导 数 专题训练.docx
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导数专题训练
导 数专题训练
1.定积分ʃ
dx的值为( )
A.
B.
C.πD.2π
2.已知函数f(x)=(x2-2x)ex-alnx(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是( )
A.-eB.eC.-
D.4e2
3.已知函数f(x)=
ex+
x2-x,若存在实数m使得不等式f(m)≤2n2-n成立,则实数n的取值范围为( )
A.
∪[1,+∞)B.(-∞,-1]∪
C.
∪
D.
∪[0,+∞)
4.已知函数f(x)=x2+(ln3x)2-2a(x+3ln3x)+10a2,若存在x0使得f(x0)≤
成立,则实数a的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数f(x)=
若m A.[3-2ln2,2)B.[3-2ln2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2] 6.已知函数f(x)=aln(x+2)-x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p>q,若不等式 >2恒成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.y=f(x)的导函数满足: 当x≠2时,(x-2)(f(x)+2f′(x)-xf′(x))>0,则( ) A.f(4)>(2 +4)f( )>2f(3)B.f(4)>2f(3)>(2 +4)f( ) C.(2 +4)f( )>2f(3)>f(4)D.2f(3)>f(4)>(2 +4)f( ) 8.若曲线C1: y=ax2(a>0)与曲线C2: y=ex存在公共切线,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.已知函数f(x)=e2018x+mx3-m(m>0),当x1+x2=1时,对于任意的实数θ,都有不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ)成立,则实数x1的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.[1,2]C. D.(1,+∞) 10.已知函数f(x)= ,关于x的方程f2(x)-2af(x)+a-1=0(a∈R)有3个相异的实数根,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,则实数a的取值范围为( ) A. B. ∪[e2,+∞) C. D. ∪[e,+∞) 12.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2+a)x(a∈R),g(x)= -2,对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在 上有两个不同的实数根,则实数a的取值范围(其中e=2.71828…为自然对数的底数)为( ) A. B. C. D. 13.若f(x)=3xf′ (1)-2x2,则f′(0)=________. 14.若直线y=2x+b是曲线y=ex-2的切线,则实数b=________. 15.若存在两个正实数x,y使等式2x+m(y-2ex)(lny-lnx)=0成立(其中e=2.71828…),则实数m的取值范围是_____________. 16.已知函数f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则 的最小值为________. 所以 的最小值为- . 导 数专题训练答案 1.定积分ʃ dx的值为( ) A. B. C.πD.2π 答案 A 解析 ∵y= , ∴(x-1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆, ∴定积分ʃ dx等于该圆的面积的四分之一, ∴定积分ʃ dx= . 2.已知函数f(x)=(x2-2x)ex-alnx(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是( ) A.-eB.eC.- D.4e2 答案 A 解析 因为函数f(x)=(x2-2x)ex-alnx(a∈R), 所以f′(x)=ex(x2-2x)+ex(2x-2)- =ex(x2-2)- (x>0). 因为函数f(x)=(x2-2x)ex-alnx(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以f′(x)=ex(x2-2)- ≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即 ≤ex(x2-2)在区间(0,+∞)上恒成立, 亦即a≤ex(x3-2x)在区间(0,+∞)上恒成立, 令h(x)=ex(x3-2x),x>0,则 h′(x)=ex(x3-2x)+ex(3x2-2) =ex(x3-2x+3x2-2)=ex(x-1)(x2+4x+2),x>0, 因为x∈(0,+∞),所以x2+4x+2>0. 因为ex>0,令h′(x)>0,可得x>1, 令h′(x)<0,可得0 所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 所以h(x)min=h (1)=e1(1-2)=-e. 所以a≤-e. 所以a的最大值是-e. 3.已知函数f(x)= ex+ x2-x,若存在实数m使得不等式f(m)≤2n2-n成立,则实数n的取值范围为( ) A. ∪[1,+∞)B.