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双曲线解答题练习含答案doc
双曲线解答题练习
1.如图,在以点。
为圆心,|AB|二4为直径的半圆ADB中,0D丄AB,P是半圆弧上
一点,ZPOB=30°,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹,且曲线
C过点P.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F・若AOEF的血积不小于,求直线/斜率的取值范围.
•••
2.双曲线的中心为原点0,焦点在兀轴上,两条渐近线分别为/卩12,经过右焦点F垂直
于£的直线分别交厶于人B两点.已知|网、阿网成等差数列,且丽与丽同向.
(I)求双曲线的离心率;
(II)设4B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
3.已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分别为片,",过点厲的动直线与双曲线相交于A,B两点.
(I)若动点M满足丽二帀+丽+而(其中0为坐标原点),求点M的轨迹方程;
(II)在x轴上是否存在定点C,使冯・质为常数?
若存在,求111点C的坐标;若不存在,请说明理由.
4已知双曲线c的方程为召嶋W>OQO),离心率“孕顶点到渐近线的距
离为芈
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两
条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若—-—-1
AP=APB9Ae[-,2],求AAOB面积的収值范围
3
5.求一条渐近线方程是3x+4v=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.(12分)
6.双曲线x2-y2=a2(a>0)的两个焦点分别为巧,的,P为双曲线上任意一点,求证:
\PF^\PO\.\PF2\成等比数列(O为坐标原点).(22分)
7.已知动点P与双曲线x2~y2=l的两个焦点Fi,F2的距离Z和为定值,且cosZF^的最
1
小值为一亍
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,—1),若斜率为k(30)的直线/与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使\MA\=\MB\,试求k的取值范围.(12分)
8.已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,试求实数k的取值范围.(12分)
x2y2
9.设双曲线Ci的方程为=一刍=l(d>0,b>0),A、B为其左、右两个顶点,P是双曲a~h~
线Ci上的任意一点,引QB丄PB,QA丄PA,AQ与BQ交于点Q.
(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹为C2,Ci、C2
的离心率分别为©、勺,当>V2时,幺2的取值范围(14分)
10.某屮心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:
正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当吋声咅传播的速度为340m/s湘关各点均在同一平面上).(14分)
双曲线练习题答案
1.如图,在以点0为圆心,\AB\=4为直径的半圆ADB中,
0D丄AB,P是半圆弧上一点,ZPOB=30°,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(I)建立适当的平血直角坐标系,求曲线C的方程;
(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F.若厶OEF的面积不小于2近,求直线/斜率的取值范围.
•••
解:
(I)以0为原点,AB.OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(・2,
0),B(2,0),D(0,2),P(V3,l),依题意得
IMA|・IMB\=\PA\・IPBI=(2+V3)2+12-V(2-V3)2+12=2a/2 ・・・曲线C是以原点为中心,A、3为焦点的双曲线. 设实半轴长为0,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,20=2-72,/.a2=2,b2=c2-a2=2. ・・・曲欽的方程为于才1. 解法2: 同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得丨MA\-\MB\=\PA\-\PB\ ・•・曲线C是以原点为中心,&、B为焦点的双曲线. X2y2 设双曲线的方程为一^一厶~=1(。 >0,b>0). 疋b2 ")2] 则由 a2+b2=4 X2y2 •••曲线C的方程为一—丄=1. 22 (1【)解法1: 依题意,可设直线/的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1・『)x2-4/cx-6=0. ・・•直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F, .Jl—/H0J"±l …〔△=(—4幻2+4x6(1—,)a0[-y/3 4£6 设E(x,y),F(X2』2),则由①式得X1+X2二,xix2='于是 1-k*\-k IEF|=J(X]_兀2)2+(y】+兀2)2=J(1+R2)(X[_兀2)2 =Jl+/-J(X]+兀2)2一4兀丿2=Jl+£,-2彳'J. 若厶OEF血积不小于2血,即S△。 许血,贝I」有 综合②、③知,直线/的斜率的取值范围为卜V2,-ljud-,! )U(1? 72). 