勾股定理竞赛培训题含答案.docx
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勾股定理竞赛培训题含答案
勾股定理竞赛培训题
1、如图〔,△ABC和厶CDE都是等腰直角三角形,/C=90°将厶CDE绕点C逆时针旋转一个角度口(O°VaV90°),使点A,D,E在同一直线上,连接AD,BE.
(1[①依题意补全图2;
2求证:
AD=BE且AD丄BE
3作CMLDE,垂足为M,请用等式表示岀线段CM,AE,BE之间的数量关系;
(2)如图3,正方形ABCD边长为「,若点P满足PD=1,且/BPD=90,请直接写岀点A
到BP的距离.
2、
(1)问题发现:
如图〔,△ACB^HADCE匀为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE易证△BCE^AACD则
①/BEC=°;②线段ADBE之间的数量关系是
(2)拓展研究:
如图2,^ACB^H^DCE匀为等腰三角形,且/ACB=ZDCE=90°,点ADE在同一直线上,若AE=15,DE=7,求AB的长度.
(3)探究发现:
如图3,P为等边△ABC内一点,且/APC=150°,且/APD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求
BD的长.
3、如图〔,△ABC中,CDLAB于D,且BD:
ADCD=23:
4,
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S“BC=10cm2,如图2,动点M从点B岀发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A岀发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停
止•设点M运动的时间为t(秒),
1若△DMN的边与BC平行,求t的值;
2
若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?
若能,求岀t的值;若不能,请说明理由.
4、已知,△ABC中,AC=BC/ACB=90°,D为AB的中点,若E在直线AC上任意一点,DF丄DE交直线BC于F点.G为EF的中点,延长CG交AB于点H.
(1)若E在边AC上.
1试说明DE=DF
2试说明CG=GH
(2)若AE=3,CH=5.求边AC的长.
20
5、如图①,在矩形ABCDKAB=5,AD=3,AELBD垂足是E.点F是点E关于AB的对称
点,连结AF,BF
⑵若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)•当点F分别平移到线段AB,AD上时,直接写岀相应的m的值.
⑶如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0° 若存在,求岀此时DQ勺长;若不存在,请说明理由. 参考答案 1、【分析】 (1)①根据旋转的特性画岀图象;②由/ACD/BCE匀与/DCB互余可得岀/ACD=/BCE由厶ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得岀AC=BCDC=EC结合全等三角形的判定定 理SAS即可得岀厶ADC^^BEC,从而得岀AD=BE再由/BCE=ZADC=135,/CED=45即可得 岀/AEB=90°,即证岀AD丄BE③依照题意画岀图形,根据组合图形的面积为两个三角形的面 积和可用AE,BE去表示CM (2)根据题意画岀图形,比照 (1)③的结论,套入数据即可得岀结论. 【解答】解: (1)①依照题意补全图2,如下图 (一)所示. ②证明: J/ACD^DCB=ACB=90,/BCE^DCB=DCE=90,•••/ACD=/BCE•/△ABC和厶CDE都是等腰直角三角形,二AC=BCDC=EC [AC=BC Zaci>Zbce 在厶ADC和厶BEC中,有 DC^EC •••△ADC^ABEC(SAS,•AD=BE/BEC=/ADC •••点A,D,E在同一直线上,△CDE是等腰直角三角形, •••/CDE=/CED=45,/ADC=180-/CDE=135, •••/AEB=/BEC-/CED=135-45°=90°,二AD丄BE. ③依照题意画岀图形,如图 (二)所示. 闫丄4 即2AC? BC+龙BE7CM戈AE(CM+BE,: AC2-AE? BE=CIM(AE—BE) •/△CDE为等腰直角三角形,•DE=2CM•AE-BE=2CM (2)依照题意画岀图形(三) 由勾股定理得: BP^=3. 结合 (1)③的结论可知: EP'DP百亠_竺1 AM===1. 故点A到BP的距离为1. 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以 及勾股定理,解题的关键: (1)①结合题意画岀图形;②找岀△ADC^ABEC;③利用分割法求组合图形的面积; (2)利用类比法借助 (1)③的算式求岀结论•本题属于中档题, (1)①② 难度不大;③难度不小,此处用到了分割组合图形求面积来找等式,该小问处切记线段AC当成 已知量; (2)利用类比的方法套入 (1)③的算式即可•解决该题型题目时,画岀图形,注意数形结合是关键. 2、.解: (1)①120°2分,②AD=BE4分 ■/AACB和adce均为等髓肓角三蒔務, ACA-CB・CD=CE^ZACB=ZDCE=^,J. MDCE为够fit肓角三*翻* -ZCDE=ZCED=45*- VSA■EHE在同一冒纸上, AZ.WC-I3S6. ■'-ZBEC=1站: ・ /-ZAEB=ZBEC-ZCED=90i. (3)如下图所示 由 (2)知厶BE3AAPC,•••BE=AP=5,/BEC=ZAPC=150•••/APD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,/APD=30,/EPC=60°, •••/BED=/BEC-ZPEC=90,/DPC=120 又•••/DPE=ZDPCVZEPC=120°+60°=180°,即卩DP、E在同一条直线上 •DE=DP+PE=8+4=12BE=5, BD=JQ矿+加=屁+竽=13 •BD的长为13 3、【考点】三角形综合题. 