最全面成考专升本高数公式大全.docx
- 文档编号:4999242
- 上传时间:2022-12-12
- 格式:DOCX
- 页数:71
- 大小:24.38KB
最全面成考专升本高数公式大全.docx
《最全面成考专升本高数公式大全.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最全面成考专升本高数公式大全.docx(71页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最全面成考专升本高数公式大全
名师归纳总结
高等数学公式
导数公式:
1
(arcsin
x)
sec2x
(tgx)
(ctgx)
(secx)
(cscx)
(ax)
2
1
x
2
cscx
secxtgx
1
(arccosx)
2
x
1
cscx
lna
1
xlna
ctgx
1
2
x
1
(arctgx)
ax
1
(logax)
(arcctgx)
2
1
x
基本积分表:
tgxdx
dx
lncosx
C
2
secxdx
tgx
C
2
cos
x
ctgxdx
lnsinx
C
dx
2
cscxdx
ctgxC
2
sin
x
secxdx
lnsecx
tgx
C
secx
tgxdx
secx
C
cscxdx
dx
lncscx
ctgx
C
cscx
ctgxdx
cscx
C
1
a
x
a
arctg
C
2
a
2
x
dx
ax
lnachx
x
adx
C
1
2a1
2a
x
x
aa
a
axx
x
a
ln
C
2
2
x
a
dx
xdx
shxdx
C
ln
C
chxdx
dx
shx
C
2
2
a
2
2
ln(x
x
a)
C
arcsin
C
2
2
2
a
2
x
x
a
2
2
n
1
n
n
In
sin
xdx
cos
xdx
In
2
n
2
0
0
x
2
x2
x
2
a
2
2
2
2
2
2
x
a
dx
x
a
ln(x
x
a)
C
2
2
a
2
2
2
2
2
2
x
adx
x
a
lnx
x
a
C
2
a2
2
x
a
2
2
2
2
a
xdx
a
x
arcsin
C
三角函数的有理式积分:
u2
u2
2u
u2
1
1
x
2du
,cosx
,
tg,
2
sinx
u
dx
u2
1
1
精品学习资料
第1页,共14页
名师归纳总结
一些初等函数:
两个重要极限:
ex
x
sinx
x
e
2
e2
lim
x0
1
双曲正弦
:
shx
1)x
x
x
x
e
lim(1
x
e
2.718281828459045...
双曲余弦
:
chx
x
x
shx
chx
e
e
e
双曲正切
:
thx
ex
x
x2
x2
xx
1)
1)
arshx
archx
ln(x
ln(x1ln1
21
arthx
三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sin
cos
tg
ctg
-sinα
cosαcosαsinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
cosα
sinα
-tgα
ctgα
-ctgα
-tgαtgαctgα
-ctgα
-tgα
tgα
-ctgα
tgα
-tgα
-ctgαctgαtgα
-tgα
-ctgα
α
α
αα
-sin
-cos
-cos
-sin
sinα
cosα
cosα
α
α
sin
ctg
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(
cos(
)
)
sin
costg
cos
costg
tg
ctg
ctg
cos
sin
sin
sin
sin
sin
2sin
cos
2
2
sin
sin
2cos
sin
2
2
tg(
)
1
tg
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
2
2
ctg(
)
cos
cos
2sin
sin
2
2
精品学习资料
第2页,共14页
名师归纳总结
·倍角公式:
sin2
cos2
2sin
2
2cos
ctg2
2ctg2tg
1tg2
cos
1
1
4sin3
3cos
tg3
2
2sin
2
cos
2
sin
sin3
cos3
3sin
1
3
4cos
3tg
ctg2
tg3
2
1
3tg
tg2
·半角公式:
1
cos
2
coscos
a
sinA
1
cos
2
coscos
sin
cos
2
2
1
1
1
cos
sin
b
sin
cos
1
1
1
cos
sin
sin
cos
tg
ctg
2
1
2
1
c
sinC
c2
a2
b2
2R
·正弦定理:
2abcosC
·余弦定理:
sinB
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
·反三角函数性质:
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹(
)公式:
Leibniz
n
(uv)(n)
k
(nk)v(k)
Cu
n
k0
n(n1)
2!
