届山西省运城市高三上学期期末数学理试题解析版.docx
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届山西省运城市高三上学期期末数学理试题解析版
2020届山西省运城市高三上学期期末数学(理)试题
一、单选题
1•已知集合Mx|ylnx1,Py|yex,则mP()
A.B.RC.1,D.0,
【答案】D
【解析】分别化简集合M和P,再求交集即可•
【详解】
由题知:
Mx|x0,Py|y0,
由交集的运算知:
MIP(0,).
故选:
D
【点睛】
本题主要考查交集的运算,同时考查了函数的定义域和值域,属于简单题
2.已知复数z满足1iz4i(i为虚数单位),则Z()
A.22iB.22iC.12iD.12i
【答案】B
【解析】化简复数z旦,得到代数式z2i,再求共轭复数即可•
1i
【详解】
z4i(1i)44i2i
1i(1i)(1i)2.
z22i.
故选:
B
【点睛】
本题主要考查复数的除法以及共轭复数,同时考查了计算能力,属于简单题
rrrr、,丄
3.已知向量a1,2,向量b3,4,则向量a在b方向上的投影为()
A.1B.-1C.、、5D.魚
【答案】B
rr
rrab
【解析】根据向量a在b方向上的投影r,带入数值即可•
【详解】
向量a在b方向上的投影
(3)242i
故选:
B
【点睛】
本题主要考查向量的投影,
熟记公式是解决本题的关键,属于简单题
4•若过椭圆
2
—i内一点P(3,i)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为
4
().
A.3x
4y
13
0B.
3x4y50C.4x3yi50
D.
4x
3y90
【答案】
【解析】
设弦的两端点为
A(xi,yi),B(X2,y2),
P为AB中点得
X2
Yi
Y2
i6
4
2
2
X2
i6
4
2
2
B在椭圆上有
i
两式相减得
i
22
X-IX2
i6
(XiX2)(XiX2)
(Xi
X2)(X!
X2)
16
3(xiX2)
YiY20
2
yiy2
X2
Xi
3
4,且过点P(3,1),有y
|(x3)
4
整理得
3x4yi30.故选A.
点睛:
本题考查椭圆的中点弦问题;
中点弦问题是直线和圆锥曲线的位置关系中的典型
问题,其主要方法是点差法,可避免较复杂的运算量•点差法的主要步骤是:
(i)设点,
代入圆锥曲线的方程;
(2)
作差,利用平方差公式进行整理;
(3)得到直线的斜率和线
段中点坐标间的关系
(0,?
),则tan2
24
A.一
B.
2i
32
C.
56
27
【答案】A
第2页共2i页
【解析】
化简sin(—
2
)5,
得至Ucos
再带入
丄c2tan
tan22-
1tan2
即可•
【详解】
si%
)COS5,
因为
(0-),所以
2
tan
4
3•
tan2
2tan
24
3
24
1tan2
42
1(#
7•
3,又因为(0,—),得到tan-,
523
故选:
A
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系以及正切二倍角公式,熟记
6•在各项均为正数的等比数列
公式是解决本题的关键,属于简单题
{an}中,ai=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记Sn是数
列{an}的前n项和,贝US6=()
D.128
A.62B.64C.126
【答案】C
【解析】a2,a4+2,a5成等差数列,可得a?
+a5=2(a4+2),把已知代入解得q.再利用求
和公式即可得出.
【详解】
c_22-1
-S6==126.
2-1
设正数的等比数列{an}的公比为q>0,a1=2,Ta2,a4+2,a5成等差数列,•'•a2+a5=2(a4+2),•••2q+2q4=2(2q3+2),解得q=2.
故选C.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能
力,属于中档题.
7.我国著名数学家华罗庚先生曾说:
数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结
合百般好,隔裂分家万事休,在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数
的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,
如函数fx
4x1
图象大致是
A.
【答案】D
【解析】先有函数的奇偶性,可排除
A、B选项,
再取特值求得f(3),f(4),
根据函数
的单调性排除选项
C,可得答案.
【详解】
因为函数fx
4
x
4x1
f(x)
(x)4
1
f(x)
所以函数f(x)不是偶函数,图像不关于
y轴对称,
故排除
AB选项;
81
又因为f(3),f(4)
63255
256
f(3)
f(4),
而选项
C在x0是递增的,故排除
故选D
【点睛】
本题考查了函数的图像和性质,
利用性质取特值判断图像是解题的关键,
属于较为基础
8•已知实数a,b满足a1,
b1且logablogba
abba,则执行如图所
示的程序框图,输出是S(
B.
