中考数学真题解析31一元二次方程根的判别式含答案.docx
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中考数学真题解析31一元二次方程根的判别式含答案
(20XX年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编
一元二次方程根的判别式
一、选择题
1.(2011江苏苏州,8,3分)下列四个结论中,正确的是
A.方程
有两个不相等的实数根
B.方程
有两个不相等的实数根
C.方程
有两个不相等的实数根
D.方程
(其中a为常数,且
)有两个不相等的实数根
考点:
根的判别式.
专题:
计算题.
分析:
把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,判断解的个数即可.
解答:
解:
A、整理得:
x2+2x+1=0,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,故错误,不合题意;
B、整理得:
x2-x+1=0,△<0,∴原方程没有实数根,故错误,不合题意;
C、整理得:
x2-2x+1=0,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,故错误,不合题意;
D、整理得:
x2-ax+1=0,△>0,∴原方程有2个b不相等的实数根,故正确,符合题意.
故选D.
点评:
考查方程的实数根的问题;用到的知识点为:
一元二次方程根的判别式大于0,方程有2个不相等的实数根;根的判别式等于0,方程有2个相等的实数根;根的判别式小于0,方程没有实数根.
2.(2011重庆江津区,9,4分)已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A、a<2B、a>2C、a<2且a≠lD、a<﹣2
考点:
根的判别式。
专题:
计算题。
分析:
利用一元二次方程根的判别式列不等式,解不等式求出a的取值范围.
解答:
解:
△=4﹣4(a﹣1)=8﹣4a>0
得:
a<2.
又a﹣1≠0
∴a<2且a≠1.
故选C.
点评:
本题考查的是一元二次方程根的判别式,根据方程有两不等的实数根,得到判别式大于零,求出a的取值范围,同时方程是一元二次方程,二次项系数不为零.
3.(2011湖北荆州,9,3分)关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A、1B、-1C、1或-1D、2
考点:
根与系数的关系;根的判别式.
专题:
计算题.
分析:
根据根与系数的关系得出x1+x2=-ba,x1x2=ca,整理原式即可得出关于a的方程求出即可.
解答:
解:
依题意△>0,即(3a+1)2-8a(a+1)>0,
即a2-2a+1>0,(a-1)2>0,a≠1,
∵关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,
∴x1-x1x2+x2=1-a,
∴x1+x2-x1x2=1-a,
∴3a+1a-2a+2a=1-a,
解得:
a=±1,又a≠1,
∴a=-1.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了根与系数的关系,由x1-x1x2+x2=1-a,得出x1+x2-x1x2=1-a是解决问题的关键.
4.(2011•青海)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解,则k的取值范围是( )
A、k≥4B、k≤4C、k>4D、k=4
考点:
根的判别式;解一元一次不等式。
专题:
计算题。
分析:
根据方程解的情况和根的判别式得到b2﹣4ac≥0,求出即可.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解,
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0,
解得:
k≤4,
故选B.
点评:
本题主要考查对根的判别式,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握,能熟练地运用根的判别式进行计算是解此题的关键.
5.(20XX年山东省威海市,9,3分)关于x的一元二次方程x2+(m–2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )
A、0B、8C、4±2
D、0或8
考点:
根的判别式.
专题:
计算题.
分析:
根据一元二次方程根的判别式的意义,由程x2+(m–2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则有△=0,得到关于m的方程,解方程即可.
解答:
解:
∵一元二次方程x2+(m–2)x+m+1=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(m–2)2–4×1×(m+1)=0,
解方程得m1=0,m2=8.
故选D.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2–4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
6.(2011山东省潍坊,7,3分)关千x的方程
的根的情况描述正确的是().
A.k为任何实数.方程都没有实数根
B,k为任何实数.方程都有两个不相等的实数根
C.k为任何实数.方程都有两个相等的实数根
D.根据k的取值不同.方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【考点】根的判别式.
【分析】本题需先求出方程的根的判别式的值,然后得出判别式大于0,从而得出答案.
【解答】解:
∵关于x的方程x2+2kx+k-1=0中
△=(2k)2-4×(k-1)
=4k2-4k+4
=(2k-1)2+3>0
∴k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
故选B.
【点评】本题主要考查了根的判别式的概念,在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键.
7.(2011成都,6,3分)已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0(m≠0)有两个实数根,则下列关于判别式n2-4mk的判断正确的是( )
A.n2-4mk<0B.n2-4mk=0C.n2-4mk>0D.n2-4mk≥0
考点:
根的判别式。
专题:
计算题。
分析:
根据一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)根的判别式△=b2-4ac直接得到答案.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0(m≠0)有两个实数根,
∴△=n2-4mk≥0,
故选D.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)根的判别式△=b2-4ac:
当△>0,原方程有两个不相等的实数根;当△=0,原方程有两个相等的实数根;当△<0,原方程没有实数根.