n(n
1)
(n
k!
k
1)
(n)
(n1)
(n2)
(nk)(k)
(n)
uv
nu
v
u
v
u
v
uv
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)
F(a)
f(a)
f()(b
a)
f(b)
F(b)
f
F
(
(
)
)
拉格朗日中值定理。
柯西中值定理:
当F(x)
曲率:
x时,柯西中值定理就是
y2dx,其中y
弧微分公式:
ds
1
tg
平均曲率:
K
:
从M点到M
点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM
弧长。
.
s
y
d
ds
M点的曲率:
K
lim
s0
.
23
s
(1
y)
直线:
K
0;
1.
a
半径为a的圆:
K
精品学习资料
第3页,共14页
名师归纳总结
定积分的近似计算:
b
矩形法:
f(x)
ab
梯形法:
f(x)
a
b
b
a
(y0
y1
yn1)
n
b
a1
[(y0
yn)
y1
yn
1]
n2
b
a
抛物线法:
a
f(x)
[(y0
yn)
2(y2
y4
yn
2)
4(y1
y3
yn
1)]
3n
定积分应用相关公式:
功:
W
水压力:
F
F
s
p
A
m1m2
引力:
k为引力系数
F
k
2
r
b
1
函数的平均值:
y
f(x)dx
b
a
a
b
1
f2(t)dt
均方根:
b
a
a
空间解析几何和向量代数:
)2
)2
2
空间2点的距离:
d
MM
(x
x
(y
y
(z
z)
12
2
1
2
1
2
1
向量在轴上的投影:
是AB与u轴的夹角。
PrjuAB
AB
cos
Prju(a1
a2)
bcos
Prja1
axbx
Prja2
ayby
azbz,是一个数量
ab
a
azbz2
axbx
2
ayby
2
两向量之间的夹角:
cos
2
2
2
ax
ay
az
bx
by
bz
i
ax
bx
j
ay
by
k
az,cbz
.例:
线速度:
c
a
b
a
bsin
v
w
r.
ax
bxcx
ay
by
cy
az
bzcz
向量的混合积:
[abc]
为锐角时,
(a
b)
c
a
b
ccos
代表平行六面体的体积
。
精品学习资料
第4页,共14页
名师归纳总结
平面的方程:
1、点法式:
0,其中
A(x
x0)
By
yb
B(y
Cz
y0)C(z
z0)
n
{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
D
0
x
a
z
c
3、截距世方程:
1
Ax0By0Cz0
D
平面外任意一点到该平
面的距离:
d
2
2
2
A
B
C
x
yz
x0
y0z0
mt
ntpt
x
x0
m
yy0
n
zz0
p
空间直线的方程:
t,其中s
{m,n,p};参数方程:
二次曲面:
2
2
2
x
a
y
b
z
c
1、椭球面:
1
2
2
2
2
2
2、抛物面:
x
y
z(,
p,q同号)
2p
2q
3、双曲面:
2
2
2
x
a
y
b
y
z
c
z
单叶双曲面:
1
2
2
2
2
2
2
双叶双曲面:
x
(1马鞍面)
a2
b2
c2
多元函数微分法及应用
zdx
zdyy
udx
udy
udzz
全微分:
dz
du
x
x
x
y
全微分的近似计算:
多元复合函数的求导法
z
:
dz
fx(x,y)
fy(x,y)
y
dz
dt
z
uz
x
u
t
z
v
u
x
v
t
z
f[u(t),v(t)]
z
u
z
v
v
x
z
f[u(x,y),v(x,y)]
当u
u(x,y),v
v(x,y)时,
udx
udy
vdxx
vdyy
du
dv
x
y
隐函数的求导公式:
2
dy
dx
zx
Fx,
Fy
dy
Fx
Fy
Fx)Fy
dy
dx
隐函数F(x,y)
0,
)+
(
(
2
x
Fy
Fz
y
dx
zy
Fx
Fz
隐函数F(x,y,z)
0,
,
精品学习资料
第5页,共14页
名师归纳总结
F
uG
u
F
vG
v
F(x,y,u,v)
隐函数方程组:
G(x,y,u,v)
0
0
Fu
Gu
Fv
Gv
(F,G)
(u,v)
J
u
x
uy
1
J1
J
(F,G)
(x,v)
(F,G)
(y,v)
v
x
vy
1
J1
J
(F,G)
(u,x)
(F,G)
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
yz
(t)
(t)在点M(x(t)
xx0
(t0)
y
y0
(t0)
z
z0
(t0)
空间曲线
)处的切线方程:
y
z
000
在点M处的法平面方程:
(t0)(x
x0)
(t0)(y
y0)
Fy
Gy
(t0)(z
z0)
Fx
0
Fz
Gz
Fy
Gy
F(x,y,z)
G(x,y,z)
0
0
Fz
Gz
Fx
若空间曲线方程为:
则切向量
T
{
}
Gx
Gx