2
C.,3
D.3
【答案】C
【解析】首先化简
lOgab
当logab3时,解得
b
10
,得到:
3
.3
,当logab
3,3
logba
lOgab
1
时,
3
输出的为a,b中较小的数,所以
【详解】
10
因为logablogba—,所以
3
^ablogab
30.
解得:
1
logab一或logab3.
3
整理得:
3(logab)210logab
即:
balogab
b
a
logab.
b
a3
a
G
L'
当logab
3时,
b
3
b
3.3
a
1
1
b
a3
a
3.3
当logab
时
3时,
b
1
b
3
a
3
又因为abba,所以logaablogaba.
根据程序框图知:
输出的为
故答案为:
■.3
【点睛】
1
或logab3.根据abba得:
3
解得
10
3
a,b中较小的数,所以S,3.
a3f•根据程序框图知:
b.3
序框图中的条件结构,熟练掌握指数,对数的运算是解决本题的关键,属于中档题
cosx,3,设函数f
xmgn
u2r
9.已知向量msinx,cosx,n
F列关于函数fx的性质描述错误的是(
A.函数fX在区间
[,]上单调递增
122
B.函数fX图象关于直线x
7
对称
12
C.函数
fX在区间
[-,3]上单调递减
D.函数fX图象关于点
0)对称
【答案】
【解析】
首先化简f
xmgn
3
—,得到
2
f(x)
S^X3),依次判断选项即可
得到答案
【详解】
sinxcosx
、3cos'
1
sin2x
2
cos2x)'一3
2
sin(2x—).
A选项:
因为石
x「所以22x3E
则函数
fX在区间[―,—]上单调递增是正确的.
122
3
7
7
B选项:
f
12
sin(2
12
)sin
32
C选项:
因为_
x,所以0
2x—
6
3
3
函数f
X在区间[
冷上有增有减,所以C错误.
D选项:
:
f-
sin
(2)
sin0,故
1,故B正确.
D正确•
故选:
C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的单调区间和对称轴,
中心对称点,同时考查平面向量数量积
公式的应用,熟练掌握公式是解决本题的关键,
属于中档题
共21页
10•已知P,A,B,C,D是球O的球面上的五个点,四边形ABCD为梯形,AD//BC,
ABDCAD2,BCPA4,PA面ABCD,则球O的体积为()
A.64■2B.162C.162D.16
33
【答案】A
【解析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC中点E为底面梯形的外接圆圆
心,根据球的性质可知OE平面ABCD,利用勾股定理构造出关于OE和球的半径R
的方程,解方程求得R,代入球的体积公式可求得结果•
【详解】
取BC中点E,连接AE,DE,BD
1
QAD//BC且ADBCEC
2
1
AEDC,又DC-BC2
AEDEBEEC
E为四边形ABCD的外接圆圆心
四边形ADCE为平行四边形
1DE-BC
2
设O为外接球的球心,由球的性质可知
OE平面ABCD
作OFPA,垂足为F四边形AEOF为矩形,OFAE2
设AFx,OPOAR
则44x24x2,解得:
x2R4422
球O的体积:
V彳R3642
33
本题正确选项:
A
【点睛】
本题考查棱锥外接球体积的求解问题,关键是能够明确外接球球心的位置,主要是根据
球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质,通过勾股定理构造方程求得结果•
2
11•已知Fi,F2为椭圆y21的左、右焦点,P是椭圆上异于顶点的任意一点,
4
点Q是F1PF2内切圆的圆心,过Fi作FiM
PQ于M,0为坐标原点,则丨°M丨的
取值范围为()
D.0,2.3
A.0,1B.0,2C.0,-3
【答案】C
【解析】
首先延长PF2,F1M交于N点,连接OM,根据题意得到
OM
11
-F2N-(PNPF2)
22
1(|PF1IPF2I)1卩汀2|cJ3.得OM的取值范围是:
(0,近).
【详解】
因为点Q是F1PF2内切圆的圆心,
所以PQ平分F1PF2.
因为F1MPQ,所以PNPF1M为F1N的中点.
又因为O为F1F2的中点,
11
所以OM—F2N-(PNPF2)
22
AA
-(PF1PF2)-IF1F2cV3.
22
所以OM的取值范围是:
(0,J3).
故选:
C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义,同时考查了三角形内切圆的性质,属于难题
12.如果函数fx的导函数为f'x,在区间a,b上存在治,x2(a为x?
b),
使得f'(xj
f(b)f(a),佗)
中值函数”.已知函数g
丄^一f(a),则称fx为区间a,b上的“双ba
m2
x
2
是区间0,2上的“双中值函数”
,则实数
m的取值范围是(
48
A.[—,]
33
【答案】
B.
