极坐标与参数方程取值范围问题.docx
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极坐标与参数方程取值范围问题
极坐标与参数方程取值范围问题
一.解答题(共12小题)
1.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为
,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线
(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
2.【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为
(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=
.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.
3.(选修4﹣4:
坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是
(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是
(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线C普通方程;
(Ⅱ)若点
在曲线C上,求
的值.
4.已知在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线C的极坐标方程为
,定点
,F1,F2是圆锥曲线C的左、右焦点.直线经过点F1且平行于直线AF2.
(Ⅰ)求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆锥曲线C交于M,N两点,求|F1M|•|F1N|.
5.在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为
(a>b>0,ϕ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点
对应的参数ϕ=
,射线θ=
与曲线C2交于点
.
(Ⅰ)求曲线C1,C2的方程;
(Ⅱ)若点A(ρ1,θ),
在曲线C1上,求
的值.
6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(
,
),半径r=
,点P的极坐标为(2,π),过P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)求|PA|•|PB|的值.
7.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1为
(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当
时,设直线BD与曲线C1的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
8.极坐标系中,圆C方程ρ=2
cosθ﹣2sinθ,A(
,2π),以极点作为直角坐标系的原点,极轴作为x轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.
(Ⅰ)求圆C在直角坐标系中的标准方程;
(Ⅱ)设P为圆C上的任意一点,圆心C为线段AB中点,求|PA|•|PB|的最大值.
9.(选修4﹣4:
极坐标系与参数方程)
极坐标系中,求圆ρ=
上的点到直线ρcos(θ+
)=1的距离的取值范围.
10.已知直线C1:
(t为参数),曲线C2:
ρ+
=2
sin(θ+
).
(1)求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)求直线C1被曲线C2所截的弦长.
11.已知直线l是过点P(﹣1,2),方向向量为
=(﹣1,
)的直线,圆方程ρ=2cos(θ+
)
(1)求直线l的参数方程
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|•|PN|的值.
12.已知点P的极坐标为
,曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ,过点P的直线l交曲线C与M、N两点,求|PM|+|PN|的最大值.
极坐标与参数方程取值范围问题
参考答案与试题解析
一.解答题(共12小题)
1.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为
,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线
(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
【解答】解:
(Ⅰ)由
得:
,
∴ρ2=16,
即ρ=±4.
∴A、B两点的极坐标为:
或
.
(Ⅱ)由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8,
得到普通方程为x2﹣y2=8.
将直线
代入x2﹣y2=8,
整理得
.
∴|MN|=
=
.
2.【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为
(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=
.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.
【解答】解:
(1)由ρ=
得ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=8x,
∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x上的抛物线.
(2)
,即y=2x﹣4,代入y2=8x得x2﹣6x+4=0,∴x1+x2=6,x1•x2=4,
∴|AB|=
•|x1﹣x2|=
•
=
•
=10.
3.(选修4﹣4:
坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是
(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是
(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线C普通方程;
(Ⅱ)若点
在曲线C上,求
的值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵直线l的参数方程是
(t为参数),消去参数t得x+y=2,令y=0,得x=2.
∵曲线C的参数方程是
(φ为参数,a>0),消去参数φ得
,
把点(2,0)代入上述方程得a=2.
∴曲线C普通方程为
.
(Ⅱ)∵点
在曲线C上,即A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),
,
在曲线C上,
∴
=
=
=
=
+
=
.
4.已知在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线C的极坐标方程为
,定点
,F1,F2是圆锥曲线C的左、右焦点.直线经过点F1且平行于直线AF2.
(Ⅰ)求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆锥曲线C交于M,N两点,求|F1M|•|F1N|.
【解答】解:
(I)圆锥曲线C的极坐标方程为
,即3ρ2+(ρsinθ)2=12,可得直角坐标方程:
3x2+4y2=12,
即
=1.∴F1(﹣1,0),F2(1,0).
=
=
.
∴要求的直线方程为:
y=
(x+1).
(II)由(I)可得直线的参数方程为:
(t为参数).
代入椭圆方程可得:
5t2﹣4t﹣12=0,
∴t1t2=﹣
.
∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=
.
