运用几何画板制作点在线上运动的方法探究.docx

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运用几何画板制作点在线上运动的方法探究

运用几何画板制作点在线上运动的方法探究

一、单点在折线上运动

问题一：

如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒。

（1）求CD的长；

（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？

（3）直接写出：

当t为何值时，△ADP是等腰三角形？

D

制作方法：

1、先构造符合要求的ΔABC。

2、在A、B、C三个点附近构造1、2、3、4四个点顺次选中1、2、3、4构造四边形内部，立即构造边界上的点（记为P）（如下图所示）

C

3、将点1合并到A（顺次选中1、A，再编辑→合并点），点4合并到点2再合并到点C，点3合并到点B。

4、连结AP、PD，并构造ΔPAD的内部。

5、选中P，创建P的“动画”按钮。

说明：

教学时可拖动P点进行观察，也可点击“移动点

二、两动点在两线段上同时出发同时到达

问题二如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t>0）．过点D

作DF⊥BC于点F，连接DF、EF．

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

【温馨提示】D从C运动到A的时间与E从A运动到B的时间相等，属“同时出发同时到达”的情形。

制作方法：

1、构造Rt△ABC：

构造线段BC，过B构造BC的垂线l，以C为旋转中心，将B顺时针旋转30°得B'，构造射线CB'交l于点A，隐藏无关的点和线得Rt△ABC。

2、主动点的制作、度量和计算：

在线段CA上取点D（主动点），度量“D在CA上”的值，再计算“1-D

在CA上”。

3、从动点E的得到：

在线段AB的绘制点，点值为“1-D在CA上”，然后将绘制的点改为E。

4、制作两个移动控制按钮（D→C为“复位”，D→A为“移动观察”）（如图所示）

复位移动观察

说明：

教学时可拖动D点进行观察，也可点击“复位”和“移动观察”两个按钮进行观察。

三、一动点在折线上一动点在线段上，同时出发同时到达

问题三如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t=0.5时，求线段QM的长；

（2）当0

（3）当t>2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究（CQ/RQ）是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

制作方法：

1、按题画出下图。

2、主动点的构造、度量和计算：

（1）运用无边线的多边形工具绘制如图所示的多边形内部，并在边界上

绘制点P（主动点）；

（2）将3合并到A，1合并到C，2、4合并到D；（3）度量P在CDAD上的值；（4）计算2דP在CDAD上”：

3、从动点的得到：

选中线段AB，“绘图”→“在线段上绘制点⋯”→点击“2×P在CDAD上”的值（如

下图所示）

4、制作控制按钮：

“复位”和“移动P观察”移动按钮。

四、两动点在两折线上，同时出发未同时到达

问题四如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm，从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A--B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止。

设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm（^2），（这里规定：

线段是面积为0的三角形）

解答下列问题：

（1）当x=2s时，y=cm（^2）；当x=（9/2）s时，y=cm（^2）；

（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式；

（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

【分析】Q点运动的路线长为13，而折线A-B-C-E的长为14，当点Q到达D点时，点P的运动路线长也是13，点P到达距E点1cm处。

制作方法：

1、以点C为缩放中心、缩放比为4：

5，将E缩放得E'。

3、度量P在边界上的值。

P在ABCE'CB上=0.25

4、绘制从动点Q的边界。

7、制作两个移动按钮：

P→A为“复位”，P→E'为“移动P观察”。

8、隐藏不必要的对象。

最后制作的效果图如下图所示：

五、两动点问题的制作要点

1、根据题意分析两动点分别从起点到终点的距离；

2、若两动点不是同时到达终点，以先到终点的点的运动路线长来确定另一点应到达的点；

3、主动点在多边形上，若在线段上绘制从动点，则乘以2；若在另一多边形上绘制从动点，则原值；

4、主动点在线段上，若在线段上绘制从动点，则原值；若在多边形上绘制，则除以2。

六、参数控制两动点

问题五如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3√（3），点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式；（不必写t的取值范围）

（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

【分析】点P的运动，设时间为t，可新建一个无单位参数t，由于运动速度为1cm/s，所以点P坐标可表示为（|4-t|，0），点Q坐标可表示为（t+4，0），利用绝对值来保证点P在M、B之间往复运动，而同时Q点一直沿MC方向运动。

制作方法：

1、建立蚂蚁无参版直角坐标系：

自定义工具→经典坐标系→蚂蚁直角坐标系（无参版）→对直角坐标系进行初始化、隐藏刻度线和刻度尺，高速横轴和纵轴的单位长度，选x、y等单位长。

2、构造直角梯形ABCD：

在新建的直角坐标系中绘制C（8，0），A（0，5.196），D（6，5.196），B（0，

0），从而得直角梯形ABCD，作BC的中点M。

3、新建参数t，计算|4-t|和t+4.

4、绘制（|t-4|,0）、（t+4，0）

5、制作t的动画参数，将动画参数值的范围改为【0，8】

6、隐藏无关对象。

最后制作的效果图如下图所示：

七、坐标系中点和矩形的运动

问题六如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；

（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

路径长就为14.

制作方法：

1、建立蚂蚁无参版直角坐标系：

自定义工具→经典坐标系→蚂蚁直角坐标系（无参版）→对直角坐标系进行初始化、隐藏刻度线和刻度尺，高速横轴和纵轴的单位长度，选x、y等单位长。

2、构造矩形ABCD和射线OB：

绘制点A（-8，0），B（-8，6），C（0，6），D（0，0），连结AB、BC、CD、DA得矩形ABCD，过O、B构造射线。

3、确定矩形平移的距离：

复制图1；度量AB和BC的长度，计算它们的和（AB+BC）；以O为圆心，AB+BC为半径，与射线OB交于M，则OM的长为矩形ABCD平移的距离。

隐藏圆。

4、制作可移动的矩形ABCD：

在射线OB上取一点E，标记O到A的向量，然后将E按标记的向量平移到F；标记图1中A到B的向量，将F按标记的向量平移到G；标记图1中B到C的向量，将G按标记的向量平移到H，连结ABCD，然后分别把E、F、G、H改为A、B、C、D；隐藏原矩形ABCD。

5、度量“D在OM上”的值，然后计算“D在OM上/2”的值。

6、制作四边形边界（如下图），并在边界上绘制“D在OM上/2”对应的点，即为P点。

然后分别反1、（2、4）、3合并到A、B、C三点上。

7、制作两个移动按钮：

D→O为复位，D→M为移动观察。

8、隐藏无关对象。

最后制作的效果图如下图所示：

BPC

O