平行四边形的性质及判定.docx
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平行四边形的性质及判定.docx
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平行四边形的性质及判定
平行四边形的性质
(1)
学习目标:
1.理解并掌握平行四边形的定义;会用定义识别平行四边形。
2.掌握平行四边形的性质1及性质2。
初步会运用这些性质进行有关的论证和计算。
3.培养综合运用知识的能力。
重点:
平行四边形的概念和性质1和性质2
难点:
平行四边形的性质1和性质2的应用。
一、学前准备:
回忆小学知识:
1、叫平行四边形。
2、平行四边形的性质有:
①;
②
3、求证:
平行四边形的对边相等。
已知:
求证:
证明:
4、求证:
平行四边形的对角相等。
已知:
求证:
证明:
二、探究活动
1、小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中一条边AB长比另一条边BC长小2米,求平行四边形各长多少?
2、如图所示,□ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于F,则AB与CF相等吗?
说明理由
(1)一变:
C是DF的中点吗?
(2)二变:
若使∠F=∠DAF,□ABCD的边长之间
还需要再添加一个什么条件?
请你补上这个条件,并进行证明(不增添辅助线)
(3)三变:
若AF平分∠DAB,且∠D=∠F,能求出∠B的度数吗?
(4)四变:
若在□ABCD中,延长DC到F使DC=CF,连接AF交BC于点E,则E是BC的中点吗?
三、巩固提升
1、教材84页练习1、2、3
2、在平行四边形ABCD中,∠A=∠B+240,则∠A的邻角的度数为。
3、在平行四边形ABCD中,若∠A:
∠B=2:
3,则∠C=、∠D=。
4、在平行四边形ABCD中,∠B=1500,AB=8,BC=10。
求∠A、∠C、∠D及平行四边形的面积。
平行四边形的性质
(2)
学习目标:
1、掌握平行四边形对边相等、对角相等的基础上,掌握对角线互相平分的性质,初步会运用这些性质进行有关的论证和计算。
2、培养综合运用知识的能力。
重点:
掌握对角线互相平分的性质。
难点:
探索、寻求解决问题的思路。
一、学前准备:
1、叫平行四边形。
2、平行四边形的性质有:
①;
②
3、如图,在ABCD中,AE=CF,求证AF=CE
4、求证:
平行四边形的对角线互相平分。
已知:
求证:
证明:
二、探究活动
1、如图,
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,经过点O的一条直线l与一组对边相交于点E、F,试猜想OE与OF的大小关系,并加以证明。
变形:
如图,
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,经过点O的一条直线与一组对边的延长线相交于点E、F,试猜想OE与OF的大小关系,你能证明吗?
观察发现:
直线l在绕点O旋转的过程中,
①以E、F为端点的线段中,哪些线段的长度发生了变化?
②在旋转的过程中,OE与OF还相等吗?
还有以E、F为端点并且具有相等关系的线段吗?
③在旋转的过程中,平行四边形被分成的两部分的面积相等吗?
能证明吗?
2、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.
(1)图中有哪些三角形全等?
有哪些相等的线段?
(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.
三、巩固提升
1、教材86页练习1、2
2、如图3,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的
一对全等三角形(只需写一对即可)______________________.
3、在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=10,BD=8,AB=x,则x的取值范围是()
A.1<x<9B.2<x<18C.8<x<10D.4<x<5
4、平行四边形的一边长是10,那么它的对角线长可能是()
A、4和6B、10和12C、8和10D、6和8
5、如图,平行四边形ABCD中,AC交BD于O,AE⊥BD于E,
∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,求三角形BOC的周长。
18.1.2平行四边形的判定1
一、学习目标
1、理解并掌握平行四边形的判定定理。
2、会运用这些判定方法解决简单的问题。
二、自主学习
1,平行四边形的性质有:
2、写出以上性质的逆命题:
3、这些逆命题成立吗?
你能用平行四边形的定义证明它们吗?
三、问题探究
探究1两组对边分别相等的四边形是平行四边形
探究2两组对角分别相等的四边形是平行四边形
探究3对角线互相平分的四边形是平行四边形
探究4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
归纳:
平行四边形的判定定理
四、反馈提升
1、
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
2、如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O,并且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
五、达标应用
1、如图,
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
BE=DF.
