4年级中等难度奥数题.docx

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4年级中等难度奥数题

　盈亏问题：

（中等难度）

　　少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。

请问，共有多少名少先队员？

共挖了多少树坑？

　盈亏问题答案：

解这道题的关键在于条件的转换，把"如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑"，转换成"每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。

"则本题成为"一盈一亏"的盈亏问题。

所以〔3＋2×（6－4）〕÷（6－5）＝7（人），

　　7×5＋3＝38（个）树坑。

　　盈亏问题公式：

总差÷分差＝份数。

一盈一亏中：

盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：

大数－小数＝总差；份数在不同的题目中表示不同的意思。

此题表示参与分配的人数。

等差数列：

（中等难度）

　　把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？

等差数列答案：

28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：

1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）÷2=98。

　　等差数列重要公式：

前n项的和=（首项+末项）×项数÷2。

第n项=第1项＋（项数-1）×公差。

和差问题公式：

大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2。

等差数列：

（中等难度）

　　如图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是多少？

　等差数列答案：

连接BD,由三角形等积变形，ΔBOD的面积等于阴影部分的面积，又ΔADB的面积等于ΔBCD的面积，都是平行四边形ABCD的一半，所以阴影部分的面积是平行四边形ABCD的1/4，面积为10平方厘米。

　　三角形等积变换是求平面几何图形面积的一种重要方法，三角形等积变换的重要性质有：

两个三角形底（高）相等时，面积比等于高（底）的比。

数字迷：

（中等难度）

　　在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么______.

数字迷答案：

如下图所示，将剩下的圆圈内标上字母

　　于是A=（13+17）÷2=15，由题意可得B+15=D+17=2C,因此B-D=2.于是2D=B+13=D+2+13,故D=15.从而C=（17+15）÷2=16，X=2C-13=19。

　　解数字谜时，出现的条件较少时，通过设未知量表示出其中的隐含关系往往是解题的关键。

　几何计数问题：

（中等难度）

　　图中共有______个三角形。

几何计数问题答案：

以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；

　　以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；

　　以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

　　所以，一共有15个三角形。

此题也可以用排列组合的方法来解，图中共有6条长线段，除三条直线共点的情况外（其中有3条线段共B点，有4条线段共C点），任取3条可以构成一个三角形，所以图中共有C_6^3-1-C_4^3=20-1-4=15（个）三角形。

　　分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是关键。

　　做到既不重复，也不遗漏。

另外用排列组合解决计数问题也是小学奥数很重要的内容。

面积：

（中等难度）

　　如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。

面积答案：

　　连接BE，根据前面介绍的模型，

的面积既是平行四边形ABCD面积的一半，又是平行四边形AEGF面积的一半，所以这两个平行四边形的面积均为

面积的两倍，因此相等。

【计数问题】

　　1.难度：

★★★★

　　下图中共有多少个三角形？

　　【分析】边长为1的正三角形有16个。

边长为2的正三角形，尖向上的和尖向下的各有3个，共22个。

　　2.难度：

★★★★★

　　下图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形。

那么，图中包含"*"的所有大、小正三角形一共有多少个？

　　【分析】设小正三角形的边长为1，包含"*"的边长为1的正三角形有1个，边长为2的有4个，边长为3的正三角形有1个，所以，1+4+1=6（个）。

小方格：

（中等难度）

　　用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。

是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

小方格答案：

　　　【分析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

　　将上面的四种情形看成四个"抽屉"。

根据抽屉原理，将5列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

约数：

（中等难度）

　　在555555的约数中，最大的三位数是多少？

约数答案：

　　555555=5×111111=5×111×1001=5×3×37×7×11×13，最大的三位数约数=3×7×37=777

倍数：

（中等难度）

　　证明任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

倍数答案：

　　考虑每个自然数被5除所得的余数。

即自然数可以作为物品，被5除所得余数可以作为抽屉。

显然可知，任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况：

0，1，2，3，4。

所以构造5个抽屉，每个抽屉中所装的物品就是被5除所得余数分别为0，1，2，3，4的自然数。

运用抽屉原理，考虑"最坏"的情况，先从每个抽屉中各取一个"物品"，共5个，则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的"物品"，即它们被5除余数相同，所以它们的差能整除5。

列车相遇：

（中等难度）

　　某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列车长150米，时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

