高二数学 《数列的极限》教案 沪教版.docx
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高二数学《数列的极限》教案沪教版
2019-2020年高二数学《数列的极限》教案沪教版
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一,因为微积分中其它重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都是用极限概念来表述的,而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导,同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习,所以,极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1.理解数列极限的概念,能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2.观察运动和变化的过程,初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系,提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3.利用刘徽的割圆术说明极限,渗透爱国主义教育,增强民族自豪感和数学学习的兴趣.
三、教学重点及难点
重点:
数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点:
数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台,通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点,即对极限定义的理解,使学生初步的完成由有限到无限的过渡,运用实物展示台来呈现学生的作业,指出学生课堂练习中的优点和不足之处,及时反馈.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1、创设情境,引出课题
1.观察
教师:
在古代有人曾写道:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”哪位同学能解释一下此话意思?
学生:
一根一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取第一天剩下的一半,……,如此继续下去,永远也无法取完思考
教师:
如果把每天取得的木棒长度排列起来,会得到一组怎样的数?
学生:
3.讨论
教师;随着的增大,数列的项会怎样变化?
学生:
慢慢靠近0.
教师:
这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳,形成概念
(1)直观认识
教师:
请同学们考察下列几个数列的变化趋势
(a)
①“项”随的增大而减小②但都大于0
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数0
(b)
①“项”的正负交错地排列,并且随的增大其绝对值减小
②当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数0
(c)
①“项”随的增大而增大②但都小于1
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数1
教师:
用电脑动画演示数列的不同的趋近方式:
(a)从右趋近(c)从左趋近(b)从左右
两方趋近,使学生明白不同的趋近方式
教师:
上面的庄子讲的话体现了极限的思想,其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长,得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆和体,而无所失矣.”
概念辨析
教师:
归纳数列极限的描述性定义
学生:
一般地,如果当项数无限增大时,数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限.
教师:
是不是每个数列都有极限呢?
学生1:
(思考片刻)不是.如
学生2:
教师:
请大家再看一下,下面的数列极限存在吗?
如果有,说出极限.
n是偶数
n是奇数
(a)
(b)无穷数列:
学生1:
数列(a)有极限,当是奇数时,数列的极限是0,当是偶数时,数列的极限是1.数列(b)的极限是0.4.
教师:
有不同意见吗?
学生2:
数列(b)的极限是0.34
学生3:
数列(b)的极限不存在
(这时课堂上的学生们都在纷纷议论,大家对数列(b)的极限持有各自不同的观点,但对数列(a)的极限的认识基本赞同学生1的观点.)
教师:
数列(a)有极限吗?
数列(b)的极限究竟是多少?
(学生们沉思)
学生4:
数列(a)没极限,原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列(b)的极限是.
教师:
回答的非常正确(用动画演示数列(b)的逼近过程),同学们对(a)判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对(b)判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的,数列(b)随着的无限增大,它会趋近于0.4、0.34、0.334,但是接近到一定的程度就不在接近了,所以无限的接近必须有量化的表述.
(2)量化认识
教师:
用什么来体现这种无限接近的过程呢?
学生:
用和之间的距离的缩小过程,即趋近0
教师:
现在以数列为例说明这种过程观察:
距离量化:
,随着的增大,的值越来越小,不论给定怎样小的一个正数(记为ε),只要充分的大,都有比给定的正数小.
教师:
请同桌的两位同学,一个取ε,另一个找.
问题拓展
学生:
老师再来几个其它的数列
教师:
以上我们以提到的和
为例,大家可以再操作一下.
教师:
(学生问答完毕)大家作了这项活动以后有什么感受?
学生:
只要数列有极限,对于给定的正数ε,总可以找到一项,使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.
教师:
顺理成章的给出数列极限的定义:
一般地,设数列是一个无穷数列,是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得只要正整数,就有,那么就说数列以为极限,记作,或者时.
教师:
常数数列的极限如何?
学生:
是这个常数本身.
教师:
为什么?
学生:
因为极限和项的差的绝对值为0,当然比所有给定的正数小.
三、巩固练习
讲授例题
已知数列
①把这个数列的前5项在数轴上表示出来.
②写出的解析式.③中的第几项以后的所有项都满足
④指出数列的极限.
课堂练习
第41至42的练习.
四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的的定义
五、作业布置
1.课本第42页习题2,3,4
2.根据本节课的学习,结合你自己对数列极限的体会,写一篇《我看极限》的短文,格式不限(本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.)