曲面F(x,y,z)
0上一点
M(x0,y0,z0),则:
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
1、过此点的法向量:
2、过此点的切平面方程
n
:
Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(y
y0)
Fz(x0,y0,z0)(z
z0)
0
x
x0
y
y0
z
z0
3、过此点的法线方程:
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
f
l
f
x
f
y
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向
l的方向导数为:
cos
sin
其中
为x轴到方向l的转角。
f
x
f
y
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)
i
j
:
f
l
它与方向导数的关系是
e,其中e
j,为l方向上的
gradf(x,y)
cos
i
sin
单位向量。
f
l
是gradf(x,y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
0,令:
fy(x0,y0)
fxx(x0,y0)
A,
fxy(x0,y0)
B,
fyy(x0,y0)
C
0,(x0,y0)为极大值
0,(x0,y0)为极小值
A
A
2
0时,
AC
B
2
B
2
B
则:
0时,
0时,
无极
不确定
值
AC
AC
精品学习资料
第6页,共14页
名师归纳总结
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
D
D
2
2
z
x
z
y
曲面z
f(x,y)的面积A
1
dxdy
D
x
(x,y)d
y
(x,y)d
M
M
M
M
y
x
平面薄片的重心:
D
D
x
y
(x,y)d
(x,y)d
D
D
2
2
平面薄片的转动惯量:
对于x轴I
对于
y轴I
y
(x,y)d
x
(x,y)d
x
y
D
D
平面薄片(位于
xoy平面)对
z轴上质点
0)的引力:
{Fx,Fy,Fz},其中:
M(0,0,a),(a
(x,y)yd
F
(x,y)xd
(x,y)xd
,
3
,
3
Fx
f
Fy
f
Fz
fa
3
a2)2
(x2
y2
a2)2
(x2
y2
a2)2
(x2
y2
D
D
D
柱面坐标和球面坐标:
xrcos
yrsin
柱面坐标:
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
z
z)
z
f(rcos
其中:
F(r,
rsin
z)
x
y
rsin
rsin
cos
sin
r2sin
球面坐标:
,
dv
rd
rsin
d
dr
drd
d
z
rcos
2
r(
)
F(r,
0
2
2
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
)rsin
drd
d
d
d
)rsin
dr
0
0
1
M
1
M
dv,
1
M
重心:
zdv,
其中
x
x
dv,
y
y
dv,
z
M
x
dv
2
2
2
2
2
2
转动惯量:
dv,
I
(y
z)
I
(x
z)
Iz
(x
y)
dv
x
y
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
x
y
(t)
(t)
设f
(x,y)在L上连续,
L的参数方程为:
),则:
(
t
x
t
(t)
2(t)
2(t)dt
特殊情况:
f(x,y)ds
f[
(t),
(t)]
(
)
y
L
精品学习资料
第7页,共14页
名师归纳总结
第二类曲线积分(对坐
标的曲线积分):
x
y
(t)
设L的参数方程为
,则:
(t)
P(x,y)dx
Q(x,y)dy
{P[
(t),
(t)]
(t)
Q[
(t),
(t)]
(t)}dt
L
两类曲线积分之间的关
系:
Pdx
L
的方向角。
)ds,其中
和分别为
Qdy
(Pcos
Qcos
L
L上积分起止点处切向量
Q
x
P
)dxdy
Q
x
P
)dxdy
y
格林公式:
D
Qdy格林公式:
D
(
Pdx
(
Pdx
Qdy
y
L
L
x,即:
Q
P
y
1
2L
当P
2时,得到D的面积:
A
y,Q
dxdy
xdy
ydx
x
D
·平面上曲线积分与路径
无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
Q=
x
P。
注意奇点,如
y
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数
,且
(0,0),应
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数的全微分求积
