中职数学三角函数教案.docx

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中职数学三角函数教案

三角函数

一、任意角

1.角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

⑵“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。

记法：

角

或

可以简记成

。

2.“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于

轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3.终边相同的角

所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。

二、弧度制

1.定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角

它的单位是rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

说明：

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）角

的弧度数的绝对值公式：

（l为弧长，r为半径）

2.角度制与弧度制的换算：

∵360︒＝2πrad∴180︒＝πrad

∴1︒＝

3.两个公式

1）弧长公式：

由公式：

比公式

简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

2）扇形面积公式

其中

是扇形弧长，

是圆的半径

4.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

角度

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

弧度

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

5.应确立如下的概念：

角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

三、任意角三角函数的定义

1.设

是一个任意角，在

的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）

则P与原点的距离

（1）把比值

叫做

的正弦记作：

（2）把比值

叫做

的余弦记作：

（3）把比值

叫做

的正切记作：

上述三个比值都不会随P点在

的终边上的位置的改变而改变.当角

的终边在纵轴上时，即

时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan

无意义；

它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：

R

R

2.三角函数的符号

3.终边相同的角的同一三角函数值相等

例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即

sin390°＝sin30°　　cos390°＝cos30°

sin（－330°）＝sin30°　cos（－330°）＝cos30°

诱导公式一（其中

）:

用弧度制可写成

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4.三角函数的集合表示：

例1.在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

例2.写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）

例3.用集合的形式表示象限角

第一象限的角表示为{α|k⋅360︒<α

第二象限的角表示为

第三象限的角表示为

第四象限的角表示为

巩固练习

1.下列命题中正确的是（）

A.终边在y轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

2.与120°角终边相同的角是（）

A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

C.120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ

D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是

4.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．

5.一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.

6.确定下列各式的符号

（1）sin100°·cos240°

（2）sin5+tan5

四、三角函数

（一）三角函数的几何表示

1、有向线段：

规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。

有向直线：

规定了正方向的直线称为有向直线。

有向线段的数量：

有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。

记为AB

如图：

AB＝3，BC＝2，CB＝－2

2、三角函数线的定义：

有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线

（二）同角三角函数的关系

1.公式：

2.采用定义证明：

（三）诱导公式

1、诱导公式一：

（其中

）

用弧度制可写成

（其中

）

诱导公式

（一）的作用：

把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角

终边相同的角，再把它写成诱导公式

（一）的形式，然后得出结果。

2、诱导公式二：

用弧度制可表示如下：

3、诱导公式三：

4、诱导公式四：

用弧度制可表示如下：

5、诱导公式五：

6、诱导公式六：

sin（90︒-α）=cosαcos（90︒-α）=sinα.

tan（90︒-α）=cotαcot（90︒-α）=tanα.

sec（90︒-α）=cscαcsc（90︒-α）=secα

7、诱导公式七：

sin（90︒+α）=cosαcos（90︒+α）=-sinα.

tan（90︒+α）=-cotαcot（90︒+α）=-tanα.

sec（90︒+α）=-cscαcsc（90︒+α）=secα

例1.确定角α为何值时，下面的式子有意义。

（1）cosαtanα

（2）

例2.已知

，求sin

、tan

的值。

例5.求下列各式的值：

（1）sin（－

）；

（2）cos（－60º）－sin（－210º）

巩固练习

1.已知sinα＋cosα＝

，且0＜α＜π，则tanα的值为（）

A.

B.

C.

D.

2.

=。

3.求下列三角函数值：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

五、三角函数的图象和性质

（一）三角函数的周期性

周期函数：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：

①周期函数x定义域M，则必有x+T

M

②T往往是多值的（如y=sinx2

4

…,-2

-4

…都是周期）周期T中最小的正数叫做f（x）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π

注：

在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。

（二）三角函数的性质

1.几何法作图

第一步：

列表。

首先在单位圆中画出正弦线和余弦线。

在直角坐标系的x轴上任取一点

，以

为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角

，

，

…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）。

第二步：

描点。

我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。

第三步：

连线。

用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。

将y=sinx的图象向左平移

即得y=cosx的图象

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）

（1）正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

（0,0）（

1）（π,0）（

-1）（2π,0）

（2）余弦函数y=cosxx∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：

（0,1）（

0）（π,-1）（

0）（2π,1）

3.正弦函数的性质

（1）定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R

分别记作：

y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R

（2）值域

正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝

＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。

②当且仅当x＝－

＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。

②当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1。

（3）周期性

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

函数

及函数

（其中A，

为常数，且

）的周期

（4）奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

（5）单调性

正弦函数在每一个闭区间［－

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。

例1、若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示

（1）求该函数的周期；

（2）求t＝10s时钟摆的高度。

例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

例3、求下列函数的定义域：

（1）y＝

（2）y＝

巩固练习

1.函数y＝2－sinx，x∈［0，π］的最大值为（）

A.0B.

－1C.2D.

2.直接写出下列函数的定义域、值域：

y＝

y＝

3.函数y＝ksinx＋b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。

4.求

的单调递增区间。

5.求函数y＝－cosx的单调区间。

六、正切函数的图象和性质

1.正切函数图象的作法

在

的区间作出它的图象

，且

的图象，称“正切曲线”

正切函数的性质：

1.定义域：

2.值域：

R

3.当

时

，当

时

4.周期性：

5.奇偶性：

奇函数

6.单调性：

在开区间

内，函数单调递增

七、函数