七、教学设计说明
对于数列极限的学习,对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃,由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响,学习过程中的困难会较大,根据一般的认识规律和学生的心理特征,设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤,由浅入深,由表及里,由感性到理性的逐步深化,力求使学生很好的理解极限的概念.
2019-2020年高二数学《数列的递推公式》教案沪教版
一、教学内容分析
本节课是数列的第二课时,教学内容是“数列的递推公式”,学生对数列已有的认知程度:
数列的有关概念和数列的通项公式.
二、教学目标设计
1、知道递推公式也是给出数列的一种方法;
2、理解数列通项公式的意义,观察数列项与项之间的内在联系,逐步形成学生的观察能力;
3、通过阅读框图,正确理解算法程序,掌握建立递推关系式的方法,形成数学阅读能力.
三、教学重点及难点
重点:
理解数列通项公式的意义,利用递推关系式,揭示数列项与项之间的内在联系.
难点:
阅读算法程序框图,建立递推关系式.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1.观察
.①
2.思考
在数列①中,项与项之间有什么关系?
[说明]:
或
3.讨论
由此,数列①也可以用下面的公式表示:
或
二、学习新课
1.概念辨析
如果已知数列的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.
2.例题分析
例3.根据下列递推公式写出数列的前4项:
(1)
(2)
解:
(1)由题意知:
这个数列的前4项依次为1,3,7,15.
(2)由题意知:
这个数列的前4项依次为100,-85,100,-85.
[说明]已知数列的首项(或前几项),利用递推公式可以依次求出数列以后的项.
例4.根据图7-5中的框图,建立所打印数列的递推公式,并写出这个数列的前5项.
解:
由图7-5可知,数列的首项为3,从第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积,即
利用上述递推公式,计算可得到数列的前5项依次为
3,6,30,870,756030.
[说明]解答本例的关键是要读懂框图,框图呈现的是算法程序,该程序就是递推关系.
3.问题拓展
例1.
解:
由题意知:
这个数列的前4项依次为1,1,2,3.
[说明]由递推公式给出的数列叫做斐波那契数列.
斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250),意大利数学家,他在1202年所著的《计算之书》中,提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列.
斐波那契的兔子问题:
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期,而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子.那么,由一对初生兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?
用记号“”表示初生的幼兔,“”表示成熟的兔子,则有下图
得到前七项:
1,1,2,3,5,8,13
进一步可以发现:
从第三项起,每一项都是前面两项之和.
下面给出证明:
设表示第n个月的兔子数,表示第n个月幼兔,表示第n个月的成熟兔,则:
由题意有:
,证毕.
∴1到12个月的兔子数依序是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,243.
∴12个月后共有243对兔子.
例2.已知数列的第1项是1,第2项是2,以后各项由
给出.
(1)写出这个数列的前5项;
(2)利用上面的数列,通过公式构造一个新数列,写出数列的前5项;
(3)继续计算数列的第6项到第10项,你发现数列的相邻两项之间有怎样的关系.
解:
由递推关系:
(1)数列的前5项依次为:
1,2,3,5,8
(2)数列的前5项依次为:
.
(3)数列的第5项到第10项依次为:
.
观察1:
,…,.
于是,数列的相邻两项之间具有:
.
观察2:
,…,
.
于是,数列的相邻两项之间具有:
.
[说明]
(1)题是利用递推关系求数列的项;
(2)题是构造一个数列写出部分项;(3)题是通过观察部分项,猜想递推关系式.
例3.根据框图,建立所打印数列的递推公式,并写出数列的前5项.
解:
根据框图,数列的递推公式为
数列的前5项依次为:
.
[说明]阅读框图,正确理解框图中的赋值语句,准确把握递推信息,是解此类题的关键.
三、巩固练习:
7.1
(2)1,2.
四、课堂小结
1、数列递推公式的概念;
2、利用递推公式解题的基本类型:
(1)根据递推公式,求数列的部分项;
(2)已知数列的部分项,写出数列相邻两项的关系;
(3)根据算法程序框图,建立递推关系式.
五、作业布置
练习册(A)6、7、8;练习册(B)2、4.
七、教学设计说明
本节课是数列的第二课时,学生对数列已有的认知程度:
数列的有关概念和数列的通项公式.因此,本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学:
1、让学生明白:
递推公式也是给出数列的一种方法;
2、理解数列通项公式的意义,观察数列项与项之间的内在联系,以此来培养学生的观察能力;
3、通过阅读框图,正确理解算法程序,掌握建立递推关系式的方法,以培养学生的数学阅读能力.
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