P—QR)(一PQR)(一PQ—R)(一P-QR)(一P-Q—R)(主 析取范式) _((PR)(QR)-P) =(P-Q-R)(PQ—R)(原公式否定的主析取范式) (PR)(QR)一P二(一PQR)(一P-QR)(主合取范式) 3、(一P→Q)(RP) 解: (一P→Q)(RP) U(PQ)(RP)(合取范式) U(PQ(R—R))(P(Q-Q))R) U(PQR)(PQ_R)(PQR)(P_QR) U(PQR)(PQ一R)(P一QR)(主合取范式) 一((一P→Q)(RP)) =(P-Q—R)(一PQR)(一P—QR)(~PQ_R) (~P—Q—R)(原公式否定的主合取范式) (一P→Q)(RP) : =(一PQR)(P—Q_R)(PQ_R)(P—QR)(PQR) (主析取范式) 4、Q→(P—R) 解: Q→(P—R) U—QP一R(主合取范式) —(Q→(P—R)) : =(—P_Q_R)(~P—QR)(~PQ_R)(~PQR) (P—QR)(PQ—R)(PQR)(原公式否定的主合取范式) Q→(P—R) =(PQR)(PQ-R)(P—QR)(P_Q_R)(一PQ_R) (~P-QR)(~P_Q_R)(主析取范式) 5、P→(P(Q→P)) 解: P→(P(Q→P)) 二—P(P^QP)) =-PP : =T(主合取范式) 二(一p-Q)(—PQ)(P—Q)(PQ)(主析取范式) 6、一(P→Q)(RP) 解: 一(P→Q)(RP)U-(一PQ)(RP) =(P—Q)(RP)(析取范式) : =(P»,Q(R-R))(P(—QQ)R) =(P-QR)(P—Q—R)(P-QR)(PQR) U(P-QR)(P-Q—R)(PQR)(主析取范式) 一(一(P→Q)(RP))=(PQ—R)(一PQR)(一P-QR) (-P—Q_R)(一PQ_R)(原公式否定的主析取范式) -(P→Q)(RP)=(一P-QR)(P一Q_R)(PQ_R) (PQR)(P—QR)(主合取范式) 7、P(P→Q) 解: P(P→Q)=P(一PQ)=(P-P)Q =T(主合取范式) =(—P—Q)(一PQ)(P—Q)(PQ)(主析取范式) 8、(R→Q)P 解: (R→Q)P=(—RQ)P U(一RP)(QP)(析取范式) U(一R(Q—Q)P)((一RR)QP) =(一RQP)(一R—QP)(一RQP)(RQP) =(PQ-R)(P一Q—R)(PQR)(主析取范式) _((R→Q)P): =(—P_Q_R)(―PQ_R)(P_QR)(~PQR)(一P_QR)(原公式否定 的主析取范式) (R→Q)P=(PQR)(P-QR)(_PQ_R) (P一Q-R)(PQ_R)(主合取范式) 9、P→Q 解: P→QU—PQ(主合取范式) 二(一P(Q-Q))((一PP)Q) : =(一PQ)(一P—Q)(一PQ)(PQ) : =(一PQ)(一P—Q)(PQ)(主析取范式) 10、P—Q 解: P-Q(主合取范式) =(P(一QQ))((一PP)_Q) (P_Q)(PQ)(—P_Q)(P_Q) =(P-Q)(PQ)(一P—Q)(主析取范式) 11、PQ 解: PQ(主析取范式): =(P(Q-Q))((P^P)Q) 二(P-Q)(PQ)(PQ)(一PQ) ―(P-Q)(PQ)(一PQ)(主合取范式) 12、(PR)-Q 解: (PR)一;Q U—(PR)Q 二(一P-R)Q : =(一PQ)(一RQ)(合取范式) 二(一PQ(R—R))((一PP)Q-R) : =(一PQR)(一PQ—R)(一PQ—R)(PQ_R) : =(一PQR)(一PQ-R)(一PQ—R)(PQ_R) : =(一PQR)(一PQ-R)(PQ—R)(主合取范式) (原公式否定的主析取范式) 一(PR)-;Q : =(一P—QR)(一P—Q—R)(PQR)(P—QR)(P-Q-R) (PR)rQ : =(PQ—R)(PQR)(一P一Q一R)(一PQ_R) (一PQR)(主析取范式) 13、(P〉Q)〉R 解: (P-;Q―;R =一(一PQ)R =(P-Q)R(析取范式) : =(P-Q(R-R))((P—P)(Q_Q)R) : =(P-QR)(P-Q—R)(PQR)(P—QR)^PQR) (~P_QR) 二(P—QR)(P—Q-R)(PQR)^PQR) (~P-QR)(主析取范式) (P>Q)〉R U一(—PQ)R : =(P—Q)R(析取范式) =(PR)(~QR)(合取范式) 二(P(Q—Q)R)((P-P)—QR) =(PQR)(P-QR)(P-QR)(~P-QR) : =(PQR)(P-QR)(一P一QR)(主合取范式) 14、(P—。 (QR))(—p_。 (-Q—R)) 解: (P〉(QR))(—P》(—Q—R)) : =(一P(QR))(P(~Q—R)) : =(一PQ)(一PR)(P_Q)(P_R)(合取范式) : =(—PQ(R_R))(—P(Q—Q)R)(^—IQ(R_R)) (P(Q^Q)一R) =(—PQR)厂PQ-R)(~PQR)(~P-QR) (P—QR)(P—Q—R)(PQ_R)(P_Q_R) 二(一PQR)(—PQ_R)(一P_QR)(P_QR) (PQ—R)(P-Q_R)(主合取范式) 一(Pr(QR))(一P》(一Q_R)) =(一P_Q_
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