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运筹学习题
第一章习题
1.思考题
(2)线性规划的标准形有哪些限制?
如何把一般的线性规划化为标准形式?
(3)图解法主要步骤是什么?
从中可以看出线性规划最优解有那些特点?
(4)什么是线性规划的可行解,基本解,基可行解?
引入基本解和基可行解有什么作用?
(5)对于任意基可行解,为什么必须把目标函数用非基变量表示出来?
什么是检验数?
它有什么作用?
如何计算检验数?
(6)确定换出变量的法则是什么?
(7)如何进行换基迭代运算?
(10)如何判定线性规划有唯一最优解,无穷多最优解和无最优解?
为什么?
2.建立下列问题的线性规划模型:
(1)某厂生产A,B,C三种产品,每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示:
表1-18
产品
A
B
C
资源数量
原料单耗
机时单耗
2
2.5
3
3
5
6
2000
2600
利润
10
14
20
另外,要求三种产品总产量不低于65件,A的产量不高于B的产量。
试制定使总利润最大的模型。
(2)某公司打算利用具有下列成分(见表1-19)的合金配制一种新型合金100公斤,新合金含铅,锌,锡的比例为3:
2:
5。
表1-19
合金品种
1
2
3
4
5
含铅%
含锌%
含锡%
30
60
10
10
20
70
50
20
30
10
10
80
50
10
40
单价(元/kg)
8.5
6.0
8.9
5.7
8.8
如何安排配方,使成本最低?
(3)某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20
班次
时间
最少人数
1
2
3
4
5
6
6:
00-10:
00
10:
00-14:
00
14:
00-18:
00
18:
00-22:
00
22:
00-2:
00
2:
00-6:
00
60
70
60
50
20
30
假定每人上班后连续工作8小时,试建立使总人数最少的计划安排模型。
能否利用初等数学的视察法,求出它的最优解?
3.用图解法求下列线性规划的最优解:
4.把下列线性规划化为标准形式:
5.判定下列集合是否凸集:
(1)R1={(x1,x2)|x12+2x22≤2}
(2)R2={(x1,x2)|x12-2x2+3≥0,x2≥0,|x1|≤1}
(3)R3={(x1,x2)|x1x2≥1,x1≥1,x2≥0}
7.求下列线性规划的解:
(1)
(2)
9.对于问题
(1)设最优解为X*,当C改为
时,最优解为
,则
。
(2)如果X1,X2均为最优解,则对于α∈[0,1],αX1+(1-α)X2均为最优解。
11.表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表,其中x4,x5,x6是松弛变量。
表1-21
cj
2
2
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x5
x2
x1
2
1
4
1
-1
2a
2
1
-1
-1
-2
-a+8
σj
-1
(1)把表中缺少的项目填上适当的数或式子。
(2)要使上表成为最优表,a应满足什么条件?
(3)何时有无穷多最优解?
(4)何时无最优解?
(5)何时应以x3替换x1?
第二章习题
1.思考题
(1)如何在以B为基的单纯形表中,找出B-1?
该表是怎样由初始表得到的?
(2)对偶问题的构成要素之间,有哪些对应规律?
(3)如何从原问题最优表中,直接找到对偶最优解?
(4)叙述互补松弛定理及其经济意义。
(5)什么是资源的影子价格?
它在经济管理中有什么作用?
(6)对偶单纯形法有哪些操作要点?
它与单纯形法有哪些相同,哪些地方有区别?
(7)灵敏度分析主要讨论什么问题?
分析的基本思路是什么?
四种基本情况的分析要点是什么?
