所以>,所以<<1.
四、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决,求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.
【例4】 已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),如图所示,设左顶点为A,上顶点为B,且·=·.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过F的直线l交椭圆于M,N两点,试确定·的取值范围.
【解析】
(1)由已知,A(-a,0),B(0,b),F(1,0),
则由·=·,得b2-a-1=0.
∵b2=a2-1,
∴a2-a-2=0,
解得a=2.(列出方程)
∴a2=4,b2=3,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)①若直线l斜率不存在,则l:
x=1,
此时M,N,·=-.
②若直线l斜率存在,设l:
y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),则由消去y得
(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,(列出方程)
∴x1+x2=,x1x2=.
∴·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)
=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]
=.(转化为函数)
∵k2≥0,∴0<≤1,∴3≤4-<4,
∴-3≤·<-.
综上所述,·的取值范围为.
【类题通法】
本题利用了函数与方程思想,首先由已知条件列出关于a,b的方程,求出a,b值,再求·的范围时转化为关于k的函数,利用函数性质求解.
【对点训练】
1.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若=6,则k的值为________.
【答案】或
【解析】依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=.
由=6知x0-x1=6(x2-x0),
得x0=(6x2+x1)=x2=.
由D在AB上知x0+2kx0=2,
得x0=.
所以=,
化简得24k2-25k+6=0,
解得k=或k=.
2.已知直线l:
y=k(x+1)与抛物线C:
y2=4x交于不同的两点A,B,问:
是否存在k,使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F.
【解析】F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
当k=0时,l与C只有一个交点不合题意,因此k≠0.
将y=k(x+1)代入y2=4x,
消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,①
依题意,x1,x2是①的不相等的两个根,
则
以AB为直径的圆过F⇔AF⊥BF⇔kAF·kBF=-1
⇔·=-1⇔x1x2+y1y2-(x1+x2)+1=0
⇔x1x2+k2(x1+1)(x2+1)-(x1+x2)+1=0
⇔(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=0,③
把x1+x2=,x1x2=1代入③得2k2-1=0,解得k=±,
经检验k=±适合②式,综上所述,k=±为所求.
五、函数与方程思想在立体几何中的应用
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
【例5】 (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
【解析】
(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6,
所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积
V锥=·A1B·PO1=×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=am,PO1=hm,
则0<h<6,O1O=4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,
O1B+PO=PB,
所以2+h2=36,
即a2=2(36-h2).
于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,(转化为函数)
从而V′=(36-3h2)=26(12-h2).
令V′=0,得h=2或h=-2(舍).
当0<h<2时,V′>0,V是单调增函数;
当2<h<6时,V′<0,V是单调减函数.
故当h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.
【类题通法】
(1)本题第
(2)问利用了函数与方程思想,首先由已知条件列出关于a,h的方程,再由公式把体积V表示成关于高h的函数,最后利用导数求解.
(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题,一般是利用函数的思想解决,思路是先选择恰当的变量建立目标函数,然后再利用有关知识,求函数的最值.
【对点训练】
1.(2017·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为L2,则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】设圆锥的高为h,轴截面的顶角为θ,则过顶点的截面的面积S=×2r×h=L2sinθ≤L2,sinθ≤1,当截面为等腰直角三角形时取最大值,故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°,得L>r≥Lcos45°=L,所以≤<1.
2.(2017·福州质检)在三棱锥ABCD中,△ABC为等边三角形,AB=2,∠BDC=90°,二面角ABCD的大小为150°,则三棱锥ABCD的外接球的表面积为( )
A.7πB.12π
C.16πD.28π
【答案】D
【解析】满足题意的三棱锥ABCD如图所示,设三棱锥ABCD的外接球的球心为O,半径为R,△BCD,△ABC的外接圆的圆心分别为O1,O2,易知O,O1,O2在同一平面内,由二面角ABCD的大小为150°,易得∠OO1O2=150°-90°=60°.
依题意,可得△BCD,△ABC的外接圆的半径分别为
r1===,r2==2,
所以即
解得R=,所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为4πR2=28π.