列车相遇答案：

　　根据另一个列车每小时走72千米，所以，他的速度为

　　某列车的车速为：

（250-210）/（25-23）=20

　　某列车的车长为：

20*25-250=250

　　两列车的错车时间为：

（250+150）/（20+20）=10

偶数排列：

（中等难度）

　　从19，20，21，…，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法有多少种？

偶数排列答案：

　　选择两个数，使得它们的和为偶数，则只能两个数同时是偶数或两个数同时是奇数。

19-93这76个数中，有38个奇数，38个偶数，于是有种不同的选法

客车货车相遇：

（中等难度）

　　客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后辆车仍以原速度继续前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。

求甲、乙两站之间的距离。

客车货车相遇答案：

　　第一次相遇时，客车、货车共行走了1倍的甲、乙全长；也就是第二次相遇距出发时间是第一次相遇距出发时间的3倍，第一次甲行走了40千米，则第二次甲行走了40×3＝120千米。

那么有120－20＝100千米即为甲、乙的全长。

巧算4：

（中等难度）

　　3＋33＋333＋…＋

计算结果的万位数字。

巧算4答案：

　　计算上式结果的万位数字，只用先计算10个数的个位数字和，十位数字和，百位数字和，千位数字和，万位数字和。

而个位数字和位3×10＝30，十位数字和为3×9＝27，百位数字和为3×8＝24，千位数字和为3×7＝21，万位数字只和为3×6＝18.

　　则这10个数的万位及以下的和为30＋27×10＋24×100＋21×1000＋18×10000＝203700.

　　而万位以上的数字对和的万位没有影响，所以上面和式的万位数字为0。

加工零件：

（中等难度）

　　甲、乙、丙3名工人准备在同样效率的3个车床上车出7个零件，加工各零件所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟。

3人同时开始工作，问最少经过多少分钟可车完全部零件？

加工零件答案：

　　加工所有的零件供需：

4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47分钟，平均到三台车床上加工，平均每台加工时间为分钟。

由于加工各零部件需要整数分钟，因此最快需16分钟完成，但是无论怎么分组，都做不到。

因此延长1分钟，即17分钟，有（6，9），（6，9），（4，5，8），满足题意。

所以，最少经过17分钟可完成全部零件。

找规律：

（中等难度）

　　在图中，从"我"字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出"我爱学奥数"。

那么共有多少种不同的读法？

　我

爱爱

学学学

奥奥奥奥

数数数数数

找规律答案：

　　从"我"到"爱"有2种读法；而从"爱"读到"学"，每个"爱"有2种读法；而从"学"到"奥"，每个"学"有2种读法；从"奥"到"数"，每个"奥"有2种读法。

　　由于是分布进行的，适用于乘法原理，于是满足题意的读法有2×2×2×2＝16种。

倍数除数：

（中等难度）

　　两数相除商9余4，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，那么被除数、除数、商、余之和等于333，则原来的被除数是_____,除数是______

倍数除数答案：

　　【答案】103

　　【考点】商不变性质：

被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变

　　【分析】被除数和除数同时扩大三倍，商不变，余数跟着扩大三倍，所以扩大后除数是（333－4×3×2－9）÷（9+1）=33，原先的除数是33÷3=11，被除数是11×9+4=103。

巧算3：

（中等难度）

　　计算：

3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.

　巧算3答案：

　　3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7

　　=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7

　　=7.63×91.8+91.8×2.37

　　=（7.63+2.37）×91.8

　　=10×91.8

　　=918

巧算2：

（中等难度）

　　（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。

巧算2答案：

　　（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）

　　=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）

　　=1+1×（1989-1）÷2

　　=1+994

　　=995

巧算1：

（中等难度）

　　1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。

巧算1答案：

　　000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101

　　=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）

　　=4+4+……+4+4

　　=［（1000-101）÷1+1］÷4×4

　　=900

求和：

（中等难度）

　　如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？

　　17131925313743495561

　　28142026323844505662

　　39152127333945515763

　　410162228344046525864

　　511172329354147535965

求和答案：

　　它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5

　　=（33×11）×5

　　=1815

　　[或者：

它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]