(3,3)
D.(
【解析】
首先求导,
由题知满足满足:
m.等价
于:
方程
2
xmx
4
m0在(0,2)上有两个不相等的根,利用二次函数的性质即可
3
求出m的范围.
【详解】
由题知:
x2
mx在区间
0,2上存在花,
x2(0x|x22)
满足:
gx1
gX2
等价于:
方程
x2mx
0在(0,2)上有两个不相等的根•
故选:
【点睛】
4(m)
m
2
4
3
2m
本题主要考查了新函数的定义,
同时考查了二次函数的性质,等价转化是解决本题的关
键,属于难题•
二、填空题
13.已知fxInx2xf'1
(其中f'表示fx的导函数),则
3
【答案】3
2
1
【解析】首先fx-2f1,将x1带入求出f11,即可求出
x
1
fx2,再求f2即可•
x
【详解】
1
fx-2f1.
x
令x1,得:
f112f1,解得:
f11.
113
所以fx—2f2—2-
x'22'
3
故答案为:
3
2
【点睛】
本题主要考查导数的求导公式,熟记求导公式是解题的关键,属于简单题
14.已知平面四边形ABCD中,BAD120,BCD60,ABAD2,则
AC的最大值为.
【答案】4
【解析】由题知:
四边形ABCD为圆内接四边形,AC的最大值为四边形外接圆的直
径,由正弦定理即可求出AC的最大值•
【详解】
因为BAD120,BCD60,所以
故AC的最大值为四边形外接圆的直径•
当AC为四边形外接圆的直径时,
得到:
ADCABC90,又因为ABAD2,BCD60,所以ACDACB30.
在VABC中,由正弦定理得:
,解得:
AC4.sin30
4
AC
sin90
故答案为:
【点睛】
本题主要考查正弦定理得应用,判断四边形
ABCD为圆内接四边形是解题的关键,属
15.已知数列an为正项的递增等比数列,
aia5
82,a2ga4
81,记数列
an
前n项和为Tn,则使不等式
2020丘
3
an
1|
1成立的最大正整数
n的值是
【答案】
【解析】
根据
a1a582
a2a4
a1a5
81,求得
81
an
n11
3.再求出Tn3(1-),带
3
入不等式
2020|丄人
3n
1
an
1|1,解不等式即可•
【详解】
因为数列
an为正项的递增等比数列,
a1a582
aQ5
81,解得
a1a581
3(1
2020|丄人—1|1
3an
11
202011戶盯11
于中档题•
整理得:
3n8080.
使不等式成立的最大整数n为8.
故答案为:
8
【点睛】
同时考查了学生的计算能力,属于
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和,中档题.
11
16.若mxm(其中m为整数),则称m是离实数x最近的整数,记作
22
xm.下列关于函数fx|xx|的命题中,正确命题的序号是
1
1函数yfx的定义域为R,值域为[0,—];
2
2函数yfx是奇函数;
k
3函数yfx的图象关于直线x(kZ)对称;
2
4函数yfx是周期函数,最小正周期为1;
⑤函数y
11
x在区间[—,—]上是增函数
22
【解析】首先得到
【答案】①③④
x|xx||xm|,画出fx的图像即可找到正确的命题
由图像知:
【详解】
由题知:
:
f
x|
xx|
|xm|
当
m
0时,
1
1
x-
,fx|
x|,
2
2
当
m
1时,
1
3
x
fx|x
1|,
2
2
当
m
2时,
3
5
x
fx|x
2|,
2
2
1
函数yfx的定义域为R,值域为[0,—],偶函数;
2
k
图象关于直线x(kZ)对称;周期为1;
2
11
在区间[形]上的单调性是先减后增故①③④正确故答案为:
①③④
【点睛】本题时新函数定义问题,考查函数的性质,画出图像为解题关键,考查了学生的数形结
合的能力,属于难题•三、解答题
17•在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a8,ccosAcosB2asinCcosBccosC.
(1)求tanB的值;
(2)若
uuuuuu,亠
ABgCB16,求b的值.
【答案】
(1)2
(2)2-、13
【解析】
(1)由正弦定理知:
a2RsinA,c2RsinC化简
ccosAcosB
2asinCcosB
ccosC得2sinAcosBsinAsinB,
即tanB2.
