人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类.docx
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人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类
人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类
一、角平分线型
角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是:
一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线。
(1)构造全等三角形
1.如图,在ΔABC中,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连结DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长。
思路:
截取构造全等三角形
2.已知:
如图所示,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系.
思路:
构造全等三角形
3.已知:
如图E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC。
(1)求证:
∠ABE=∠C;
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长。
思路:
(1)三角形内角和+等量代换
(2)构造全等三角形
4、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证:
2∠M=(∠ACB-∠B)
思路:
外角的性质+代数思想
5、如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
求证:
AC=AE+CD.
思路:
1.构造全等(角平分线添加辅助线)
2.内角平分线形成的∠A0C=?
?
?
6、如下图,已知在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:
∠A+∠C=180°.(可转化为证明一个角是另一个角的邻补角)
思路:
构造全等(角平分线添加辅助线)
(1)向两边作垂线
(2)翻折(截取)构造全等
思路:
构造全等(角平分线添加辅助线)
(3)“角平分线+垂直”构造等腰三角形
7、如下图,已知在△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求证:
CE=1/2BD.
二、中点型
由中点应产生以下联想:
1、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
2、想到中线,倍长中线
1、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
思路:
构造8字型全等三角形
2、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。
思路:
倍长中线,构造全等
3、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
思路:
1、倍长中线,构造全等
2、等腰三角形两底角相等
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而最难找的是锐角相等,所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E.若BD平分∠ABC,求证CE=
BD;
思路:
1.构造全等
(利用多个直角和角平分线添加辅助线)
2.同角的余角相等
2、如图,已知:
AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF.求证:
AC=EF.
思路:
构造全等(同角的余角相等)
3、如图,∠ABC=90°,AB=BC,BP为一条射线,AD⊥BP,CE⊥PB,若AD=4,EC=2.求DE的长。
思路:
构造全等(同角的余角相等)
4、如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长。
思路:
构造全等(同角的余角相等)
6.如图
(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
(1)试说明:
BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图
(2)位置时(BD 为什么? (3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何? 请直接写出结果,不需说明. 四、等腰三角形型 由于等腰三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答 1、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF 2.在△ABC中,,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF=EF. 3.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明. 五、等边三角形型 由于等边三角形是轴对称图形,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。 1、如图,已知 为等边三角形, 、 、 分别在边 、 、 上,且 也是等边三角形.求证: △AEF≌△CDE 思路: 60°的角+等量代换 2、已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。 思路: 等边三角形三边相等 等边三角形三个角相等,均为60° 3、如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由. 思路: 等边三角形三边相等 等边三角形三个角相等,均为60° 等角-等角 思路: 等边三角形三边相等 等边三角形三个角相等,均为60° 4、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证: BE=AD 六、折叠型 1、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP. (1)如图②,若M为AD边的中点, ①△AEM的周长=_____cm; ②求证: EP=AE+DP; (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化? 请说明理由.
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