【分析】 (1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,根据勾股定理求岀AC根据等腰三角形的判定定理解答; (2)根据三角形的面积公式求岀三角形的三边长,根据等腰三角形的性质列式计算即可; (3)分DE=DMED=EMMD=M三种情况,根据等腰三角形的性质解答. 【解答】解: (1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x, •AB=ACABC是等腰三角形; I1J (2)Smbc=x5xx4x=10cm,解得,x=1cm,贝UBD=2crr)AD=3crgCD=4crr)AC=5crg 1当MN/BC时,AM=AN即5-t=t,•t=2.5,当DN//BC时,AD=ANJ 则t=3,故若△DMN勺边与BC平行时,t值为2.5或3. 2当点M在BD上,即0WtV2时,△MDE为钝角三角形,但DMkDE, 当t=2时,点M运动到点D,不构成三角形, 当点M在DA上,即2Vt<5时,△MDE为等腰三角形,有3种可能. 如果DE=DM则t-2=2.5,•t=4.5,如果ED=EM则点M运动到点A, •t=5,如果MD=ME=b2,贝U(t—2)2—(t—3.5)2=22,•t=' 综上所述,符合要求的t值为4.5或5或’ 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用,掌 握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 4、【考点】全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理. 【分析】 (1)①连接CD推岀CD=AD/CDF=/ADE/A=/DCB证厶ADE^^CDF即可;②连接DG根据直角三角形斜边上中线求岀CG=EG=GF=DG推岀/GCD/GDC推岀/GDH/GHD推岀DG=Gh即可; (2)求岀EF=5,根据勾股定理求岀EC,即可得岀答案. 【解答】解: (1)①连接CD AHD3 •••/ACB=90°,D为AB的中点,AC=BC二CD=AD=BD又丁AC=BC二CD丄AB, •••/EDA+/EDC=90,/DCF=/DAE=45,•/DF丄DE, •••/EDF=/EDC/CDF=90,ADE=/CDF在厶人。 £和厶CDF中 rZA=ZDCFAD—CD •••△ADE^ACDIF ②连接DG•••/ACB=90,G为EF的中点,•CG=EG=FG •••/EDF=90°,G为EF的中点,•DG=EG=FG•-CG=DG •/GCD=/CDG又JCD! AB,•/CDH=90,•/GHD/GCD=90,/HDG/GDC=90, •••/GHDNHDG二GH=GD「.CG=GH (2)如图,当E在线段AC上时, •/CG=GH=EG=(3F/.CH=EF=5•••△ADE^ACDF•AE=CF=3 •••在Rt△ECF中,由勾股定理得: •AC=AE+EC=3+4=7如图,当E在线段CA延长线时, AC=EC-AE=4-3=1,综合上述AC=7或1. 20 5、解: ⑴在Rt△ABD中,AB=5,ACk-,由勾股定理, 251.1^丿別门~25 =-.TSaabd=戈BD-AEk戈AB-AD•AEk=4. 在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理,得BE=3. (第27题图解①) (2)设平移中的三角形为△AB'F',如解图①所示•由对称点性质可知,/1=Z2. 由平移性质可知,AB//AB',/4=Z5=Z1,B'F'=BF=3. 1当点F'落在AB上时,TAB//AB',a/3=/4,二/3=/1=/2, BB'=B,F'=3,即m=3; 2当点F'落在AD上时,TAB//AB',./6=/2. •••/1=/2,/5=/1,./5=/6.又易知AB'丄AD •••△B'F'D为等腰三角形,.B'D=B'F'=3, 25161616 •BB'=BD-B'D=「一3=二,即卩m=.m=3或匚(对一个得2分) ⑶存在•理由如下: 在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形: ①如解■图②所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ易知/2=2/Q. (第27题图解②) t/1=/3+/Q,/1=/2,./3=/Q•AQ=A'B=5, •F'Q=F'A'+A'Q=4+5=9. 在Rt△BF'Q中,由勾股定理,得BQ==—「=3门 (第27题图解③)•••DQ=BQ-BD=3 ②如解图③所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ易知/2=ZP. •••/1=Z2,二/1=Z巳二BAIIPD则此时点A落在BC边上. •••/3=Z2,二/3=Z1,二BQ=AQ,「.F'Q=F'A'—AQ=4-BQ 在Rt△BQF中,由勾股定理,得BF'2+F'Q=BQ, 252525125 即32+(4—BQ2=BQ,解得BQ=I.•DQ=BD-BQ=二一^=> ③如解图④所示,点Q落在BD上,且PD=DQ易知/3=Z4. (第27题图解④)J/2+/3+/4=180°,/3=24,•/4=90°一-/2. •••/1=/2,•/4=90°—二/1.•/AQB=/4=90°—二/1, •/A'BQ=180°—/AQB-/1=90°—】/1,•/A'QB=/ABQ •-A'Q=AB=5,「.F'Q=A'Q-A'F'=5—4=1. 在Rt△BFQ中,由勾股定理,得BQ= 25 二DC^BD—BC^ ④如解图⑤所示,点Q落在BD上,且PQ=PD易知/2=23. (第27题图解⑤)J/1=22,23=24,22=23, 2510 •••/1=24,二BC=BA=5,二DC=BD—BC=—5=- DQ的长度分别为3/ 综上所述,存在4组符合条件的点P,Q使厶DPQ为等腰三角形,其中 251252510 —T玄行—质或乜
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