学年西藏山南地区第二高级中学高二下学期期中考试数学理试题.docx
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学年西藏山南地区第二高级中学高二下学期期中考试数学理试题
2018-2019学年度第二学期期中考试高二数理试卷
卷面总分:
100分考试时间:
90分钟
第Ⅰ卷客观题
一、单选题(共10题;共40分)
1.函数
的导数是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
2.如果
为纯虚数,那么实数a的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由复数
为纯虚数,
得
,解得
.
3.设
是函数
的导函数,
的图象如图所示,则
的图象最有可能的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由y=f′(x)的图象易得当x<0或x>2时,f′(x)>0,
故函数y=f(x)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增;
当0 本题选择C选项. 4.已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ,则 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在区间 上的最大值与最小值分别为 ,则 解: 函数 令 解得 或 ;令 解得 故函数在 上是减函数,在 上是增函数, 所以函数在 时取到最小值 在 时取到最大值 即 . 5.复数 (是虚数单位)的虚部是( ) A. B.C. D. 【答案】B... 【解析】 所以虚部为. 6.一质点做直线运动,由始点起经过s后的距离为 ,则速度为零的时刻是( ) A. 末B. 末C. 末D. 末 【答案】D 【解析】略 7.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知: 后一个分子式总比前一个分子式多1个 和2个 ,所以第四种化合物的分子式为 故选B. 点晴: 本题考查的是归纳推理.归纳推理是指以个别性知识为前提而推理一般性结论的推理.前提是一些关于个别事物或现象的判断,而结论是关于该事物或现象的普遍性判断.本题中据题意可知: 后一个分子式总比前一个分子式多1个 和2个 ,所以第四种化合物的分子式为 . 8.用反证法证明命题: “ , 可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( ) A. 都不能被5整除B. 都能被5整除 C. 不都能被5整除D. 不能被5整除 【答案】A 【解析】命题: “ , 可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除的否定是 都不能被5整除,故反证法假设的内容应为 都不能被5整除,故选A. 9.用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中,由 到 时,不等式的左边( ) A.增加了一项 B.增加了两项 C.增加了两项 ,又减少了一项 D.增加了一项 ,又减少了一项 【答案】C 【解析】 时,左边 时,左边 所以C选项是正确的 本题考查的知识点是数学归纳法,解决本题的关键是看清项的变化,及项数的变化。 观察不等式 “左边的各项,他们都是以 开始,以 项结束,共 项,当由 到 时,项数也由变到 时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论. 10.如图,由曲线 直线 和轴围成的封闭图形的面积是( ) A. B.C.D. 【答案】D 【解析】由曲线 直线 和轴围成的封闭图形的面积是 第Ⅱ卷主观题 二、填空题(共4题;共16分)... 11.函数 在 处的切线方程为__________________. 【答案】 【解析】因为 ,所以曲线在点 处的斜率为 ,所以切线方程为 ,即 . 12.函数 的单调递增区间是_________________. 【答案】 【解析】 由题意 ,解得 ,所以函数的递增区间是 . 13.若复数满足 (为虚数单位),则=___________. 【答案】 【解析】已知为虚数单位 则 又 所以 14.定义在R上的连续函数 满足 且 在R上的导函数 ,则不等式 的解集为____________________. 【答案】 点睛: 本题的解答过程中,充分借助题设条件,巧妙地构造函数 ,从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系,判断出该函数的单调递减函数,进而为解不等式创造出模型。 解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数,然后再用导数知识判断其单调性,进而将不等式进行等价转化。 三、解答题(共4题;共44分) 15.设复数 (是虚数单位, , ),且 . (Ⅰ)求复数; (Ⅱ)在复平面内,若复数 对应的点在第四象限,求实数 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)﹣5<m<1 【解析】试题分析: (Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题解析: (Ⅰ)∵ , |, ∴ , 即 ,解得 , 又∵ , ∴ , ∴ . (Ⅱ)∵ ,则 ,... ∴ 又∵复数 ( )对应的点在第四象限, ∴ 得 ∴﹣5<m<1 点睛: 本题考查的是复数的运算和复数的概念,首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数a+bi(a,b∈R)的实部为a、虚部为b、模为 对应点为(a,b)、共轭复数为a−bi 16.试用分析法证明下列结论: 已知 ,则 . 【答案】见解析. 【解析】试题分析: 分析法是从结论出发找出要证结论的充分条件,即可得出结论. 试题解析: 分析法: 要证 需证 由于 还需证 即证 即证 即证 ,显然成立 ∴ 成立. 17.设函数 在 及 时取得极值. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若对任意的 ,都有 成立,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) . 【解析】(Ⅰ) , 因为函数 在 及 时取得极值,则有 . 即 解得 .……(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, , 则 . 当 ; 当 ; 当 . 所以,当 时, 取得极大值 ,又 , . 则当 时, 的最大值为 . 因为对于任意的 ,有 恒成立, 所以 ,即 解得 或 , 因此的取值范围为 .……(7分) 【解析】试题分析: (1)先求函数的导数,根据极值点处的导数值为0列方程组,从而求出a、b的值; (2)先由 (1)结论根据函数的导函数求 上的单调性,求此区间上的最大值,让最大值小于 ,从而解不等式可得解. 试题解析: (1) , 因为函数 在 及 取得极值,则有 , . 即 解得 , .(6分) (2)由 (1)可知, , . 当 时, ;当 时, ;当 时, . 所以,当 时, 取得极大值 ,又 , . 则当 时, 的最大值为 .(12分) 因为对于任意的 ,有 恒成立, 所以 ,解得 或 , 因此的取值范围为 .(16分) 考点: 1、利用导数判断函数的单调性;2、利用导数求函数的极值及最值;3、解不等式. 18.已知函数 , (Ⅰ)当 时,求函数 的单调区间; (Ⅱ)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ)函数 在 上单调递减,在 , 上单调递增.(Ⅱ) 【解析】试题分析: (Ⅰ)当 时, ,求导因式分解可得单调区间; (2)利用导数将不等式恒成立问题转化为对单调性的讨论,再利用单调性求解参数范围. 试题解析: (Ⅰ)当 时, 则 , 此时: 函数 在 上单调递减,在 , 上单调递增. (Ⅱ)依题意有: , 令 , 得: , ①当 即 时, 函数 在 恒成立, 则 在 单调递增, 于是 , 解得: ; ②当 即 时, 函数 在 单调递减,在 单调递增, 于是 ,不合题意,... 此时: ; 综上所述: 实数 的取值范围是 点晴: 本题主要考查函数单调性,不等式恒成立问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.
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