届高考数学二轮复习空间几何体表面积或体积的求解学案含答案全国通用.docx
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届高考数学二轮复习空间几何体表面积或体积的求解学案含答案全国通用
专题四 立体几何
建知识络 明内在联系
[高考点拨] 立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一,常以“两小一大”呈现,小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角,一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求.本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析,引领考生明确考情并提升解题技能.
突破点8 空间几何体表面积或体积的求解
(对应生用书第29页)
[核心知识提炼]
提炼1求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
提炼2球与几何体的外接与内切
(1)正四面体与球:
设正四面体的棱长为a,由正四面体本身的对称性,可知其内切球和外接球的球心相同,则内切球的半径r=
a,外接球的半径R=
a.
(2)正方体与球:
设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,O为其对称中心,E,F,H,G分别为AD,BC,B1C1,A1D1的中点,J为HF的中点,如图81所示.
图81
①正方体的内切球:
截面图为正方形EFHG的内切圆,故其内切球的半径为OJ=
;
②正方体的棱切球:
截面图为正方形EFHG的外接圆,故其棱切球的半径为OG=
;
③正方体的外接球:
截面图为矩形ACC1A1的外接圆,故其外接球的半径为OA1=
.
[高考真题回访]
回访1 空间几何体的结构及三视图
1.(2015·浙江高考)如图82,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
图82
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.双曲线的一支
C [因为∠PAB=30°,所以点P的轨迹为以AB为轴线,PA为母线的圆锥面与平面α的交线,且平面α与圆锥的轴线斜交,故点P的轨迹为椭圆.]
2.(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位:
cm)如图83所示,则该几何体的体积是( )
图83
A.72cm3 B.90cm3
C.108cm3D.138cm3
B [该几何体为一个组合体,左侧为三棱柱,右侧为长方体,如图所示.V=V三棱柱+V长方体=
×4×3×3+4×3×6=18+72=90(cm3).]
3.(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位:
cm)如图84所示,则该几何体的体积是( )
图84
A.108cm3B.100cm3
C.92cm3D.84cm3
B [此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF,如图所示,其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6,故其体积为6×3×6=108(cm3).三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3,故其体积为
×
×4=8(cm3),所以所求几何体的体积为108-8=100(cm3).]
回访2 几何体的表面积或体积
4.(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图85所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是( )
图85
A.
+1 B.
+3
C.
+1 D.
+3
A [由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是
的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体,
∴该几何体的体积
V=
×
π×12×3+
×
×
×
×3=
+1.故选A.]
5.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图86所示(单位:
cm),则该几何体的体积是( )
图86
A.8cm3B.12cm3
C.
cm3D.
cm3
C [由三视图可知,该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为2cm的正方体,体积V1=2×2×2=8(cm3);上面是底面边长为2cm,高为2cm的正四棱锥,体积V2=
×2×2×2=
(cm3),所以该几何体的体积V=V1+V2=
(cm3).]
6.(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位:
cm)如图87所示,则此几何体的表面积是( )
图87
A.90cm2B.129cm2
C.132cm2D.138cm2
D [该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为6cm,4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为3cm,4cm,5cm,所以表面积S=[2×(4×6+4×3)+3×6+3×3]+
=99+39=138(cm2).]
7.(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图88所示(单位:
cm),则该几何体的表面积是________cm2,体积是________cm3.
图88
80 40 [由三视图还原几何体如图所示,下面长方体的长、宽都是4,高为2;上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4+2×4+2×4)×2+2×2×4=80(cm2);体积为4×4×2+23=40(cm3).]
8.(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位:
cm)如图89所示,则此几何体的体积等于________cm3.
图89
24 [由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥,如图所示.三棱柱的底面为直角三角形,且直角边长分别为3和4,三棱柱的高为5,故其体积V1=
×3×4×5=30(cm3),小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同,高为3,故其体积V2=
×
×3×4×3=6(cm3),所以所求几何体的体积为30-6=24(cm3).]
(对应生用书第31页)
热点题型1 几何体的表面积或体积
题型分析:
解决此类题目,准确转化是前提,套用公式是关键,求解时先根据条件确定几何体的形状,再套用公式求解.
【例1】
(1)如图810,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
,则它的表面积是( )
图810
A.17π B.18π
C.20πD.28π
(2)如图811,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )【导号:
68334098】
图811
A.18+36
B.54+18
C.90D.81
(1)A
(2)B [
(1)由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的
,得到的几何体如图.设球的半径为R,则
πR3-
×
πR3=
π,解得R=2.因此它的表面积为
×4πR2+
πR2=17π.故选A.
(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3
)×2=54+18
.故选B.]
[方法指津]
1.求解几何体的表面积及体积的技巧
(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤
(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状.
(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量.
(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.
[变式训练1]
(1)某几何体的三视图如图812所示,则该几何体的体积为( )
图812
A.
+
B.5+
C.5+
D.
+
(2)(2017·温州市普通高中4月高考模拟考试12)某几何体的三视图如图813所示,则此几何体的体积是________,表面积是________.
【导号:
68334099】
图813
(1)D
(2)
6+2
+2
[
(1)由三视图知该几何体是由一个长方体,一个三棱锥和一个
圆柱组成,故该几何体的体积为V=2×1×2+
×
×1×1×2+
×π×12×2=
+
.
(2)由三视图知,该几何体为四棱锥,其底面是边长为2的正方形,高为2,所以该几何体的体积V=
×22×2=
,表面积S=2×2+
×2×2+
×2×2
+2×
×2×
=6+2
+2
.]
热点题型2 球与几何体的切、接问题
题型分析:
与球有关的表面积或体积求解,其核心本质是半径的求解,这也是此类问题求解的主线,考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征,然后确定其外接球的球心,进而确定球的半径,最后代入公式求值即可;也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角,然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.
【例2】
(1)一个几何体的三视图如图814所示,其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )
图814
A.
B.
C.
D.
(2)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )【导号:
68334100】
A.4πB.
C.6πD.
(1)D
(2)B [
(1)法一 由三视图可知,该几何体是如图所示的三棱锥SABC,其中HS是三棱锥的高,由三视图可知HS=2
,HA=HB=HC=2,故H为△ABC外接圆的圆心,该圆的半径为2.
由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上,连接OB.
设球的半径为R,则球心O到△ABC外接圆的距离为OH=|SH-OS|=|2
-R|,
由球的截面性质可得R=OB=
=
,解得R=
,所以所求外接球的表面积为4πR2=4π×
=
.故选D.
法二 由三视图可知,该几何体是如图所示的三棱锥SABC,其中HS是三棱锥的高,由侧视图可知HS=2
,由正视图和侧视图可得HA=HB=HC=2.
由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上,延长SH交球面于点P,则SP就是球的直径,
由点A在球面上可得SA⊥AP.
又SH⊥平面ABC,所以SH⊥AH.
在Rt△ASH中,SA=
=
=4.
设球的半径为R,则SP=2R,
在Rt△SPA中,由射影定理可得SA2=SH×SP,即42=2
×2R,解得R=
,
所以所求外接球的表面积为4πR2=4π×
=
.故选D.
(2)由题意得要使球的体积最大,则球与直三棱柱的若干面相切.设球的半径为R.因为△ABC的内切圆半径为
=2,所以R≤2.又2R≤3,所以R≤
,所以Vmax=
π
3=
π.故选B.]
[方法指津]
解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系,这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征确定.对于旋转体与球的组合体,主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系;而对于多面体,应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面,把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出.
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