　　1994-1815=179

　　答：

它们的和加上179才等于1994。

象棋循环赛：

（中等难度）

　　设8人参加一个象棋循环赛（即每两人都比赛一盘），并且他们的得分都不相同，比赛记分规则是胜者得1分，负者得0分，平者双方各得0.5分。

已知第2名的得分是最后四名得分的和，则第2名得分是多少？

象棋循环赛答案：

　　每场双方共得1分，得分居最后四位的棋手之间比赛4×3÷2=6盘，这6盘比赛的得分为1×6=6分，所以第2名的得分不少于6分；所以第1名的得分不少于6.5分；所以第1名得7分，所以第2名得6分

　　【小结】循环赛场次数=参赛选手数×（参赛选手数-1）÷2

整除：

（中等难度）

　　有些六位数，组成六位数的六个数字都不相同，而相邻两个数字组成的两位数能被3整除，这样的六位数一共有（）个。

整除答案：

　　10个数字中，除以3余数是1的有1、4、7，余数是2的有2、5、8，没有余数的有0、3、6、9，如果这六个数中选择了没有余数的数字，那么总有一个地方的两位数不能被整除。

故只能选1、4、7和2、5、8。

把这六个数按照余数1和余数2的交替排列就行了，因此有6×6×2=72个这样的数。

　　【小结】数论整除这部分应当牢记特殊数整除的特点

甲乙路程：

（中等难度）

　　甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？

甲乙路程答案：

　　平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程。

由于兵兵每小时比平平多走17-14=3千米，要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用2小时。

因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了17×2=34千米，所以兵兵追上平平时，距乙地还有40-34=6千米

　　【小结】牢记公式：

速度×时间=路程

缆线颜色：

（中等难度）

　　一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。

如果在黑暗中，你至少要抓住多少根缆线才能保证每种颜色都至少抓到1根。

缆线颜色答案：

　　缆线的颜色种类有20÷4=5种，由最不利原则，至少要抓住4×4+1=17根缆线

　　【小结】此题应用最不利原则，所谓最不利原则是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。

由此得到充分可靠的结论。

步行锻炼：

（中等难度）

　　赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。

假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？

步行锻炼答案：

　　解答：

12千米

　　因为是原路返回，所以上坡的路程和下坡的路程相等.

　　上下坡的平均速度为2÷（1÷3+1÷6）=4，与平路速度相等，所以全程的平均速度为4千米/小时，3小时共步行4×3=12千米.

阴影面积：

（中等难度）

　　两个煤厂，甲厂有煤252吨，乙厂有煤180吨，两厂每天都运出26吨煤.问几天后甲厂比较图3中的两个阴影部分I和Ⅱ的面积，它们的大小关系_____。

阴影面积答案：

　　解答：

I的面积为：

，Ⅱ的面积也为3。

　　所以两块阴影部分面积相等均为3。

趣味方格：

（中等难度）

　　右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。

比如a=5×10=50，b=50×12=600。

那么c方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。

趣味方格答案：

　　由于考虑的是c末尾有多少个连续的0，则只需考虑有多个5，有多少个2即可。

　　先考虑因数5，其累积如下图：

　　再考虑因数2，其累积过程如下图。

　　由于5多于2，则c方格内所填的自然数有102个0。

找规律：

（中等难度）

　　下图中的数字是按一定规则排列的。

求A、B、C的值。

找规律答案：

　　解答：

　　观察可发现，两个圆交叉部分为两个圆未交叉部分的和的平均数。

　　则A=（31+17）÷2=24；

　　B=29×2-17=58-17=41；

　　C=（41+67）÷2=54；

　方格填数字：

（中等难度）

　　把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

　方格填数字答案：

　　如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。

如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：

　　2×3＝6或2×4＝8，

　　所以应当从乘法算式入手。

　　因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。

于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。

　　若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；

　　若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：

　　4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

　　1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

　　所以答案为

相同字母：

（中等难度）

　　在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求

相同字母答案：

　　这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个

　　（100000+x）×3=10x+1，

　　300000+3x=10x+1，

　　7x=299999，

　　x=42857。

运算符号填空：

（中等难度）

　　把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：

（5○13○7）○（17○9）=12。

运算符号填空答案：

　　因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定"÷"的位置。

　　当"÷"在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

　　（5÷13-7）×（17+9）。

　　当"÷"在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

　　当"÷"在第三个○内时，可得下面的填法：

（5+13×7）÷（17-9）=12-

春游租车：

（中等难度）

　　学校乘车外出春游，如果每人坐65人，则有15人乘不上车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。

