最新二次函数铅垂高演练答案解析总结.docx
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最新二次函数铅垂高演练答案解析总结
二次函数铅垂高
如图12-1,过厶ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直
线之间的距离叫厶ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度
1
叫厶ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
Sabcah,
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
⑵点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点
C时,求△CAB的铅垂高CD及Scab;
例1解:
(1)设抛物线的解析式为:
y!
=a(x—1)2+4•分
把A(3,0)代入解析式求得a=-1
所以y^i=-(x-1)24=-x22x33分
设直线AB的解析式为:
y2二kx•b
由y1二-x22x3求得b点的坐标为(0,3)4分
把A(3,0),B(0,3)代入y2=kxb中
解得:
k=T,b=3
所以y2=_x■36分
⑵因为C点坐标为(1,4)所以当x=1时,y1=4,y2=2
所以CD=4-2=2•分
10分
Scab=132=3(平方单位)
⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为'△PAB的铅垂高为h,
则h=y1_y2=(_x22x3)_(_x3)=_x23x12分
由&PAB=SaCAB
8
19
得:
3(-x23x)3
28
化简得:
4x2_12x•9=0
3
解得,x=3
2
32
将x代入%--x2x3中,
315
解得P点坐标为(3,)14分
总结:
求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
铅垂高的表示方法是解决问题的关键,要学
会用坐标表示线段。
例2(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2•bx•c(a-0)
的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B
1
点的坐标为(3,0),OB=OC,tan/ACO=—.
3
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过CD两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使
以点A、CE、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存
在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于MN两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图11,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动
点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?
求出此时P点的坐标和△APG的最
1)方法一:
由已知得:
C(0,—3),A(-1,0)
a-bc=0
«9a+3b+c=0
将A、B、C三点的坐标代入得卜=一3
a=1
«b=—2
解得:
尸一3
2所以这个二次函数的表达式为:
y=x-2x-3
方法二:
由已知得:
C(0,—3),A(—1,0)
设该表达式为:
y=a(x1)(^3)
将C点的坐标代入得:
a=1
所以这个二次函数的表达式为:
y=x?
-2x-3
(注:
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一:
存在,F点的坐标为(2,—3)
理由:
易得D(1,—4),所以直线CD的解析式为:
y
•••E点的坐标为(一3,0)
由AC、E、F四点的坐标得:
AE=CF=2,AE//CF
•••以ACE、F为顶点的四边形为平行四边形
y=_x_3
•存在点F,坐标为(2,—3)
方法二:
易得D(1,—4),所以直线CD的解析式为:
•E点的坐标为(一3,0)
•••以ACE、F为顶点的四边形为平行四边形
•F点的坐标为(2,—3)或(一2,—3)或(一4,3
代入抛物线的表达式检验,只有(2,—3)符合
存在点F,坐标为(2,-3)
(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为
代入抛物线的表达式,解得2
②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),
则N(r+1,-r),
代入抛物线的表达式,解得
一1..17
1.17
•••圆的半径为2或2
(4)
过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得
G(2,-3),直线AG为y=—X-1
2
(X,X—2x-3),则Q(X,-X—1),PQ=—X
SAPG
二SapqSgpq」(—x2x2)3
--2
1
X=
当2时,△APG的面积最大
结‘-晋is心pg的最大值为27
此时p点的坐标为24,8
随堂练习1.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD勺顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和
(2,0),BC=23.设直线AC与直线x=4交于点E
(1)求以直线x=4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物
线一定过点E;
(2)设
(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于CN之间的一动点,求△CMN面积的最大值.
2
•设抛物线的函数关系式为y=a(x-4)m,
y=_d(X_4)2+还
•所求抛物线的函数关系式为63
则4am=2、.3,解得
a二一
•••直线AC的函数关系式为
3,•点E的坐标为
16am=0
设直线AC的函数关系式为y=kx.b,则2k•b=2.3,解得
y一£(43+辺二症
33,•此抛物线过E点.
把x=4代入①式,得6
(2)
(1)中抛物线与x轴的另一个交点为
N(8,0),设M(x,y),过M作MGLx轴于
G,贝USACMN=S\MNG+梯形MGB—SA
丄(8—x)Ly+^(y+2药&一2)—1x(8一2)
CBN=222
x)、3x-8.?
=x25•3x-8、3
32
1329••3
(x-5)
22
•••当x=5时,SACMN有最大值2
课下练习1.(本题满分12分)已知:
如图一次函数y=1x+1的图象与x轴交于点A,与y
轴交于点B;二次函数y=1x2+bx+c的图象与一次函数y=*x+1的图象交于B、C两
点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
⑵求四边形BDEC的面积S;
(3)
在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
(2)在x轴上方的抛物线上有一点
D,且以AC、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯
(1)求该抛物线的解析式,并判断ABC的形状;
形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?
【答案】解:
根据题意,将
一
A(2,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,
11
-一-一ab=0,
42
得-42ab=0.
解这个方程,得
^2,
b=1.
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3
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+i.
当x=0时,y=1.所以点C的坐标为(0,1)。
22逅
所以在△AOC中,AC=OAOC=2在厶BOC中,BC=JOB2+OC2=薦.
AB=OA+OB=
所以△ABC是直角二角形。
勺]
(2)点D的坐标是2
(3)存在。
由
(1)知,AC丄BC,
若以BC为底边,则BC//AP,如图
(1)所示,可求得直线BC的解析式为
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设
直线AP的解析式为
_1_1
将A(2,0)代入直线AP的解析式求得b=4,所
11
y=一一x一一以直线AP的解析式为24.
311
x-一因为点P既在抛物线上,又在直线AP上,所以点P的纵坐标相等,即-x2+2x+仁24.
综上所述,满足题目的点
5
P的坐标为(2,
2)或(-2,-9)
51
论=—x2=—―
解得22(不合题意,舍去)
Xi=_:
X2=2
解得2(不合题意,舍去)
5
当x=-2时,y=-9.
5
所以点P的坐标为(-2,-9).
--x2+?
x+4
2(本题10分)如图,已知二次函数y=42的图象与y轴交于点A,与x轴
交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为,点C的坐标为;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
.解:
(1)A
(2)易得
(0,
D
4),C(8,0).
(3,0),CD=5.设直线AC对应的函数关系式为
y=kxb,
则b=4,
8kb
=0.
1
解得kr
b=4.
分
①当
DE=DC时,
•/OA=4,OD=3.
•••DA=5,•••巳(0,4).
②当
ED=EC时,
可得E2(11
③当
CD=CE时,
如图,过点
5).••……
24
E作EG丄CD,
则厶CEGCAO,「.12
OA
CG_CE~O^AC
Fj
A
BO
5分
即EG=厉,CG=2.5,•
Es(8-2.5,5)•
综上,符合条件的点E有三个:
巳(0,4),e2
(115
\?
—
24
),
Es(8-2.5,5).
(3)
如图,过P作PH丄OC,垂足为H,
(m,_^m2十Em+4),贝VQ(m,
42
①当
0:
:
:
m:
:
8时,
PQ=
/12丄3丄,)(1丄,12丄小
mm4丿一(——m4)=m2m,4224
1122
Sapc=ScpqSapqV8(T2m)f—4)16,
••0:
:
S_16;
②当-2:
:
m:
:
:
0时,
PQ=(4m4丿1m4)=r^2m,
1122
S[Apc=Scpq-Sapq=㊁'8m--2m)=(m-4)••16,
•-0:
:
:
S:
:
:
20-
故S=16时,相应的点P有且只有两个.
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