8.(2011•包头,3,3分)一元二次方程x2+x+
=0的根的情况是( )
A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根
C、无实数根D、无法确定
考点:
根的判别式。
专题:
计算题。
分析:
先计算△=b2﹣4ac,然后根据△的意义进行判断根的情况.
解答:
解:
∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•
=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
故选B.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的根判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
9.(2011福建福州,7,4分)一元二次方程x(x﹣2)=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
考点:
根的判别式;解一元二次方程-因式分解法.
分析:
先把原方程变形为:
x2﹣2x=0,然后计算△,得到△=4>0,根据△的含义即可判断方程根的情况.
解答:
解:
原方程变形为:
x2﹣2x=0,∵△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.故选A.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,原方程有两个不相等的实数根;当△=0,原方程有两个相等的实数根;当△<0,原方程没有实数根.
二、填空题
1.(2011•江苏徐州,15,3)若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= .
考点:
根的判别式。
专题:
计算题。
分析:
根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0,即k2﹣4×1×9=0,然后解方程即可.
解答:
解:
∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即k2﹣4•1•9=0,解得k=±6.
故答案为±6.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的根判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
2.如果关于x的方程x2-2x+m=0(m为常数)有两个相等实数根,那么m=1.
考点:
根的判别式.
专题:
计算题.
分析:
本题需先根据已知条件列出关于m的等式,即可求出m的值.
解答:
解:
∵x的方程x2-2x+m=0(m为常数)有两个相等实数根
∴(-2)2-4×1•m=0
4-4m=0
m=1
故答案为:
1
点评:
本题主要考查了根的判别式,在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键.
3.(2011新疆建设兵团,12,5分)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的取值范围是 a≤1 .
考点:
根的判别式.
分析:
在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0.
解答:
解:
因为关于x的一元二次方程有实根,
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
解之得a≤1.
故答案为a≤1.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.如果方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根,则实数a的值为1.
【考点】根的判别式.
【专题】计算题;方程思想.
【分析】由于方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根,由此得到方程的判别式为0,由此可以得到关于a的方程,解方程即可求解.
【解答】解:
∵方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根,
∴△=22-4a=0,
∴a=1.
故答案为:
1.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式,利用方程的判别式与一元二次方程的根的关系得到关于a的方程是解题的关键.
三、解答题
1.(2011•郴州)当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根?
考点:
根的判别式。
专题:
方程思想。
分析:
根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程,然后解方程即可.
解答:
解:
∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2,一次项系数b=t,常数项c=2,
∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0,
解得,t=±4,
∴当t=4或t=﹣4时,原方程有两个相等的实数根.
点评:
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系.当△=b2﹣4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=b2﹣4ac=0时,方程有两个相等的实数根;△=b2﹣4ac<0时,方程无实数根.
2.(2011•南充,18,8分)关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2﹣x1x2<﹣1且k为整数,求k的值.
考点:
根与系数的关系;根的判别式;解一元一次不等式组。
专题:
代数综合题。
分析:
(1)方程有两个实数根,必须满足△=b2﹣4ac≥0,从而求出实数k的取值范围;
(2)先由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2,x1x2=k+1.再代入不等式x1+x2﹣x1x2<﹣1,即可求得k的取值范围,然后根据k为整数,求出k的值.
解答:
解:
(1)∵方程有实数根,
∴△=22﹣4(k+1)≥0,
解得k≤0.
故K的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2,x1x2=k+1
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣(k+1).
由已知,得﹣2﹣(k+1)<﹣1,解得k>﹣2.
又由
(1)k≤0,
∴﹣2<k≤0.
∵k为整数,
∴k的值为﹣1和0.
点评:
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系.在运用一元二次方程根与系数的关系解题时,一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0.
3.(2011福建厦门,24)已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根.
(1)求n的取值范围;
(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数,求n的值.
考点:
根的判别式。
专题:
计算题。
分析:
(1)关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b2﹣4ac>0.即可得到关于n的不等式,从而求得n的范围;
(2)利用配方法解方程,然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值.
解答:
解:
(1)∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n,
∴△=b2﹣4ac=4+8n>0,
解得,n>﹣
;
(2)由原方程,得
(x﹣1)2=2n+1,
∴x=1±
;
∵方程的两个实数根都是整数,且n<5,
∴0<2n+1<11,且2n+1是完全平方形式,
∴2n+1=1,2n+1=4或2n+1=9,
解得,n=0,n=1.5或n=4.
点评:
本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0方程有两个相等的实数根;
(3)△<0方程没有实数根.
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- 中考 数学 题解 31 一元 二次方程 判别式 答案