解法2: 依题意,可设直线/的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1・/)x2-4kx-6=0. 2±1 -V3<* T直线/与双曲线C相交于不同的两点&F, 1一宀0 <=> △=(_4R)2+4x6(1_Q>0 若AOEF而积不小于2厲,即以阿血,则有 综合②、④知,直线/的斜率的取值范围为卜VLj]u(-1,1)u(1, 2.(I)设0A-m-d,AB=m,OB=m+d fh勾股定理川得: (m-6/)2+m2=(m+6? )2 ihAR4 得: d=—m,tanZAOF=-,tanZAOB=tan2ZAOF=——=- 4aOA3 22 (II)过F直线方程为y=--(x-c),与双曲线方程*一冷=1联立ba 将a=2b,c=>/5h代入,化简有_I1x2_8V5x+21=0 4/rb [(石+x2)2一4兀|兀2 3•解: 由条件知£(一2,0),鬥(2,0),设4(壬,yj,B(x2,y2). (I)解法一: (I)设M3y),则则巧M=(兀+2,y),F}A=(x}+2,刃), 丽二(勺+2,旳),*=(2,0),由顾二帀+丽+而得 X.+x9=x-4,即彳2 于是AB的中点坐标为(宁另 又因为A,B两点在双曲线上,所以彳_才=2,丘―衣=2,两式相减得 (西一尤2)(兀1+兀2)=(X一儿)(X+丿2),即(西一兀2)(兀一勺=(必一力)歹• 将必—%二丄3—吃)代入上式,化简得(X一6)2一b=4.x-8 当AB与兀轴垂直时,西二兀2=2,求得M(8,0),也满足上述方程. 所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4. [x,+兀,二兀一4, 解法二: 同解法一的(I)有彳 当AB不与兀轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x—2)(k主±1)・ 代入兀2_护=2有(1_/)兀2*4k2x_(僦2+2)=0. 4k? 则西,兀2是上述方程的两个实根,所以西+兀2=戸二・ Ab2 由①②③得兀一4=—^• £「一1 4k 当R=0吋,点M的坐标为(4,0),满足上述方程. 当A3与兀轴垂直时,西=勺=2,求得M(8,0),也满足上述力程. 故点M的轨迹方程是(x-6)2-/=4・ (II)假设在兀轴上存在定点C(m,0),使页可为常数. 当不与兀轴垂直时,设直线AB的力程是y=k(x_2)伙工±1). 代入兀2_戸=2有(1_疋)兀2+4疋兀一@疋+2)=0. 于是CAnCB=(X]-m)(x2-m)+k2(x}-2)(x2-2) 伙2+1)XjX2-(2k2+m)(xx+花)+4疋+m (疋+1)(4疋+2)4k2(2k2+m) 因为页可是与£无关的常数,所以4-4m=0,即m=l,此时CATCB=-1. 当AB与兀轴垂直时,点人B的坐标可分别设为(2,V2),(2,-72),此时G4CCB=(1,a/2)E(1,-V2)=-1. 故在兀轴上存在定点C(1,O),使CATB^常数. 7/s 4.(I)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=O的距离为亠, ab2^5 所以臓C的方程是「X (II)设直线AB的方程为y=kx+m. -m2m r+畑点的坐标为(長眾), [解析]: (l)Vx2~y2=l,: .c=y{2.设|PFj+IPF2I=2a(常数a>0),2a>2c=2逗,: .a>y/2 ,“宀w-‘北\PF1\2^\PF2\2-\FrF2\2(\PF1\^\PF2\)2-2\PF1\\PF2\-\F1F2\2 由余弦定理有cosZF'PF? 2a2—4 -1 VlPFJIPF2\S严IJP'I)2=a2・当且仅当|p&I=IPF21时,IPF]11PF21取得最大值a2. •••P点的轨迹方程为三+『=1・ X]+x2—3km 设A(X1,力),8(X2,卩2),则AB中点Q(Xo,yo)的坐标满足: Xo='、」? '、'=匸费yo=kx()+m=#^ •••=-1…… (1)连接PQ,取PQ中点R, xQ-ax—aPA丄@4,QB丄PB,・•」R41=丄|PQ\ARB|=-|PQI,/.|RA|=|RB|,/./? 点在),轴上 22 =o,即龙0=-x……⑵,把⑵代入⑴得: ……(3) 2a1-x1y 222\2 把⑵⑶代入4-4=1,得各-U=i.-.-x=±g时,不合题意,.・./-护北() a2b2a2y2b2 J 整理得: a2x2-b2y2=a4,.\Q点轨迹方程为-b2y2=a"(除去点(-a,O),(a,O)外) 2/ x2v2oa+7T/qi (2)解: 由 (1)得的方程为—=1,e2=7~=l+k=l+=1+ _«2/«2b2c2-a2异_] bT •/e.>a/2,<\+—=2,: .\ _(V2)2-l 10.(14分)[解析]: 以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、亲、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020) 设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO±,PO的方程为y=~x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|—|PA1=340X4=1360 由双曲线定义知P点在以A.B为焦点的双曲线匸_二=1上,依题意得0=680,c=1020, /.b2=c2-cr=102()2-6802=5x34()S故双曲线方程为: 上疋—=i 68025x340・ 用尸一X代入上式,得x=±680>/5,•? |PB|>|PA|X=-680^5,y=680^5,即P(-680V5,680V5),故PO=680佰,答: l~i响发4: 在接报小心的西偏北45°距屮心680V10m处.
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