2.已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21,请把表中空白处的数字填上,并指出最优基B及B-1。
表2-21
cj
2
-1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
0
0
x4
x5
x6
3
1
1
1
-1
1
1
2
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
σj
2
-1
1
0
0
0
0
2
-1
x4
x1
x2
10
15
5
-1
1/2
-1/2
-2
1/2
1/2
σj
3.某个线性规划的最终表是表2-22:
表2-22
cj
0
1
-2
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
1
-2
x1
x2
x3
13/2
5/2
1/2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-1/2
-1/2
-1/2
5/2
3/2
1/2
σj
0
0
0
-1/2
-1/2
初始基变量是x1,x4,x5。
(1)求最优基B=(P1,P2,P3);
(2)求初始表。
4.写出下列线性规划的对偶问题:
5.已知线性规划
(1)写出它的对偶问题;
(2)引入松弛变量,化为标准形式,再写出对偶问题;
(3)引入人工变量,把问题化为等价模型:
再写出它的对偶问题。
试说明上面三个对偶问题是完全一致的。
由此,可以得出什么样的一般结论?
6.利用对偶理论说明下列线性规划无最优解:
7.已知表2-23是某线性规划的最优表,其中x4,x5为松弛变量,两个约束条件为≤型。
表2-23
cj
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x3
x1
5/2
3/2
0
1
1/2
-1/2
1
0
1/2
-1/6
0
1/3
σj
0
-4
0
-4
-2
(1)求价值系数cj和原线性规划;
(2)写出原问题的对偶问题;
(3)由表2-23求对偶最优解。
8.已知线性规划问题
(1)写出对偶问题;
(2)已知原问题的最优解为X*=(1,1,2,0)T,求对偶问题的最优解。
9*.已知线性规划
的最优解为X*=(0,0,4)T。
(1)写出对偶问题;
(2)求对偶问题最优解。
10.用对偶单纯形法解下列各线性规划:
12*.已知线性规划
(1)写出对偶问题,用图解法求最优解;
(2)利用对偶原理求原问题最优解。
13.线性规划
的最优单纯形表如表2-24所示。
表2-24
cj
2
-1
1
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2
0
x1
x5
6
10
1
0
1
3
1
1
1
1
0
1
σj
0
-3
-1
-2
0
(1)x2的系数c2在何范围内变化,最优解不变?
若c2=3,求新的最优解;
(2)b1在何范围内变化,最优基不变?
如b1=3,求新的最优解;
(3)增加新约束-x1+2x3≥2,求新的最优解;
(4)增加新变量x6,其系数列向量P6=
,价值系数c6=1,求新的最优解。
14.某厂生产甲、乙、丙三种产品,有关资料如表2-25所示。
表2-25
甲
乙
丙
原料数量
A
B
6
3
3
4
5
5
45
30
产品价格
4
1
5
(1)建立使总产值最大的线性规划模型;
(2)求最优解,并指出原料A,B的影子价格;
(3)产品甲的价格在什么范围内变化,最优解不变?
(4)若有一种新产品,其原料消耗定额为:
A为3单位,B为2单位,价格为2.5单位,求新的最优计划。
;
(5)已知原料B的市场价为0.5单位,可以随时购买,而原料A市场无货。
问该厂是否应购买B,购进多少为宜?
新的最优计划是什么?
(6)由于某种原因,该厂决定暂停甲产品的生产,试重新制定最优生产计划。
第三章习题
1.表3—35和表3—36分别给出了各产地和各销地的产量和销量,以及各产地至各销地的单位运价,试用表上作业法求最优解。
表3—35
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
3
5
9
6
3
7
2
6
7
6
4
8
55
70
75
销量
40
45
55
60
200
表3-36
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
9
7
8
5
2
3
6
7
4
7
6
8
30
25
45
销量
20
20
25
35
100
2.试求表3-37给出的产销不平衡运输问题的最优解。
表3-37
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
2
10
7
11
3
8
3
5
1
4
9
2
7
5
7
销量
2
3
4
6
第四章习题
1.已知条件如表所示
工序
型号
每周最大加工能力
A
B
Ⅰ(小时/台)
Ⅱ(小时/台)
4
3
6
2
150
70
利润(元/台)
300
450
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下:
p1:
每周总利润不得低于10000元;
p2:
因合同要求,A型机每周至少生产10台,B型机每周至少生产15台;
p3:
希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时,工序Ⅱ的生产时间最好用足,甚至可适当加班。
试建立这个问题的目标规划模型。
2.在上题中,如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品,每台A型机减少利润10元,每台B型机减少利润25元,并且工序Ⅱ的加班时间每周最多不超过30小时,这是p4级目标,试建立这个问题的目标规划模型。
3.用图解法解下列目标规划模型。
4.用目标规划的单纯形方法解以下目标规划模型。
5.给定目标规划问题:
(a)求该目标规划问题的满意解;
(b)若约束右端项增加Δb=(0,0,5)T,问满意解如何变化?