(-∞,-1]∪ C. ∪ D. ∪[0,+∞) 答案 A 解析 对函数求导可得, f′(x)= ·ex+ ×2x-1, ∴f′ (1)=f′ (1)+f(0)-1, ∴f(0)= =1, ∴f′ (1)=e,f(x)=ex+ x2-x, f′(x)=ex+x-1, 设g(x)=f′(x),则g′(x)=ex+1>0, ∴函数f′(x)单调递增,而f′(0)=0, ∴当x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故f(x)min=f(0)=1, 由存在性的条件可得关于实数n的不等式2n2-n≥1, 解得n∈ ∪[1,+∞). 4.已知函数f(x)=x2+(ln3x)2-2a(x+3ln3x)+10a2,若存在x0使得f(x0)≤ 成立,则实数a的值为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 f(x)=x2+(ln3x)2-2a(x+3ln3x)+10a2=(x-a)2+(ln3x-3a)2表示点M(x,ln3x)与点N(a,3a)距离的平方,M点的轨迹是函数g(x)=ln3x的图象,N点的轨迹是直线y=3x,则g′(x)= .作g(x)的平行于直线y=3x的切线,切点为(x1,y1),则 =3,所以x1= ,切点为P ,所以曲线上点P 到直线y=3x的距离最小,最小距离d= ,所以f(x)≥ ,根据题意,要使f(x0)≤ ,则f(x0)= ,此时N为垂足,点M与点P重合,kMN= =- ,得a= . 5.已知函数f(x)= 若m A.[3-2ln2,2)B.[3-2ln2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2] 答案 A 解析 作出函数f(x)的图象,如图所示, 若m 则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0 则ln(n+1)= m+1,即m=2ln(n+1)-2, 则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0 则h′(n)=1- = ,0 由h′(n)>0,解得1 由h′(n)<0,解得0 当n=1时,函数h(n)取得最小值 h (1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln2, 当n=0时,h(0)=2-2ln1=2; 当n=e-1时, h =e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2, 所以3-2ln2≤h(n)<2, 即n-m的取值范围是[3-2ln2,2). 6.已知函数f(x)=aln(x+2)-x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p>q,若不等式 >2恒成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由已知p>q,可得f(p+1)-f(q+1)>2(p-q), f(p+1)>f(q+1)+2p-2q, f(p+1)-2p>f(q+1)-2q, f(p+1)-2p-2>f(q+1)-2q-2, f(p+1)-2(p+1)>f(q+1)-2(q+1). 令g(x)=f(x)-2x,则有g(p+1)>g(q+1). 因为p,q∈(0,1), 所以p+1∈(1,2),q+1∈(1,2), 又因为p>q, 所以g(x)=f(x)-2x在(1,2)上为单调递增函数, 则g′(x)=f′(x)-2= -2x-2≥0在(1,2)上恒成立, 即a≥(x+2)(2x+2)在x∈(1,2)时恒成立, 令h(x)=(x+2)(2x+2)=2 2- , h(x)在(1,2)上为增函数, 所以a≥h (2)=24. 即a的取值范围为 . 7.y=f(x)的导函数满足: 当x≠2时,(x-2)(f(x)+2f′(x)-xf′(x))>0,则( ) A.f(4)>(2 +4)f( )>2f(3)B.f(4)>2f(3)>(2 +4)f( ) C.(2 +4)f( )>2f(3)>f(4)D.2f(3)>f(4)>(2 +4)f( ) 答案 C 解析 令g(x)= ,则g′(x)= , 因为当x≠2时,(x-2)[f(x)+(2-x)f′(x)]>0, 所以当x>2时,g′(x)<0, 即函数g(x)在(2,+∞)上单调递减, 则g( )>g(3)>g(4), 即 > > , 即(2 +4)f( )>2f(3)>f(4). 8.若曲线C1: y=ax2(a>0)与曲线C2: y=ex存在公共切线,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设公共切线在曲线C1,C2上的切点分别为(m,am2),(t,et),则2am=et= ,所以m=2t-2,a= (t>1),令f(t)= (t>1),则f′(t)= ,则当t>2时,f′(t)>0;当1 (2)= ,所以a≥ ,故选D. 9.已知函数f(x)=e2018x+mx3-m(m>0),当x1+x2=1时,对于任意的实数θ,都有不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ)成立,则实数x1的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.[1,2]C. D.(1,+∞) 答案 D 解析 g(x)=f(x)-f(1-x) =(e2018x+mx3)-[e2018(1-x)+m(1-x)3], 则g′(x)=2018[e2018x+e2018(1-x)]+3m[x2+(1-x)2]>0, 据此可得函数g(x)单调递增, 又x1+x2=1, 则不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ),即 f(x1)+f(sin2θ)>f(1-x1)+f(1-sin2θ), 则f(x1)-f(1-x1)>f(1-sin2θ)-f[1-(1-sin2θ)], 即g(x1)>g(1-sin2θ), 结合函数g(x)的单调性可得x1>1-sin2θ恒成立, 当sinθ=0时,(1-sin2θ)max=1, 结合恒成立的条件可
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