高三数学一轮复习人教版理命题及其关系.docx
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高三数学一轮复习人教版理命题及其关系
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
2019考纲考题考情
1.命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
1.否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论。
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同。
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件。
4.充要关系与集合的子集之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件。
(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件。
(3)若A=B,则p是q的充要条件。
一、走进教材
1.(选修2-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.“若x
C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”
解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”。
故选C。
答案 C
2.(选修2-1P10练习T3
(2)改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2。
故选B。
答案 B
二、走近高考
3.(2018·天津高考)设x∈R,则“
<
”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由
<
,得0 所以“ < ”是“x3<1”的充分而不必要条件。 故选A。 答案 A 4.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 因为|a-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b;反之也成立。 故选C。 答案 C 三、走出误区 微提醒: ①对“p∧q”的否定出错;②分类讨论不全面; ③充分条件与必要条件的判定出错。 5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是____________。 解析 “若p,则q”的逆否命题为“若綈q,则綈p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0。 答案 若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0 6.若命题“ax2-2ax-3≤0成立”是真命题,则实数a的取值范围是________。 解析 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立。 当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得 解得-3≤a<0。 故-3≤a≤0。 答案 [-3,0] 7.“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的________条件。 解析 显然a=0时,f(x)=sinx- 为奇函数;当f(x)为奇函数时,f(-x)+f(x)=0。 又f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=0。 因此2a=0,故a=0。 所以“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的充要条件。 答案 充要 考点一四种命题及其关系 【例1】 (1)(2019·西安八校联考)已知命题p: “正数a的平方不等于0”,命题q: “若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( ) A.逆命题B.否命题 C.逆否命题D.否定 (2)原命题为“若 A.真,真,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 解析 (1)命题p: “正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题。 (2)原命题即“若an+1 “若{an}为递减数列,n∈N*,则an+1 答案 (1)B (2)A 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提。 2. (1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例; (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断。 【变式训练】 (1)(2019·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”,下列叙述正确的是( ) A.否命题是“正弦函数是分段函数” B.逆命题是“分段函数不是正弦函数” C.逆否命题是“分段函数是正弦函数” D.以上都不正确 (2)设原命题: 若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 解析 (1)原命题可写成“若一个函数是正弦函数,则该函数不是分段函数”,否命题为“若一个函数不是正弦函数,则该函数是分段函数”,逆命题为“若一个函数不是分段函数,则该函数是正弦函数”,逆否命题为“若一个函数是分段函数,则该函数不是正弦函数”,可知A、B、C都是错误的。 故选D。 (2)可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b<2,显然为真。 其逆命题,即若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b<2。 故选A。 答案 (1)D (2)A 考点二充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)(2019·成都市毕业班模拟)“φ=- ”是“函数f(x)=cos(3x-φ)的图象关于直线x= 对称”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知p: x+y≠-2,q: x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (3)若集合A={x|x-x2>0},B={x|(x+1)(m-x)>0},则“m>1”是“A∩B≠∅”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若函数f(x)的图象关于直线x= 对称,则 -φ=kπ,k∈Z,解得φ= -kπ,k∈Z,故“φ=- ”是“函数f(x)=cos(3x-φ)的图象关于直线x= 对称”的充分不必要条件。 故选A。 (2)因为p: x+y≠-2,q: x,y不都是-1,所以綈p: x+y=-2,綈q: x=-1,且y=-1。 因为綈q⇒綈p,但綈p 綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件。 故选A。 (3)化简集合A={x|0 故选A。 答案 (1)A (2)A (3)A 充要条件的三种判断方法 1.定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断。 2.集合法: 根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。 3.等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。 这个方法特别适合以否定形式给出的问题。 【变式训练】 (1)(2019·石家庄市质量检测)已知p: -1 log2x<1,则p是q成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知函数f(x)= 则“x=0”是“f(x)=1”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (3)(2019·南昌调研)已知m,n为两个非零向量,则“m与n共线”是“m·n=|m·n|”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 (1)由log2x<1,解得0 故选B。 (2)若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则ex=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e。 故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件。 故选B。 (3)当m与n反向时,m·n<0,而|m·n|>0,故充分性不成立。 若m·n=|m·n|,则m·n=|m|·|n|cos〈m,n〉=|m|·|n||cos〈m,n〉|,则cos〈m,n〉=|cos〈m,n〉|,故cos〈m,n〉≥0,即0°≤〈m,n〉≤90°,此时m与n不一定共线,即必要性不成立。 故“m与n共线”是“m·n=|m·n|”的既不充分也不必要条件,故选D。 答案 (1)B (2)B (3)D 考点三充分条件、必要条件的应用 【例3】 (1)已知函数f(x)= 则函数f(x)有两个零点成立的充分不必要条件是a∈( ) A.[1,2]B.(1,2] C.(1,2)D.(0,1] (2)已知集合A= ,B={x|log3(x+a)≥1},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________。 解析 (1)因为函数f(x)= 所以函数f(x)有两个零点等价于函数g(x)=
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