高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆基丛点练理.docx
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高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆基丛点练理
2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆基丛点练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
椭圆的定义与标准方程
1,7
椭圆的几何性质
2,3,5,6,10,13
直线与椭圆的位置关系
4,8,9,11,12,14,15
1.已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:
因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1
(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据
椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c==4,e==.
2.(xx广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:
由题意得椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=,b2=,
所以c2=a2-b2=,
所以e2==,所以e=.
3.(xx浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C:
+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2等于( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
由题意得a=3,c=,则|PF2|=2.
在△F2PF1中,由余弦定理可得
cos∠F2PF1==-.
又因为∠F2PF1∈(0,π),
所以∠F2PF1=.故选C.
4.(xx运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B )
(A)(B)-(C)2(D)-2
解析:
设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,
两式相减,得
+=0,
所以=-,
所以k==-.
5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,
tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:
因为·=0,
所以PF1⊥PF2,
在Rt△PF1F2中,
设|PF2|=1,
则|PF1|=2,|F1F2|=,
所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,
故此椭圆的离心率e==.
6.(xx沈阳二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为( D )
(A)(0,-1)(B)(,1)
(C)(0,)(D)(-1,1)
解析:
根据正弦定理得=,(*)
所以由=
可得=,
即==e,
所以|PF1|=e|PF2|,
又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,
则|PF2|=,因为a-c<|PF2| 所以a-c< 即1-<<1+, 所以1-e<<1+e, 即 解得-1 7.(xx上海十三校联考 (二))若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= . 解析: ①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22, 解得a=8. 答案: 4或8 8.(xx河南六市调研 (一))过椭圆+=1的中心任作一直线,交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF面积的最大值是 . 解析: 设P点的纵坐标为yP,由于椭圆+=1的中心是原点O,则Q点的纵坐标为-yP,且|yP|≤4,c===3,则△PQF的面积是|OF|(|yP|+|yQ|)=c×2|yP|=3|yP|≤3×4=12. 答案: 12 9.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l: y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e= . 解析: 因为点A,B分别是直线l: y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是(-,0),(0,a). 设点M的坐标是(x0,y0), 由|AM|=e|AB|,得(*) 因为点M在椭圆上,所以+=1, 将(*)式代入,得+=1, 整理得,e2+e-1=0, 解得e=. 答案: 10.如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程. 解: (1)因为|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c, 所以2a2=4c2, 所以a=c,所以e==. (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 由=2, 解得x=,y=-, 代入+=1,得+=1, 即+=1, 解得a2=3,所以b2=a2-c2=2. 所以椭圆方程为+=1. 能力提升练(时间: 15分钟) 11.(xx宜宾二诊)已知直线l: y=kx与椭圆C: +=1(a>b>0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且·=0.若∠ABF∈(0,],则椭圆C的离心率的取值范围为( D ) (A)(0,](B)(0,] (C)[,](D)[,1) 解析: 设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′,因为·=0, 所以AF⊥BF, 又直线l: y=kx过原点O, 所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称, 所以四边形AFBF′是矩形, 所以|AB|=|FF′|=2c(其中c=), 所以在直角三角形AFB中, |AF|=|AB|sin∠ABF=2csin∠ABF, |BF|=|AB|cos∠ABF=2ccos∠ABF, 又根据椭圆的定义知|AF|+|AF′|=2a, 所以2csin∠ABF+2ccos∠ABF=2a, 所以离心率e== =, 又∠ABF∈(0,], 所以<∠ABF+≤, 所以 故e∈[,1). 12.椭圆Γ: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 解析: 已知F1(-c,0),F2(c,0), 直线y=(x+c)过点F1,且斜率为, 所以倾斜角∠MF1F2=60°. 因为∠MF2F1=∠MF1F2=30°, 所以∠F1MF2=90°, 所以|MF1|=c,|MF2|=c. 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=c+c=2a, 所以离心率e===-1. 答案: -1 13.已知椭圆+=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=,则椭圆的离心率e= . 