中考数学菱形专题练习.docx
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中考数学菱形专题练习
中考菱形专题附参考答案
1、(2012•泸州)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A.
24
B.
16
C.
4
D.
2
2、(2013凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A.14B.15C.16D.17
3、(2013•绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=()A.
B.
C.
D.
4、(2013•内江)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= .
5、(2013•淄博)如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,
使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为(A)78°(B)75°(C)60°(D)45°
6、(2013•黔西南州)如图5所示,菱形ABCD的边长为4,且
于E,
于F,∠B=60°,则菱形的面积为_________。
7、(2013,河北).如图4,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=
8、(2013•安徽)如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是___________.
9、(2013•临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是 .
10、(2013•黄冈)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
11、(2013•遂宁)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)四边形ABCD是菱形.
12、(2013•恩施州)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,求证:
四边形EFGH为菱形.
13、(2013•常州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.
求证:
四边形ABCD是菱形.
14、(2013•南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
15、(2013泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)证明:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在
(2)的条件下,试确定E点的位置,∠EFD=∠BCD,并说明理由.
16、(2013•乌鲁木齐)如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证:
四边形CFHE是菱形.
17、(2013•临沂)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
18、(2013•龙岩)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点
O
,且
,
.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿
和
运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记
的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?
若存在,这样的点P有几个?
并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.
答案
考点:
菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质.
分析:
根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=4,
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,
故选C.
(2013•绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=()
A.
B.
C.
D.
(2013•内江)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= 5 .
考点:
轴对称-最短路线问题;菱形的性质.
分析:
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出OC、OB,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.
解答:
解:
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CO=AC=3,BO=BD=4,
在Rt△BOC中,由勾股定理得:
BC=5,
即NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
故答案为:
5.
点评:
本题考查了轴对称﹣最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.
(2013•遂宁)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)四边形ABCD是菱形.
(2013•恩施州)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,求证:
四边形EFGH为菱形.
(2013•黄冈)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
(2013•龙岩)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点
O
,且
,
.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿
和
运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记
的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?
若存在,这样的点P有几个?
并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.
.
(1)在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD
∴AD=
=50.
∴菱形ABCD的周长为200.4分
(2)过点M作MP⊥AD,垂足为点P.
①当0<t≤40
∵
∴MP=
∴
=
6分
②当40 ,∴ ∵Sin ∴MP= ∴ 8分 ∴ 当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480. 当40<t≤50时,S随t的增大而减小,当t=40时,最大值为480. 综上所述,S的最大值为480.9分 (3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON.10分 方法一: 过点N作NF⊥OD于点F, 则 ,DF= ∴OF=12,∴ 11分 作 的平分线交NF于点G,过点G作GH⊥ON于点H. ∴ ∴FG= ∴ 设OD中垂线与OD的交点为K,由对称性可知: ∴ 12分 ∴ ∴PK= 13分 根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点 . ∴存在两个点P到OD的距离都是 .14分 方法二: 如图,作ON的垂直平分线,交EF于点I,连结OI,IN. 过点N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为G,H. 当t=30时,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO, ∴ . 即 . ∴NG=24,DG=18.10分 ∵EF垂直平分OD, ∴OE=ED=15,EG=NH=3.11分 设OI=R,EI=x,则 在Rt△OEI中,有R2=152+x2① 在Rt△NIH中,有R2=32+(24-x)2② 由①、②可得: ∴PE=PI+IE= .13分 根据对称性可得,在BD下方还存在一个点 也满足条件. ∴存在两个点P,到OD的距离都是 . (2013•常州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA. 求证: 四边形ABCD是菱形. (2013•南京)如图,将菱形纸片ABCD折迭,使点A恰好落在菱形的对 称中心O处,折痕为EF。 若菱形ABCD的边长为2cm, A=120,则EF=cm。 (2013•南通)如图,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD= 120°,则对角线 AC的长是 A.20B.15C.10D.5 (2013•南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点. (1)求证: △ABE≌△CDF; (2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长. (2013泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF. (1)证明: ∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE. (2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形; (3)在 (2)的条件下,试确定E点的位置,∠EFD=∠BCD,并说明理由. (2013•潍坊)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可) (2013•淄博)如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD, 使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点 D的折痕DE.则∠DEC的大小为 (A)78°(B)75° (C)60°(D)45° (2013•黔西南州)如图5所示,菱形ABCD的边长为4,且 于E, 于F,∠B=60°,则菱形的面积为_________。 (2013•乌 鲁木齐)如图.在△ (2013•乌鲁木齐)如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证: 四边形CFHE是菱形. (2013,河北).如图4,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD, NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN= A.3B.4 C.5 (2013•安徽)如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的
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