最新初三数学二次函数知识点总结32416复习过程.docx
- 文档编号:504415
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:292.75KB
最新初三数学二次函数知识点总结32416复习过程.docx
《最新初三数学二次函数知识点总结32416复习过程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新初三数学二次函数知识点总结32416复习过程.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新初三数学二次函数知识点总结32416复习过程
初三数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如
(
是常数,
)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数
,而
可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数
的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量
的二次式,
的最高次数是2.
⑵
是常数,
是二次项系数,
是一次项系数,
是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,
随
的增大而增大;
时,
随
的增大而减小;
时,
有最小值
.
向下
轴
时,
随
的增大而减小;
时,
随
的增大而增大;
时,
有最大值
.
2.
的性质:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,
随
的增大而增大;
时,
随
的增大而减小;
时,
有最小值
.
向下
轴
时,
随
的增大而减小;
时,
随
的增大而增大;
时,
有最大值
.
3.
的性质:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,
随
的增大而增大;
时,
随
的增大而减小;
时,
有最小值
.
向下
X=h
时,
随
的增大而减小;
时,
随
的增大而增大;
时,
有最大值
.
4.
的性质:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,
随
的增大而增大;
时,
随
的增大而减小;
时,
有最小值
.
向下
X=h
时,
随
的增大而减小;
时,
随
的增大而增大;
时,
有最大值
.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
,确定其顶点坐标
;
⑵保持抛物线
的形状不变,将其顶点平移到
处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移,负左移;
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴
沿
轴平移:
向上(下)平移
个单位,
变成
(或
)
⑵
沿轴平移:
向左(右)平移
个单位,
变成
(或
)
四、二次函数
与
的比较
从解析式上看,
与
是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
,其中
.
五、二次函数
图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数
化为顶点式
,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
,
(若与
轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与
轴的交点,与
轴的交点.
六、二次函数
的性质
1.当
时,抛物线开口向上,对称轴为
,顶点坐标为
.
当
时,
随
的增大而减小;当
时,
随
的增大而增大;当
时,
有最小值
.
2.当
时,抛物线开口向下,对称轴为
,顶点坐标为
.当
时,
随
的增大而增大;当
时,
随
的增大而减小;当
时,
有最大值
.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
(
,
,
为常数,
);
2.顶点式:
(
,
,
为常数,
);
3.两根式:
(
,
,
是抛物线与
轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与
轴有交点,即
时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数
中,
作为二次项系数,显然
.
⑴当
时,抛物线开口向上,
的值越大,开口越小,反之
的值越小,开口越大;
⑵当
时,抛物线开口向下,
的值越小,开口越小,反之
的值越大,开口越大.
总结起来,
决定了抛物线开口的大小和方向,
的正负决定开口方向,
的大小决定开口的大小.
2.一次项系数
在二次项系数
确定的前提下,
决定了抛物线的对称轴.
⑴在
的前提下,
当
时,
,即抛物线的对称轴在
轴左侧;
当
时,
,即抛物线的对称轴就是
轴;
当
时,
,即抛物线对称轴在
轴的右侧.
⑵在
的前提下,结论刚好与上述相反,即
当
时,
,即抛物线的对称轴在
轴右侧;
当
时,
,即抛物线的对称轴就是
轴;
当
时,
,即抛物线对称轴在
轴的左侧.
总结起来,在
确定的前提下,
决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:
对称轴
在
轴左边则
,在
轴的右侧则
,概括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项
⑴当
时,抛物线与
轴的交点在
轴上方,即抛物线与
轴交点的纵坐标为正;
⑵当
时,抛物线与
轴的交点为坐标原点,即抛物线与
轴交点的纵坐标为
;
⑶当
时,抛物线与
轴的交点在
轴下方,即抛物线与
轴交点的纵坐标为负.
总结起来,
决定了抛物线与
轴交点的位置.
总之,只要
都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于
轴对称
关于
轴对称后,得到的解析式是
;
关于
轴对称后,得到的解析式是
;
2.关于
轴对称
关于
轴对称后,得到的解析式是
;
关于
轴对称后,得到的解析式是
;
3.关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是
;
关于原点对称后,得到的解析式是
;
4.关于顶点对称(即:
抛物线绕顶点旋转180°)
关于顶点对称后,得到的解析式是
;
关于顶点对称后,得到的解析式是
.
5.关于点
对称
关于点
对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与
轴交点情况):
一元二次方程
是二次函数
当函数值
时的特殊情况.
图象与
轴的交点个数:
①当
时,图象与
轴交于两点
,其中的
是一元二次方程
的两根.这两点间的距离
.
②当
时,图象与
轴只有一个交点;
③当
时,图象与
轴没有交点.
当
时,图象落在
轴的上方,无论
为任何实数,都有
;
当
时,图象落在
轴的下方,无论
为任何实数,都有
.
2.抛物线
的图象与
轴一定相交,交点坐标为
,
;
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与
轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数
中
,
,
的符号,或由二次函数中
,
,
的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与
轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式
本身就是所含字母
的二次函数;下面以
时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
抛物线与
轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与
轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与
轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考:
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以
为自变量的二次函数
的图像经过原点,则
的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数
的图像在第一、二、三象限内,那么函数
的图像大致是()
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
,求这条抛物线的解析式。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线
(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
(1)二次函数
的图像如图1,则点
在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:
①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1 ①aO;③4a+c A1个B.2个C.3个D.4个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知: 关于x的一元二次方程ax2+
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 初三 数学 二次 函数 知识点 总结 32416 复习 过程