(c)若目标函数变为
,则满意解如何变化?
(d)若第二个约束右端项改为45,则满意解如何变化?
6.某纺织厂生产两种布料,一种用来做服装,另一种用来做窗帘。
该厂实行两班生产,每周生产时间定为80小时。
这两种布料每小时都生产1000米。
假定每周窗帘布可销售70000米,每米的利润为2.5元;衣料布可销售45000米,每米的利润为1.5元。
该厂在制定生产计划时有以下各级目标:
p1:
每周必须用足80小时的生产时间;
p2:
每周加班时数不超过10小时;
p3:
每周销售窗帘布70000米,衣料布45000米;
p4:
加班时间尽可能减少。
试建立这个问题的目标规划模型。
第五章习题
5.1某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油,使总的钻井费用最小。
若10个井位的代号为
,相应的钻井费用为
,并且井位选择上要满足下列限制条件:
①或选择
和
,或选择钻探
;
②选择了
或
就不能选
,或反过来也一样;
③在
中最多只能选两个;试建立这个问题的整数规划模型。
5.2某市为方便学生上学,拟在新建的居民小区增设若干所小学。
已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示,问为覆盖所有小区至少应建多少所小学,要求建模并求解。
表5–12
备选校址代号
覆盖的居民小区编号
A
1,5,7
B
1,2,5
C
1,3,5
D
2,4,5
E
3,6,
F
4,6,
5.3一货船,有效载重量为24吨,可运输货物重量及运费收入如表5-13所示,现货物2、4中优先运2,货物1、5不能混装,试建立运费收入最多的运输方案。
表5-13
货物
1
2
3
4
5
6
重量(吨)
5
9
8
7
10
23
收入(万元)
1
4
4
3
5
7
5.4用分支定界法求解下列整数规划问题
(1)
(2)
5.5用割平面法求解下列整数规划问题
(1)
(2)
5.7用匈牙利法求解下列指派问题,已知效率矩阵分别如下:
5.8已知下列五名运动员各种泳姿的运动成绩(各为50米)如表5-14所示,请问如何从中选择一个参加200米混合泳的接力队,使预期比赛成绩最好。
表5-14单位:
秒
赵
钱
张
王
周
仰泳
37.7
32.9
33.8
37.0
35.4
蛙泳
43.4
33.1
42.2
34.7
41.8
蝶泳
33.3
28.5
38.9
30.4
33.6
自由泳
29.2
26.4
29.6
28.5
31.1
5.9分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成各项任务时间如表5-15所示。
由于任务数多于人数,故规定其中有一个人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表5-15
人任务
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
5.10从甲、乙、丙、丁、戊五个人中挑选四人完成四项工作。
已知每人完成各项工作的时间如表5-16所示。
规定每项工作只能由一个人单独去完成,每个人最多承担一项任务。
又假定对甲必须保证分配一项任务,丁因某种原因决定不同意承担第4项任务,在满足上述条件下,如何分配工作,使完成四项工作总的花费时间最少。
表5–16
工作人
甲
乙
丙
丁
戊
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
6
8
第6章习题
6.用标号法求下面网络的最大流.
9.如图8—35,发点S1,S2分别可供应10和15个单位,收点T1和T2可接收10个和25个单位,求最大流,边上的数为
。
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