九年级数学 相似三角形的判定教案导学案.docx
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九年级数学相似三角形的判定教案导学案
27.2相似三角形
27.2.1相似三角形的判定
第2课时相似三角形的判定
(2)
【知识与技能】
1.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对
应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.
2.能运用它们解决具体问题.
【过程与方法】
经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合理推理能力.
【情感态度】
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力,形成推理、说明的科学态度.
【教学重点】
两个三角形相似的判定定理及其应用.
【教学难点】
准确运用判定定理来判定三角形是否相似.
一、情境导入,初步认识
问题判定两个三角形全等我们有SSS,SAS,ASA,AAS等方法,类似地,判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?
【教学说明】设置疑问,引导学生思考,尝试用类似的思路来判定两个三角形相似,激发求知欲望.
二、思考探究,获取新知
问题1任意画一个三角形,再画另一个三角形,使它的各边长都是原来各边长的2倍,度量这两个三角形的对应角,他们对应相等吗?
这两个三角形全等吗?
思考1如图,在△ABC和△A′B′C′中,
则
△ABC与△A′B′C′相似吗?
为什么?
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成,并相互交流,获得“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边的比相等时,这样的两个三角形相似”的感性认识.而对于“思考1”中的问题,教师应引导学生通过合理推理进行说明.这时可在A′B′上截取A′D=AB,再过D作DE//B′C′,由△A′DE~△A′B′C′,再证明△ABC≌△A′DE,则可得到△ABC~△A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往的学习中很少见,因此教师应做好引导.
相似三角形的判定定理1如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
思考2如图,在△ABC和△A′B′C′中,若∠A=∠A′,且
那么△ABC与△A′B′C′是否相似?
为什么?
【教学说明】通过“思考1”的学习,对于“思考2”教师可让学生也尝试着在△A′B′C′中构造△A′DE,类似地得到△A′DE~△A′B′C′,
△A′DE≌△ABC,从而△ABC~△A′B′C′.教师巡视,学生可相互交流,针对学生实际可作适当的提示,帮助学生完成证明,获得理性思考的体验.
相似三角形的判定定理2如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
问题2如果定理2中的“夹角相等”换成“其中一边的对角对应相等”,其他条件不变,这样的两个三角形仍能相似吗?
若相似,请予以证明;若不相似,请举一反例.
【教学说明】教师可与学生一道回顾“两边对应相等,且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例,使学生能轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存在的一种情形.加深对定理中“夹角相等”这一条件的理解.
三、典例精析,掌握新知
例1教材P33中例1
【教学说明】教师可让学生自主完成,让学生从中体验成功的喜悦.对于
(2)题,还可让学生说出他们的相似比是多少;对于
(1)题,应引导学生用小边比小边,中边比中边,大边比大边的比值进行说明,不能出现混乱.进一步地,若要使得两个三角形相似,可改变其中一条线段的长,让学生试试看.
例2如图,四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5,你能求出线段AD的长吗?
说说你的理由.
【教学说明】可让学生独立完成试试看,也可以相互交流,共同探讨解题思路,然后予以评析,巩固本节所学知识.
四、运用新知,深化理解
根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由:
(1)∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm,∠A′=40°,A′B′=16cm,
A′C′=30cm;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,
A′C′=25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?
你有几种答案?
【教学说明】1、2题让学生独立完成,第3题可集体评讲(在学生思考后),注重于分类思想.在完成上述题目后,教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
五、师生互动,课堂小结
1.与同伴交流论证判定定理1、2中的证明方法,谈谈你的认识;
2.判定定理2中“夹角相等”这个条件是否可换成“一角对应相等”,
说说你的理由.
1.布置作业:
从教材P42〜44习题27.2中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时教学可采用类比的方法进行,一方面可类比两个三角形全等的判定方法,另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.教学时应注意突出学生的主体地位,让学生独立完成并相互交流,教师给予引导并同学生一起归纳,以提高学生的推理能力.
27.2.1相似三角形的判定
第2课时相似三角形的判定
(2)
——相似三角形的判定1和判定2
一、新课导入
1.课题导入
问题1:
请叙述三角形全等的SSS和SAS定理.
问题2:
把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”,那么这两个三角形是什么关系呢?
问题3:
把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”,那么这两个三角形又是什么关系呢?
由此导入新课.(板书课题)
2.学习目标
(1)知道三边成比例的两个三角形相似,知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(2)能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
3.学习重、难点
重点:
三角形相似的判定1和判定2.
难点:
两判定定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导
(1)自学内容:
教材P32探究~P33思考上面的内容.
(2)自学时间:
6分钟.
(3)自学要求:
完成探究提纲.