:
Q=
x
P时,Pdxy
(x,y)
P(x,y)dx
(x0,y0)
在
Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
Q(x,y)dy,通常设x0
0。
u(x,y)
y0
曲面积分:
2
2
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds
f[x,y,z(x,y)]
1
zx(x,y)
zy(x,y)dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分:
R(x,y,z)dxdy,其中:
P(x,y,z)dydz
Q(x,y,z)dzdx
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
号;
R(x,y,z)dxdy
Dxy
P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正
号;
P(x,y,z)dydz
Dyz
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
号。
Q(x,y,z)dzdx
Dzx
两类曲面积分之间的关
系:
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds
高斯公式:
精品学习资料
第8页,共14页
名师归纳总结
P
x
Q
y
R
z
(
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds
高斯公式的物理意义
—
Q
y
Ands
—通量与散度:
P
x
R,即:
单位体积内所产生z
散度:
的流体质量,若
0,则为消失
div
div
...
通量:
)ds,
A
nds
(Pcos
Qcos
Rcos
因此,高斯公式又可写
成:
divAdv
Ands
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
R
y
Q)dydzz
P
z
R)dzdxx
Q
x
P)dxdyy
cos
(
(
(
Pdx
Qdy
Rdz
dydz
dzdx
dxdy
cos
cos
上式左端又可写成:
x
P
y
Q
z
R
x
PP
z
y
Q
R,
x
z
R
关的条件:
R
y
k
Q,
z
Q
x
P
y
空间曲线积分与路径无
i
j
旋度:
rotA
x
P
y
Q
z
R
的环流量:
Pdx
向量场A沿有向闭曲线
Qdy
Rdz
A
tds
常数项级数:
n
1q
q2
qn1
等比数列:
1
q
1
1)n2
q
(n
等差数列:
1
2
3
n
1
2
1
3
1是发散的
n
调和级数:
1
级数审敛法:
精品学习资料
第9页,共14页
名师归纳总结
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法(柯西判
1时,级数收敛
1时,级数发散
1时,不确定
别法):
设:
un,则
lim
n
n
2、比值审敛法:
1时,级数收敛
1时,级数发散
1时,不确定
Un
lim
1,则
设:
U
n
n
3、定义法:
un;limsn存在,则收敛;否则发
散。
sn
u1
u2
n
交错级数u1
(或
0)的审敛法——莱布尼兹定理:
u2
u3u4
un
u1
u2
u3
un
un
1
如果交错级数满足
,那么级数收敛且其和
u1,其余项rn的绝对值
1。
s
rn
un
limun
0
n
绝对收敛与条件收敛:
,其中un为任意实数;
un
(1)u1
(2)u1
u2
u2
un
u3
如果
(2)收敛,则
如果
(2)发散,而
(1)肯定收敛,且称为绝对
收敛级数;
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
n
1发散,而
n
1
(1)
n
调和级数:
收敛;
级数:
收敛;
n2
p
p
1时发散
1时收敛
1
p
n
p级数:
幂级数:
精品学习资料
第10页,共14页
名师归纳总结
1
1时,收敛于
x
2
3
n
1
x
1
x
x
x
x
1时,发散
x
2
n
对于级数
,如果它不是仅在原点
R时收敛
收敛,也不是在全
(3)a0
a1x
a2x
anx
x
xx
数轴上都收敛,则必存
在R,使
R时发散,其中R称为收敛半径。
R时不定
1
0时,R
an
an
1
求收敛半径的方法:
设
,其中
an,an
是(3)的系数,则
1
0时,R
时,R
lim
n
0
函数展开成幂级数:
(n)
f(x0)
2!
f(x0)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全面 成考专升 公式 大全
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)