解析: 设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0), 则k1=,k2=, 由题意有|k1k2|=|·|=||=, 因为P,M,N在椭圆上, 所以+=1,+=1, 两式相减得+=0, 即=-, 所以=,即=,解得e==. 答案: 14.(xx长春调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为2. (1)求椭圆的方程; (2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足=-,求直线l的方程. 解: (1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0), 则=2, c+=±2,c=或c=-3(舍去). 又离心率=,则=, 故a=2,b==, 故椭圆的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0), 因为=-, 所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2.① 易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,①不成立, 于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0), 联立方程 消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,② 因为Δ>0,所以直线与椭圆相交, 于是y1+y2=-,③ y1y2=,④ 由①③得,y2=,y1=-, 代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1, 所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1. 15.(xx兰州模拟)已知椭圆方程为+x2=1,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m). (1)求m的取值范围; (2)求△MPQ面积的最大值. 解: (1)设直线l的方程为y=kx+1, 由 可得(k2+2)x2+2kx-1=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-. 可得y1+y2=k(x1+x2)+2=. 设线段PQ的中点为N,则点N的坐标为(,), 由题意有kMN·k=-1, 可得·k=-1, 可得m=,又k≠0,所以0 故m的取值范围为(0,). (2)设椭圆的焦点为F,由 (1)可得k2=-2, 则S△MPQ=·|FM|·|x1-x2| =|1-m| =|1-m|·=, 所以△MPQ的面积为(0 设f(m)=m(1-m)3, 则f′(m)=(1-m)2(1-4m). 可知f(m)在区间(0,)上单调递增,在区间(,)上单调递减. 所以当m=时,f(m)有最大值f()=. 即当m=时,△MPQ的面积有最大值. 精彩5分钟 1.已知椭圆C: +=1,点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B,则△AOB的面积的最大值为( C ) (A)1(B)(C)2(D)2 解题关键: 设出直线l的方程为y=x+m(m≠0),与椭圆方程联立建立面积关于m的关系式,利用基本不等式求最值. 解析: 由直线l∥OM,可设直线l的方程为y=x+m(m≠0), A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线l的方程代入椭圆C的方程得, x2+2mx+2m2-4=0, 则Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0, 即m∈(-2,2)且m≠0, x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4, 所以S△AOB=|m||x1-x2| =|m|· =|m| = ≤=2, 当且仅当m2=4-m2,即m=±时, △AOB的面积取得最大值,且最大值为2. 2.已知点P是椭圆+=1上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M是∠F1PF2的平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是( A ) (A)(0,4)(B)(0,4](C)(2,4)(D)(2,4] 解题关键: 利用极限思想当点P分别趋近于上顶点和右顶点时点M趋近于点O和点F1. 解析: 由椭圆的对称性,只需研究动点P在第一象限内的情况,当点P趋近于椭圆的上顶点时,点M趋近于点O,此时|OM|趋近于0;当点P趋近于椭圆的右顶点时,点M趋近于点F1,此时|OM|趋近于=4,所以|OM|的取值范围为(0,4). 2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆课时训练理 【选题明细表】 知识点、方法 题号 椭圆的定义与标准方程 1,7 椭圆的几何性质 2,3,5,6,10,13 直线与椭圆的位置关系 4,8,9,11,12,14,15 基础对点练(时间: 30分钟) 1.已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( B ) (A)(B)(C)(D) 解析: 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5, 则c==4,e==. 2.(xx广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( B ) (A)(B)(C)(D) 解析: 由题意得椭圆的标准方程为+=1, 所以a2=,b2=, 所以c2=a2-b2=, 所以e2==,所以e=. 3.(xx浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C: +=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2等于( C ) (A)(B)(C)(D) 解析: 由题意得a=3,c=,则|PF2|=2. 在△F2PF1中,由余弦定理可得 cos∠F2PF1==-. 又因为∠F2PF1∈(0,π), 所以∠F2PF1=.故选C. 4.(xx运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B ) (A)(B)-(C)2(D)-2 解析: 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8,y1+y2=4, 两式相减,得 +=0, 所以=-, 所以k==-. 5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析: 因为·=0, 所以PF1⊥PF2, 在Rt△PF1F2中, 设|PF2|=1, 则|PF1|=2,|F1F2|=, 所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=, 故此椭圆的离心率e==. 6.(xx沈阳二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为( D ) (A)(0,-1)(B)(,1) (C)(0,)(D)(-1,1) 解析: 根据正弦定理得=,(*) 所以由= 可得=, 即==e, 所以|PF1|=e|PF2|, 又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a, 则|PF2|=,因为a-c<|PF2|
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- 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 椭圆 基丛点练理