数列基础知识点和方法归纳.docx
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数列基础知识点和方法归纳
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义:
(
为常数),
等差中项:
成等差数列
前
项和
性质:
是等差数列
(1)若
,则
(2)数列
仍为等差数列,
仍为等差数列,公差为
;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若
是等差数列,且前
项和分别为
,则
(5)
为等差数列
(
为常数,是关于
的常数项为0的二次函数)
的最值可求二次函数
的最值;或者求出
中的正、负分界项,
即:
当
,解不等式组
可得
达到最大值时的
值.
当
,由
可得
达到最小值时的
值.
(6)项数为偶数
的等差数列
,有
,
.
(7)项数为奇数
的等差数列
,有
,
,
.
2.等比数列的定义与性质
定义:
(
为常数,
),
.
等比中项:
成等比数列
,或
.
前
项和:
(要注意!
)
性质:
是等比数列
(1)若
,则
(2)
仍为等比数列,公比为
.
注意:
由
求
时应注意什么?
时,
;
时,
.
3.求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:
数列
,
,求
解
时,
,∴
①
时,
②
①—②得:
,∴
,∴
[练习]数列
满足
,求
注意到
,代入得
;又
,∴
是等比数列,
时,
(2)叠乘法
如:
数列
中,
,求
解
,∴
又
,∴
.
(3)等差型递推公式
由
,求
,用迭加法
时,
两边相加得
∴
[练习]数列
中,
,求
(
)
(4)等比型递推公式
(
为常数,
)
可转化为等比数列,设
令
,∴
,∴
是首项为
为公比的等比数列
∴
,∴
(5)倒数法
如:
,求
由已知得:
,∴
∴
为等差数列,
,公差为
,∴
,
∴
(
附:
公式法、利用
、累加法、累乘法.构造等差或等比
或
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:
是公差为
的等差数列,求
解:
由
∴
[练习]求和:
(2)错位相减法
若
为等差数列,
为等比数列,求数列
(差比数列)前
项和,可由
,求
,其中
为
的公比.
如:
①
②
①—②
时,
,
时,
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
[练习]已知
,则
由
∴原式
(附:
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
)
【优选整合】人教A版高中数学高三二轮(理)专题09等差数列与等比数列测试
1.已知
是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=( )
A.-
B.-
C.
D.
【答案】A
【解析】设
的公差为
由题意
即
,得
,
,
,故本题选
2.正项等比数列{an}中,若a2a18=16,则log2a10=( )
A.2B.4
C.8D.16
【答案】A
3.已知等差数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,则a11等于( )
A.31B.32
C.61D.62
【答案】A
【解析】∵等差数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,
4.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则( )
A.a1<0,01
C.a1>0,00,q>1
【答案】A
【解析】∵Sn<0,∴a1<0,又数列{an}为递增等比数列,∴an+1>an,且|an|>|an+1|,
则-an>-an+1>0,则q=
∈(0,1),∴a1<0,0 5.将正奇数排成如下三列: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 …… 则2007在( ) A.第334行,第1列B.第334行,第2列 C.第335行,第2列D.第335行,第3列 【答案】C 【解析】设每行第一个数组成一个数列{an},则an=1+(n-1)×6=6n-5,因为a335=2005,所以2007在第335行的第2列. 6.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=( ) A.9B.15 C.18D.30 【答案】C 【解析】由an+1-an=2可得数列{an}是等差数列,公差d=2,又a1=-5,所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=5+3+1+1+3+5=18. 7.已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差不可能是( ) A.2B.3 C.4D.5 【答案】B 【解析】∵数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,∴an=1+(n-1)d, ∵81是该数列中的一项,∴81=1+(n-1)d,∴n= +1, ∵d,n∈N*,∴d是80的因数,故d不可能是3.故选B. 点睛: 本题的难点主要在解题思路,本题化简之后得到81=1+(n-1)d,所以也可以把下面的选项的答案代入检验,看n是否是正整数. 8.一个等比数列{an}的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( ) A.13项B.12项 C.11项D.10项 【答案】B 【解析】设首项为a1,共有n项,公比为q.前三项之积为a q3=2,最后三项之积为a q3n-6=4,两式相乘得a q3(n-1)=8,即a qn-1=2,又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64, ∴a =64,则(a qn-1)n=642,∴2n=642,∴n=12,故选B. 9.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯? ”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏 C.5盏D.9盏 【答案】B 【解析】设塔的顶层共有灯 盏,则各层的灯数构成一个首项为 ,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有: ,解得 ,即塔的顶层共有灯3盏,故选B. 点睛: 用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论. 10.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1<0,若存在自然数m≥3,使得am=Sm,则当n>m时,Sn与an的大小关系是( ) A.Sn<anB.Sn≤an C.Sn>anD.大小不能确定 【答案】C 【解析】若a1<0,存在自然数m≥3,使得am=Sm,则d>0,若d<0,数列是递减数列,则Sm<am,不存在am=Sm.由于a1<0,d>0,当m≥3时,有am=Sm,因此am>0,Sm>0,又Sn=Sm+am+1+…+an,显然Sn>an.故选C. 11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若1≤a5≤4,2≤a6≤3,则S6的取值范围是________. 【答案】[-12,42] 【解析】由题知1≤a1+4d≤4,2≤a1+5d≤3,则S6=6a1+15d=15(a1+4d)-9(a1+5d),再由不等式的性质知S6∈[-12,42].故填[-12,42]. 点睛: 本题是一道易错题,如果根据1≤a5≤4,2≤a6≤3分别求出 的范围,再求S6=6a1+15d的范围,实际上是错误的.这里涉及到不等式取等的问题,可以利用线性规划的知识,也可以利用解答中的整体代入的方法. 12.在等差数列{an}中,若a13=20,a20=13,则a2014=________. 【答案】-1981 【解析】由题意知,等差数列的公差d= =-1,∴a2014=a20+(2014-20)d=13-1994=-1981.故填-1981. 13.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=________. 【答案】25 【解析】设数列的公差为d,则3d=a4-a1=6,得d=2,所以S5=5×1+ ×2=25.故填25. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,Sn=2an+n(n∈N*),则an=________. 【答案】1-2n 【解析】因为Sn=2an+n,①所以Sn+1=2an+1+n+1,② ②-①,可得an+1=2an-1,即an+1-1=2(an-1),又因为a1=-1,所以数列{an-1}是以-2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=(-2)·2n-1=-2n,所以an=1-2n. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn. 【答案】 (1)an=2n-1(n∈N*); (2) . 【解析】试题分析: (1)第 (1)问,一般利用项和公式求通项. (2)第 (2)问,先化简bn=log4an+1,得到 ,再利用等差数列求和公式求和. 试题解析: (1)当n≥2时,an=Sn-S
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