学年高中数学第三章概率32古典概型321322概率的一般加法公式选学教学案新人教B版必修3.docx
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学年高中数学第三章概率32古典概型321322概率的一般加法公式选学教学案新人教B版必修3
3.2.1&3.2.2 古典概型 概率的一般加法公式(选学)
预习课本P102~107,思考并完成以下问题
(1)古典概型的特征是什么?
(2)古典概型的概率计算公式是什么?
1.古典概型的概念
(1)定义:
如果一个概率模型满足:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个基本事件发生的可能性是均等的.
那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)计算公式:
对于古典概型,任何事件A的概率
P(A)=
.
2.概率的一般加法公式(选学)
(1)事件A与B的交(或积):
由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积),记作D=A∩B(或D=AB).
(2)概率的一般加法公式:
设A,B是Ω的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
1.下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=
.
A.②④ B.①③④
C.①④D.③④
解析:
选B 根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确,故选B.
2.下列试验是古典概型的是( )
A.口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取一球,基本事件为
和
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
解析:
选C A中两个基本事件不是等可能的;B中基本事件的个数是无限的;D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的;C符合古典概型的两个特征,故选C.
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.1
解析:
选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有:
(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=
.
4.两个骰子的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有两个实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C (b,c)共有36个结果,方程有解,则Δ=b2-4c≥0,∴b2≥4c,满足条件的数记为(b2,4c),共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24),19个结果,P=
.
基本事件的计数问题
[典例]
(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A.2 B.3
C.4D.6
(2)连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
①写出这个试验的所有基本事件;
②求这个试验的基本事件的总数;
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件?
[解析]
(1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为:
(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.
[答案] C
(2)解:
①这个试验包含的基本事件有:
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正)(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
②这个试验包含的基本事件的总数是8;
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件:
(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
基本事件的三个探求方法
(1)列举法:
把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)树状图法:
树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
[活学活用]
将一枚骰子先后抛掷两次,则:
(1)一共有几个基本事件?
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?
解:
(树状图法):
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示:
(1)由图知,共36个基本事件.
(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).
简单的古典概型的概率计算
[典例] 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:
取出的两球都是白球;
(2)B:
取出的两球1个是白球,另1个是红球.
[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.
(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的取法总数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)=
=
.
(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8种.
∴取出的两个球1个是白球,1个是红球的概率为
P(B)=
.
求解古典概型的概率“四步”法
[活学活用]
某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
解:
(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种,所以P(B)=
=
.
古典概型的综合应用
[典例] 有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
[解] 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.
a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位
a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位
由图可知,所有的等可能基本事件共有24个.
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个基本事件,所以P(A)=
.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”,则事件B包含9个基本事件,所以P(B)=
=
.
(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件C包含8个基本事件,所以P(C)=
=
.
对于一些比较复杂的古典概型问题,一般可以通过分类,有序地把事件包含的情况分别罗列出来,从而清晰地找出满足条件的情况.在列举时一定要注意合理分类,才能做到不重不漏,结果明了,而树状图则是解决此类问题的较好方法.
[活学活用]
把一枚骰子抛掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,试就方程组
解的情况,解答下列各题:
(1)求方程组只有一个解的概率;
(2)求方程组只有正数解的概率.
解:
若第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b记为有序数值组(a,b),则所有可能出现的结果有:
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6),
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6),
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6),
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6),
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6),
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),
共36种.
由方程组
可得
(1)若方程组只有一个解,则b≠2a,满足b=2a的有(1,2),(2,4),(3,6),故适合b≠2a的有36-3=33个.
其概率为:
P1=
=
.
(2)方程组只有正数解,需满足b-2a≠0且
分两种情况:
当2a>b时,得
当2a<b时,得
易得包含的基本事件有13个:
(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率P2=
.
[层级一 学业水平达标]
1.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选D 由题意(m,n)的取值情况有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6),共36种,而满足点P(m,n)在直线x+y=4上的取值情况有(1,3),(2,2),(3,1),共3种.故所求概率为
=
,故选D.
2.从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选A 从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字,可构成12个两位数:
12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,其中大于30的有:
31,32,34,41,42,43共6个,所以所得两位数大于30的概率为P=
=
.
3.设a是从集合
中随机取出的一个数,b是从集合
中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字,共有4×3=12种结果,满足条件的事件是满足logba≥1,可以列举出所有的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,∴根据古典概型的概率公式得到概率是
.
4.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x,y)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2
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