(2)由
tanB
2得到cosB
、5uuuuuu
因为ABgCB16,a8,解得
c2、.5,代入
b2a2
2accosB即可.
ttanB2•-cosB~—
5
又•••
uuuuuu
ABgDB16
【详解】
由正弦定理知:
a2RsinA,
c2RsinC
•-sinCcosAcosB2sinAsinCcosBsinCcosC
又TsinC0
•cosAcosB
2sinAcosB
cosC
•cosAcosB
2sinAcosB
cosAB
•-cosAcosB
2sinAcosB
cosAcosBsinAsinB
•2sinAcosB
sinAsinB
又•••sinA0•
tanB2
(1):
ccosAcosB2asinCcosBccosC
(2)
二accosB16又ta8
•••c2、、5
•••由余弦定理知,b2a2c22accosB8220282J5丄52•••b2、13
【点睛】
本题第一问考查了正弦定理和两角和差公式,第二问考查了向量的数量积运算和余弦定
义,同时考查了学生的计算能力,属于中档题
18•在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,CF
平面ABCD,
CFPDE,
ABCF2DE2,G为BF的中点•
(1)求证:
CGAF;
(2)求平面
BCF与平面AEF所成角的正弦值•
【答案】
(1)
证明见解析(
【解析】
首先证明CG
AB,CGBF,ABIBF
平面ABF•
即可得到
AF
平面ABF
CGAF.
(2)以
D为坐标原点,DA
DC,DE所在的直线分别为
x轴、y轴、
z轴建立空
间直角坐标系,分别求出平面
AEF和平面BCF的法向量,带入公式求解即可
【详解】
(1):
CF平面ABCD,
ABi平面ABCD,•CFAB.
又•••四边形ABCD是正方形,
•ABBC.
•••BCICFC,•AB平面BCF•
•/CG平面BCF,•CGAB.
BF.
又•••BCCF2,G为BF的中点,•CG
•/ABIBF
•••AF
平面
ABF,•CGAF.
(2)vCF
平面ABCD,CFPDE,•DE
平面ABCD.
以D为坐标原点,DA,DC,DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
坐标系•
E0,0,1F0,2,2.
uuu
AE
uuuuur
2,0,1,EF0,2,1,DC0,2,0.
viuv
nAE0vuuv
riEF0
nx,y,z为平面AEF的法向量,
2xz0
,得,
2yz0
1,1,2.
uur
由题意知DC
0,2,0为平面BCF的一个法向量,
rumr二cosn,DC
rujir-
ngDC2、6
-rutu^
|n||DC|626
•••平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为j(,6)2
230
6
【点睛】
本题第一问考查线线垂直,先证线面垂直时解题关键,第二问考查二面角,
建立空间直
角坐标系是解题关键,属于中档题
(I)求数列
3n
的通项公式;
(n)设数列
bn
的前n项和为Tn,且TnSn10,求数列bn的前n项和R.
2
n18n10,1n9
【答案】(I)
3n
2n19;(n)Rn2
n18n152,n10
19•设Sn为等差数列an的前n项和,且3215,Ss65.
【解析】(I)将a2和Ss利用a1和d来表示,构造方程组解得印和d,根据等差数列
通项公式求得结果;(n)由等差数列前n项和公式求得Sn,可得到Tn,根据DT1和
bn0,从而可得:
Tn;
n>10时Rn
Tn
2Tg,从而求得结果•
【详解】
a2
ai
d15
解得:
Tn
设等差数列
an的公差为
则:
S5
5a1
65
(i)得:
2
n218n
an
Sn
10
1时,b!
T17
时,bn
17
2n
19
经验证b17
bn
当1 bn0 当1 当n>10时, 综上所述: Rn 【点睛】 na1 2 an 18n TnTn1 7,n 2n19,n 2n 19 当n>10时,bn b1 b2 b2 bn n218n10 b2 bn b2 b9 bn b2 b10 bn Tn2T9 n218n152 n218n n218n 10,1n! 152,n10 本题考查等差数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前 n项和的求解 •求解含绝对值 的数列的前n项和的关键是判断出数列中各项的符号, 从而可去掉绝对值符旦 ■号, 将问题 转变为普通数列前n项和的求解. 20.已知函数f(x)exsinx. ⑴求函数f(x)的单调区间; ⑵如果对于任意的x[0,_],f(x)kx总成立,求实数k的取值范围• 2 3 【答案】 (1)f(x)的单调递增区间为(2k—,2k),单调递减区间为 44 27 (2k—,2k—)(kZ); (2)(,1] 34 【解析】【详解】试题分析: ⑴求出函数的导数令其大于零得增区间,令其小于零得减函数;⑵令g(x)f(x)kxexsinxkx,要使f(x)kx总成立,只需x[0,才时 g(x)min0,对-二讨论,利用导数求的最小值. 试题解析: ⑴由于f(x)exsinx,所以 f'(x)exsinxexcosxex(sinxcosx)V2exsin(x—). kx总成立,只需x[0,-]时 4 当x (2k 2k) ,即x (
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