学校一共租了多少辆车？

春游租车答案：

　　解答：

把第二种方案看成每车坐70人，则少70人。

（15＋70）÷5＝17（辆）

逻辑问答：

（中等难度）

　　甲、乙、丙三位老师分别教四年级一班的语文、数学和英语。

已知：

甲老师不教英语；英语老师是一个学生的哥哥；丙是一位女老师，她比数学老师活泼。

请问：

乙老师教什么课？

逻辑问答答案：

　　解答：

英语

等差数列：

（中等难度）

　　若在等差数列2，5，8，…的每相邻两项中间插入三项，使它构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第（）项。

等差数列答案：

　　解答：

在每相邻两项中间插入三项，则原数列的第10项之前共插入了3×9=27项，故原数列的第10项是新数列的第10+27=37项。

黑白棋子：

（中等难度）

　　在6×6的方格中，先放一枚白棋子，再放一枚黑棋子，要求两个棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少种不同结果？

黑白棋子答案：

　　解答：

第一枚棋子有6×6=36种放法，第二枚棋子有5×5=25种放法，故共有36×25=900种不同结果。

奥特曼打小怪兽：

（中等难度）

　　一群奥特曼打败了一群小怪兽，已知所有的奥特曼均有一个头、两条腿，所有的小怪兽均有一个头、五条腿。

战场上一共有10个头，41条腿，那么有多少个奥特曼？

有多少个小怪兽？

奥特曼打小怪兽答案：

　　解答：

假设10个头均为奥特曼的，则战场上应共有2×10=20条腿，故小怪兽共有（41－20）÷（5－2）=7（个），奥特曼共有10－7=3（个）。

六边形面积：

（中等难度）

　　在六边形ABCDEF中，AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，AB=ED，AF=CD，BC=FE.又知道对角线FD垂直于BD，FD=24厘米，BD=18厘米.请问：

六边形ABCDEF的面积是多少？

六边形面积答案：

　　【分析】如图，我们将平移使得CD与AF重合，将平移使得ED与AB重合，这样EF,BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

卡片编号：

（中等难度）

　　有编号为1～13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。

问至少摸出（）张，就可保证一定有3张卡片编号相连。

　卡片编号答案：

　　【分析】按照最不利原则，没有３张编号相连最多能有４×７＝２８张。

再取１张，则必有３张卡片编号相连，所以至少摸出29张就能保证一定有3张卡片编号相连。

等差数列：

（中等难度）

　　等差数列第1项20，第2～5项的和比第6-～10项的和少120，求公差.

等差数列答案：

　　【分析】由于第一项为20，而第2到5项的和比第6到10项的和少120，则第1到5项的和比第6到10项的和少100，而第1到5项与第6到10项差的就是25个公差，所以公差为100÷25=4.

计算数字：

（中等难度）

　　计算[（258+582+825）－（147+471+741）]÷9=（）．

计算数字答案：

　　【分析】观察可知，原式=（222+555+888-111-444-777）÷9=333÷9=37.

划船求总人数：

（中等难度）

　　有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。

问：

这个班共有多少名同学？

划船求总人数答案：

　　【分析】增加一条和减少一条，前后相差2条，也就是说，每条船坐6人正好，每条船坐9人则空出两条船。

这样就是一个盈亏问题的标准形式了。

　　解答：

增加一条船后的船数=9×2÷（9-6）=6条，这个班共有6×6=36名同学。

逻辑问题：

（中等难度）

　　学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：

（1）是一位姓王的中年女老师，教语文课；

（2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课；

　　（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；

　　（4）是一位姓李的青年男老师，教数学课；

　　（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。

　　他们每人听到的四项情况中各有一项正确。

问：

真实情况如何？

逻辑问题答案：

　　姓刘的老年女老师，教数学。

　　提示：

假设是男老师，由

（2）（3）（5）知，他既不是青年、中年，也不是老年，矛盾，所以是女老师。

再由

（1）知，她不教语文，不是中年人。

假设她教外语，由（3）（5）知她必是中年人，矛盾，所以她教数学。

由

（2）（4）知她是老年人，由（3）知她姓刘。

求面积：

（中等难度）

　　如图，大正方形