第三讲 空间点直线平面之间的位置关系学生版.docx
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第三讲空间点直线平面之间的位置关系学生版
第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系
考点一平面的基本性质
1、公理1
(l)自然语言:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
(2)图形语言:
如图所示.
(3)符号语言:
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α
l∈α。
(4)作用:
①检验一个面是否是平面的依据;②判断直线是否在平面内的依据;③判断点是否在平面内的依据。
2、公理2
(1)自然语言:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(2)图形语言:
如图所示。
(3)符号语言:
A,B,C不共线
有且只有一个平面a,使得A∈α,B∈α,C∈α。
(4)作用:
①确定一个平面的依据;②判断两个平面重合的依据;③证明点、线共面的依据。
由公理2,结合初中所学的“两点确定一条直线”,易得以下推论:
推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3、公理3
(1)自然语言:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该患的公共直线.
(2)图形语言:
如图所示.
(3)符号语言:
P∈α,且P∈β
α∩β=l,且P∈l
(4)作用:
①判断两个平面是否相交的依据;②可以找到两个平面的交线;③可以判定点在直线上。
题型一点、线、面的位置关系
1.证明点、线共面问题:
一般由公理2及三个推论先确一个平面,再证明点、线在该平面内;也可以确定两个平面,证明点、线分别在这两个平面内,最后用“有且只有”证明两个平面重合.
2.证明三点共线,一般先证明两点确定的直线是某两个相交平面的交线,再证第三个点也是上述两个相交平面的一个公共点.
3.证明三线共点的方法:
首先确定两直线交于一点,然后证明该点是这两条直线所在两个平面的公共点,且第三条直线是这两个平面的交线,从而该点在第三条直线上,即得三线共点.
典例1:
在空间中,可以确定一个平面的条件是()
A.两两相交的三条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条分别相交
C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点
典例2:
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是一直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC//AD且BC=
AD,BE∥AF且
,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)
证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,E,F四点是否共面?
为什么?
变式1:
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
考点二空间中直线间的位置关系
1、空间两直线的位置关系
注意:
(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交;
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
(3)异面直线不具有传递性,即若直线(a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.
2、异面直线所成的角
如图,直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,分别作直线a’∥a,b’∥b,相交直线a’,b’所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,则称这两条异面直线互相垂直。
注意:
异面直线所成的角的范围是(0,90°],所以垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.
3、公理4
平行于同一条直线的两条直线平行。
说明:
公理4也称为平行公理,表明空间的平行具有传递性,它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用.
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
说明:
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向都相反,那么这两个角相等.
题型二公理4及等角定理的应用
1、证明两直线平行,目前有两种途径:
一是应用公理4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,这是一种常用方法,要充分用好平面几何知识,如有中点时用中位线性质等;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点。
2、证明角相等:
一是用等角定理,二是用三角形全等或相似。
典例3:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,求证:
(1)EF平行且等于E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1。
典例4:
已知二面角α-l-β和α'-l'-β'中,有α∥α',β∥β'且同向,求证:
α-l-β和α'-l'-β'的大小相等。
变式2:
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,E1,F分别是棱AD,A1D1,BC的中点。
求证:
(1)E1C1平行等于AF;
(2)∠BEC=∠B1E1C1。
题型三异面直线的判断及其所称的角
1、判断两条直线是异面直线可以用定义法,若判断较难,可使用反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
2、求异面直线所成的角的一般步骤为:
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角
.
(3)结论——若0°<
≤90°,则
即所求;若90°<
<180°,则180°-
即所求。
典例5:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由。
典例6:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小。
变式3:
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()
考点三直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有以下三种:
直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l
α。
考点四两个平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
注意:
以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线,“两个平面”均指不重合的两个平面.
专题探究:
构造平面研究直线相交问题
典例:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有()条。
易混易错:
求解两条直线所成角问题概念不准确致误
典例:
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A做直线l,使l与棱AB,AD,AA1所称的角都相等,这样的直线l可以做()条
高考真题选粹
1、若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4。
,则下列结论一定正确的是()
A.l1∥l4B.l1⊥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定
2、若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4。
,则下列结论一定正确的是()
A.l1⊥l4B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定
3、设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面()
A.若m⊥n,n//α,则m⊥αB.若m//p,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥aD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥a
4、已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()
A.若m//α,n//α则m//nB.若m⊥α,n
α,则m⊥n
C.若m⊥a,m⊥n,则n//αD.若m//α,m⊥n,则n⊥α
5、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()
A.[
,1]B.[
,1]C.[
,
]D.[
,1]
6、在下列命题中,不是公理的是()
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
7、设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若α⊥β,m
α,n
β,则m⊥nB.若α∥β,m
α,n
β,则m//n
C.若m⊥n,m
α,n
β,则α⊥βD.若m⊥α,m//n,n//β,则α⊥β
8、设,n,n是两条不同的直线,a,p是两个不同的平面()
A、若m//α,n//α,则m//nB、若m//α,m∥β,则α//β
C、若m//n,m⊥α,则n⊥αD、若m//α,α⊥β,则m⊥β
9、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=()
10、如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角
的大小,若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tan
的最大值是()(仰角
为直线AP与平面ABC所成角)
11、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是()(写出所有正确命题的编号).
①当0 时,S为四边形;②当CQ= 时,S为等腰梯形; ③当CQ= 时,S与C1D1的交点R满足C1R= ;④当 ⑤当CQ=1时,s的面积为 基础题1、关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是() A.若a//α,b//α,则a//bB.若a//α,b⊥a,则b⊥α C.若a α,b α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a//β,则α⊥β 2、已知a,b,c为三条不同的直线,且a 平面α,b 平面β,α β=c给出下列命题: ①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交; ②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直; ③若a//b,则必有a//c; ④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β,其中正确命题的是() 3、已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是() A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成角为30°D.l与BD垂直 4、如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是侧BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是() 5、 如图8-3-21,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于() 6、 如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件()时,四边形EFGH为菱形;当AC,BD满足条件()时,四边形EFGH为正方形。 提升题1、如图,AB是⊙O的直径,VA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是() A.MN//ABB.MN与BC所成的角为45° C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC 2、对于平面α,β,γ和直线a,b,m,n,下列命题中的真命题是() A.若a⊥m,a⊥n,m α,n α,则a⊥α B.若a//b,b α,则a//α C.若α//β,α γ=a,β γ=b,则a//b D.若a B,b β,a//α,b//α,则β//a 3、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑、白二蚁都从点A出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”。 白蚁爬行的路线是AA1 A1D1 …,黑蚁爬行的路线是 AB BB1 …,它们都遵循如下规则: 所爬行的第i+2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N*).设黑、白二蚁走完第2014段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白蚁的距离是() 4、在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为() 5、如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,SA=SB=SC=4,平面DEFH分别与三棱锥S-ABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H,若直线SB//平面DEFH,直线AC//平面DEFH,则平面DEFH与平面SAC所成二面角(锐角)的余弦值等于()。
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