2、已知:
如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥AC,求证:
BE=CF
3、在
ABCD中,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F,求证BF=DE.
18.1.2平行四边形的判定2
一、学习目标
1、理解和领会三角形三角形中位线定理及其应用
2、会应用三角形中位线解决四边形的问题
二、自主学习
1、三角形的中位线:
2、一个三角形有条中位线,三角形的中位线和中线一样吗?
三、问题探究
探究三角形中位线的性质
如图,点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,
求证:
DE∥BC、DE=
.
归纳:
三角形中位线定理
四、反馈提升
1、如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
五、达标运用
1、已知:
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
2、如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
3、在
ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点.试说明四边形MNPQ是平行四边形.
平行四边形典型问题分类解析
1.证明线段垂直
例1已知:
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,M为AB的中点,求证:
CM⊥DM.
分析:
根据平行四边形的性质,不仅对角相等,而且相邻角的角也互补,这就为证明垂直提供了充分的条件.又有已知中AB=2BC和M为AB的中点,可以得到相等的角.其中有内错角相等,也有等边对等角性质的应用,使∠CDM+∠DCM=
,可使问题得到解决.
证明:
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,
∴∠AMD=∠CDM,∠BMC=∠DCM,
∵AB=2BC,M是AB的中点,∴AD=AM=BM=BC.
∴∠ADM=∠AMD,∠BMC=∠BCM
∴∠ADM=∠CDM,∠BCM=∠DCM,
∴∠CDM=
∠ADC,∠DCM=
∠BCD.
又∠ADC+∠BCD=
,∴∠CDM+∠DCM=
,即∠DMC=
.
∴CM⊥DM.
评析:
本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质,证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余,由三角形内角和定理得出∠DMC=
,从而得到结论.这是证明两线段互相垂直的常用方法.
2.证明线段平行
例2如图,AB、CD交于点O,AC∥DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点,连结AF、BE.求证:
AF∥BE.
分析:
从已知条件可证△AOC≌△BOD,得到OC=OD,又有E、F为OC、OD中点,则OE=OF,判定四边形AFBE为平行四边形,即有AF∥BE.
证明:
连结BF、AE,∵AC∥DB,∴∠C=∠D.
在△AOC和△BOD中,有
∴△AOC≌△BOD,∴OC=OD.
又E、F为OC、OD的中点,∴OE=OF,
∴四边形AFBE是平行四边形,
∴AF∥BE.
评析:
学习了平行四边形以后,又多了一种证明平行线的方法.
3.证明线段相等
例3如图,△ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE∥AC,PF∥AB,分别交AB、AC于E、F,请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系,并证明你的猜想.
分析:
从已知条件中不难证明PF=AE,PE=BE,从而PE、PF、AB之间满则关系式PE+PF=AB.即猜想结论:
PE+PF=AB.
证明:
∵PE∥AC,∴∠BPE=∠C.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BPE=∠B,∴PE=BE.
PE∥AC,PF∥AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,∴PF=AE.
∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.
评析:
在解决此类探索性问题时,一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论,这就是对猜想问题的常用解题思路.
4.求线段的长度
例4如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠A=
,∠B=
,∠C=
,求AD的长.
分析:
要求AD的长度,需要借助辅助线把问题转化,由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC,这样不妨过点C作AB的平行线,构成一个平行四边形,然后利用角之间的关系与平行四边形的性质,使问题得以解决.
解:
点C作CE∥AB交AD于E,
∵∠A+∠B=
,∴AD∥BC,
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE=BC=8,CE=AB=6,∠BCE=∠A=
.
又∵∠BCD=
,∴∠DCE=
.
而∠D=
-
-
-
=
,
∴∠D=∠DCE=
,∴DE=CE,
∴AD=8+6=14.
评析:
在判定AD∥BC后,辅助线的添加是解题的关键,虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循,但可以通过分析已知条件与待求结论,从中得到启发,从而正确地作出辅助线.
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- 平行四边形 性质 判定