3.平面内边长为a的正三角形ABC,直线DE∥BC,交AB,AC于D,E,现将△ABC沿DE折成60°的二面角,求DE在何位置时,折起后A到BC的距离最短,最短距离是多少?
【解析】如图,点A沿DE折起到A′,过A作AG⊥BC于G,交DE于F,连接A′F,A′G,
因为△ABC为正三角形,又DE∥BC,所以AG⊥DE.又G,F分别为BC,DE的中点,所以DE⊥平面A′FG,BC⊥平面A′FG,
所以∠A′FG是二面角的平面角.
由题知∠A′FG=60°,所以A′G为所求,
在△A′FG中,设FG=x,则A′F=a-x.
由余弦定理,得
A′G2=A′F2+FG2-2A′F·FG·cos60°
=2+x2-2×·x·cos60°
=32+a2,
所以当x=a时,(A′G)min=a,
即DE恰为△ABC中位线时,折起后A到BC的距离最短,最短距离为a.
快稳细活 填空稳夺
一、直接法
直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、计算等得出正确的结论.
【例1】 (2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
【答案】
【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=,
所以sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.
又a=1,所以由正弦定理得b==×=.
【对点训练】
1.(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.
【答案】1
【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+)-xln(x+)=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=1.
2.(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
【答案】-20
【解析】(x+y)8中,Tr+1=Cx8-ryr,令r=7,再令r=6,得x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
二、特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论.
【例2】 (2016·山东高考)已知双曲线E:
-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.
【答案】2
【解析】法一:
(特殊值法)利用双曲线的性质,设特殊值求解.
如图,由题意知|AB|=,|BC|=2c,
又2|AB|=3|BC|,∴设|AB|=6,|BC|=4,则|AF1|=3,|F1F2|=4,
∴|AF2|=5.由双曲线的定义可知,a=1,c=2,∴e==2.故填2.
法二:
(直接法)利用双曲线的性质,建立关于a,b,c的等式求解.
如图,由题意知|AB|=,|BC|=2C.
又2|AB|=3|BC|,
∴2×=3×2c,即2b2=3ac,
∴2(c2-a2)=3ac,两边同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2(负值舍去).
【对点训练】
(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
【答案】1
【解析】法一:
(特殊值法)由题意知a1,a3,a5成等差数列,a1+1,a3+3,a5+5成等比数列,所以观察可设a1=5,a3=3,a5=1,所以q=1.故填1.
法二:
(直接法)因为数列{an}是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),得d2+4d+4=0,即d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.
三、数形结合法
根据题目条件,画出符合题意的图形,以形助数,通过对图形的直观分析、判断,往往可以快速简捷地得出正确的结果,它既是方法,也是技巧,更是基本的数学思想.
【例3】 (2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:
mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
【答案】4
【解析】由直线l:
mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.
由|AB|=2得2+()2=12,
解得m=-.
又直线l的斜率为-m=,
所以直线l的倾斜角α=.
画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.
【对点训练】
1.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.
【答案】4
【解析】画出可行域(如图所示).
∵z=3x+y,
∴y=-3x+z.
∴直线y=-3x+z在y轴上截距最大时,即直线过点B时,z取得最大值.
由解得即B(1,1),
∴zmax=3×1+1=4.
2.(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f
(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.
【答案】(-1,3)
【解析】∵f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称.又f
(2)=0,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(x)的大致图象如图所示,由f(x-1)>0,得-2四、等价转化法
通过“化复杂为简单,化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题,从而得到正确的结果.
【例4】 (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
【答案】64
【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8.
故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n·
=23n-+=2-+n.
记t=-+=-(n2-7n)=-2+,
结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.
又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.
【对点训练】
1.(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-)=f(),
∴f(2|a-1|)>f(),∴2|a-1|<=2,
∴|a-1|<,即-<a-1<,即<a<.
2.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则的最大值为________.
【答案】3
【解析】画出可行域如图阴影部分所示,
∵表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,
∴点(x,y)在点A处时最大.
由得
∴A(1,3).
∴的最大值为3.
五、构造法
根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借助它来认识和解决问题.
【例5】 (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N