(4)探究提纲:
①探究1:
任意画△ABC和△A′B′C′,使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍,△ABC∽△A′B′C′吗?
a.操作:
度量这两个三角形的对应角,这两个三角形的对应角相等,对应边成比例.
b.猜想:
在△ABC和△A′B′C′中,如果
,那么△ABC∽△A′B′C′.
c.证明:
如图,在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴
=
=
,
又∵
,A′D=AB,
∴
,
∴A′E=AC.同理,
,
∴DE=BC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.
d.归纳:
三边成比例的两个三角形相似.
e.推理格式:
∵
,∴△ABC∽△A′B′C′.
②探究2:
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,
.△ABC∽△A′B′C′吗?
a.操作:
量出BC和B′C′,它们的比值等于k吗?
∠B=∠B′,∠C=∠C′吗?
b.改变∠A的大小,结果怎样?
改变k的值呢?
c.猜想:
在△ABC和△A′B′C′中,如果
,∠A=∠A′,那么△ABC∽△A′B′C′.
d.证明:
在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴
.
又∵
A′D=AB,
∴A′E=AC.∴△ABC≌△A′DE.
∴△ABC∽△A′B′C′.
e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
f.推理格式:
∵
∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
③在△ABC与△A′B′C′中,如果
,∠B=∠B′,那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗?
如果一定相似,给予证明;如果不一定相似,举一反例(画图).
2.自学:
参考自学指导进行自学.
3.助学
(1)师助生:
①明了学情:
观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.
②差异指导:
根据学情进行指导.
(2)生助生:
小组交流、研讨.
4.强化
1.自学指导
(1)自学内容:
课本P33思考~P34.
(2)自学时间:
6分钟.
(3)自学方法:
先运用定理给出判定,然后对照课本解答进行检验,并完成探究提纲.
(4)探究提纲:
①教材P33例1的第
(1)题中,三条边成比例吗?
符合判定定理1的条件吗?
②例1的第
(2)题中,∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗?
符合哪个判定定理的条件?
③小结运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.
④练习:
根据下列条件,判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.
a.AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm.(相似,三边对应成比例)
b.∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm,∠A′=40°,A′B′=16cm,A′C′=30cm.
(相似,两边成比例且夹角相等)
c.下图中的两个三角形是否相似?
为什么?
(图1相似,两边成比例且夹角相等;图2不相似,三边不成比例)
2.自学:
学生参照自学指导进行自学.
3.助学
(1)师助生:
①明了学情:
了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.
②差异指导:
根据学情进行针对性指导.
(2)生助生:
小组交流、研讨.
4.强化:
运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.
三、评价
1.学生学习的自我评价:
这节课你学到了哪些知识?
有些什么收获和不足?
2.教师对学生的评价:
(1)表现性评价:
从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.
(2)纸笔评价:
课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思).
本课时教学采用类比的方法进行,根据全等三角形是特殊的相似三角形,通过对判定全等三角形所需条件进行分析,类比全等三角形的判定方法,诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位,多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会,让学生真正成为数学学习的主体.
一、基础巩固(70分)
1.(10分)下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是(B)
2.(10分)下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(C)
3.(20分)根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.
(1)AB=10cm,BC=12cm,AC=15cm,A′B′=150cm,B′C′=180cm,A′C′=225cm;
(2)∠A=87°,AB=8cm,AC=7cm,∠A′=87°,A′B′=16cm,A′C′=12cm.
解:
(1)△ABC∽△A′B′C′.理由:
∵
∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)△ABC与△A′B′C′不相似.理由:
.
4.(20分)
(1)判断图1中两个三角形是否相似;
(2)求图2中x和y的值.
解:
(1)相似.理由:
设小方格边长为1,则AB=2,EF=2.
通过勾股定理易求得BC=2
AC=2
DE=
DF=
.
∴
∴△DEF∽△ABC.
(2)∵
,∠ACB=∠ECD,
∴△ACB∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,
∴x=40.5,y=98.
5.(10分)如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且AD=5,DE=4,AE=
,DB=7,BC=
,EC=
那么△ADE∽△ABC吗?
为什么?
解:
△ADE∽△ABC.
理由:
∵
∴△ADE∽△ABC.
二、综合应用(20分)
6.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两边应当是多少?
解:
两个形状相同的三角形框架,它们是相似的.
如果边长2与边长4是对应边,则另外两边为2.5和3.
如果边长2与边长5是对应边,则另外两边为1.6和2.4.
如果边长2与边长6是对应边,则另外两边为
和
.
7.(10分)如图,已知△ABD∽△ACE.求证:
△ABC∽△ADE.
证明:
∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE,
.
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
又∵
∴△ABC∽△ADE.
三、拓展延伸(10分)
8.(10分)在△ABC中,∠B=30°,AB=5cm,AC=4cm,在△A′B′C′中,∠B′=30°,A′B′=10cm,A′C′=8cm,这两个三角形一定相似吗?
若相似,说说是用哪个判定方法;若不相似,请说明理由.
解:
不一定.理由:
虽然
∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角,
∴这两个三角形不一定相似.
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