浙东北联盟ZDB学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx
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浙东北联盟ZDB学年高一下学期期中考试数学试题含答案
浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年第二学期期中考试
高一数学试卷
总分150分考试时间120分钟
一、单选题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知
是虚数单位,复数
等于
A.
B.
C.
D.
2.如图,在
中,
,若
的水平放置直观图为
,则
的面积为
A.
B.
C.
D.
3.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,且圆锥的底面半径为1,则该圆锥的母线长为
A.
B.
C.
D.
4.已知向量
,
,则向量
在向量
上的投影向量为
A.
B.
C.
D.
5.已知在
中,
分别为内角
的对边,
若
,则角
的大小为
A.
B.
C.
D.
6.已知复数
的共轭复数是
,满足
(
为虚数单位),则
的虚部为
A.
B.
C.
D.
7.在平行四边形
中,点
在线段
上,且
,
与
的交点为
,则向量
等于
A.
B.
C.
D.
8.如图,在四边形
中,
,
,
,
分别为边
上的动点,且
,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
第8题图
二、多项选择题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.在复平面内有一个平行四边形
,点
为坐标原点,点
对应的复数为
,点
对应的复数为
,点
对应的复数为
,则下列结论正确的是
A.点
位于第二象限B.
C.
D.
10.已知向量
,
,则下列叙述不正确的是
A.若
与
的夹角为锐角,则
B.若
与
共线,则
C.若
,则
与
垂直D.若
,则
与
的夹角为钝角
11.在
中,
分别为内角
的对边,若
,
且
,则边
的大小可能是
A.
B.
C.
D.
12.已知某多面体的平面展开图如图所示,每个面都是边长为2的正三角形,则下列结论正确的是
A.该多面体的体积为
B.该多面体的外接球的表面积为
C.该多面体的内切球的体积为
D.该多面体的表面积为
第12题图
三、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则这个圆柱的体积为.
14.复数
与
分别表示向量
与
,则表示向量
的复数为.
15.在
中,
,
,
,
,则
的值为.
16.已知
是两个平面向量,
,且对任意
,恒有
,则
的最大值是.
四、解答题:
本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题10分)已知向量
,
,且
.
(1)设向量
与
的夹角为
,求
的值;
(2)若
,求实数
的值.
18.(本题12分)已知复数
,复数
,其中
是虚数单位,
.
(1)若
,
,求
的值;
(2)若
,求
的值.
19.(本题12分)如图,在长方体
中,
,
,
.
(1)求平面四边形
的面积;
(2)求几何体
的体积.
第19题图
20.(本题12分)如图,在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为
),现修成草坪,图中
把草坪分成面积相等的两部分,点
在
上,点
在
上.
(1)若
米,求
长;
(2)如果
是灌溉水管,为了节约成本,希望灌溉水管
最短,请确定点
的位置,并求
的最小值.
第20题图
21.(本题12分)如图,在
中,已知
且,
,
,
.
(1)求
;
(2)设
与
交于点
,求
的余弦值大小.
第21题图
22.(本题12分)在
中,
分别为内角
的对边,已知
,且边
上的中线长为4.
(1)证明:
;
(2)求
面积的最大值.
浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年第二学期期中考试
高一数学答案
一、选择题
1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.C8.C
9.BC10.BD11.ABD12.AB
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.
14.
15.1316.4
三、解答题(共70分)
17.(本题10分)已知向量
,
,且
.
(1)设向量
与
的夹角为
,求
的值;
(2)若
,求实数
的值.
解:
(1)
,
,
又
,
,
,
,
,
,
..........5分
(2)
,
,
,
..........10分
18.(本题12分)已知复数
,复数
,其中
是虚数单位,
.
(1)若
,
,求
的值;
(2)若
,求
的值.
解:
(1)
,
,
.........6分
(2)
,
,
..........12分
19.(本题12分)如图,在长方体
中,
,
,
.
(1)求平面四边形
的面积;
(2)求几何体
的体积.
第19题图
解:
(1)由已知得四边形
是菱形,边长为
,
所以四边形
的面积
..........6分
(2)连接
则
由已知得
所以
.
.........12分
20.(本题12分)如图,在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为
),现修成草坪,图中
把草坪分成面积相等的两部分,点
在
上,点
在
上.
(1)若
米,求
长;
(2)如果
是灌溉水管,为了节约成本,希望灌溉水管
最短,请确定点
的位置,并求
的最小值.
第20题图
解:
(1)
,
,
,
米.........6分
(2)在
中,由余弦定理得:
,
即
,
当且仅当
米时,
的最小值为
米..........12分
21.(本题12分)如图,在
中,已知
且,
,
,
.
(1)求
;
(2)设
与
交于点
,求
的余弦值大小.
解:
(1)因为
,
所以
所以
因为
,所以
所以
..........5分
(2)因为
,所以
,而
所以
所以
..........12分
22.(本题12分)在
中,
分别为内角
的对边,已知
,且边
上的中线长为4.
(1)证明:
;
(2)求
面积的最大值.
证明:
(1)
,
又
,所以
..........5分
(2)由
(1)得
,所以
,及
,
解得
.
所以
的面积
,
由基本不等式得
,当且仅当
时,等号成立.
所以
面积的最大值为
..........12分
本题方法较多,其它方法同步给分。
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