5.在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为
(a>b>0,ϕ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点
对应的参数ϕ=
,射线θ=
与曲线C2交于点
.
(Ⅰ)求曲线C1,C2的方程;
(Ⅱ)若点A(ρ1,θ),
在曲线C1上,求
的值.
【解答】解:
(I)∵曲线C1上的点
对应的参数ϕ=
,∴
,解得
,
∴曲线C1的直角坐标方程为:
=1.
∵曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆,射线θ=
与曲线C2交于点
.
∴圆的直径2R=
=2,∴曲线C2的方程为(x﹣1)2+y2=1.
(II)把
代入曲线C1的直角坐标方程:
=1.
可得
.
∴
=
+
=
=
=
.
6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(
,
),半径r=
,点P的极坐标为(2,π),过P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)求|PA|•|PB|的值.
【解答】解:
(1)圆C的圆心的极坐标为C(
,
),
∴x=
=1,y=
=1,
∴圆C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(2)点P的极坐标为(2,π),化为直角坐标P(﹣2,0).
当直线l与圆C相切于等D时,则|PD|2=|PC|2﹣r2=(﹣2﹣1)2+(0﹣1)2﹣
=8.
∴|PA|•|PB|=|PD|2=8.
7.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1为
(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当
时,设直线BD与曲线C1的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
【解答】解:
(1)由ρ=6cosφ,得ρ2=6ρcosφ,所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0
由已知得C1的直角坐标方程是
,
当α=0时射线与曲线C1,C2交点的直角坐标为(a,0),(6,0),
∵|AB|=4,∴a=2,C1的直角坐标方程是
①
(2)联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B(3,3)或B(0,0),∵B不是极点,∴B(3,3).
又可得D(1,0),∴
,∴BD的参数方程为
(t为参数)②
将②带入①得
,设D,E点的参数是t1,t2,则
,
.
8.极坐标系中,圆C方程ρ=2
cosθ﹣2sinθ,A(
,2π),以极点作为直角坐标系的原点,极轴作为x轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.
(Ⅰ)求圆C在直角坐标系中的标准方程;
(Ⅱ)设P为圆C上的任意一点,圆心C为线段AB中点,求|PA|•|PB|的最大值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵ρ=2
cosθ﹣2sinθ,
∴ρ2=2
ρcosθ﹣2ρsinθ则x2+y2=2
x﹣2y,
即圆C在直角坐标系中的标准方程为(x﹣
)2+(y+1)2=4;
(Ⅱ)A(
,2π)的直角坐标为(
,0),圆C的圆心坐标为(
,﹣1),
∵圆心C为线段AB中点,
∴点B的坐标为(
,﹣2),AC=BC=1,
设∠ACP=θ,而PC=2,则PA=
=
,
同理PB=
,
∴|PA|•|PB|=
•
=
≤5,当且仅当cosθ=0时取等号,
∴|PA|•|PB|的最大值为5.
9.(选修4﹣4:
极坐标系与参数方程)
极坐标系中,求圆ρ=
上的点到直线ρcos(θ+
)=1的距离的取值范围.
【解答】解:
圆
化为直角坐标方程得:
x2+y2=2
直线
,即
ρcosθ﹣
ρsinθ=1,
化为直角坐标方程为:
x﹣
y=1,
即x﹣
y﹣2=0
∴圆心(0,0)到直线的距离d=
=1
故圆上动点到直线的最大距离为
+1,最小距离为0
故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0,
+1]
10.已知直线C1:
(t为参数),曲线C2:
ρ+
=2
sin(θ+
).
(1)求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)求直线C1被曲线C2所截的弦长.
【解答】解:
(1)由
,得3x﹣4y=0.
由ρ+
=2
sin(θ+
),
得
=2sinθ+2cosθ.
即ρ2+1=2ρsinθ+2ρcosθ,
∴x2﹣2x+y2﹣2y+1=0;
(2)由x2﹣2x+y2﹣2y+1=0,
得(x﹣1)2+(y﹣1)2=1.
∴曲线C2是以(1,1)为圆心,以1为半径的圆.
圆心到直线3x﹣4y=0的距离为
.
∴直线C1被曲
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