普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试.模拟信息卷
数学(文科)教师用卷
考试时间120分钟满分150分
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1.已知i是虚数单位,
1
若复数(a
i)(2
A.2B.
C.
i)是纯虚数,则实数a等于
^D.
2
【答案】C
【解析】(a
i)(2
i)
2a
ai
2i
(2a)i
(12a),他为纯虚数,所以实部为零,即
1+2a=0,所以
a=
2.已知a3
Iog21,c
吨,则。
(A)ab
c(B)
(C)cba(D)
cab
【答案】D
【解析】
1
Q0<33
小1
Qlog2-
0,log
a
1
1_
23
1log1-22
3•己知命题“xR,使2x2(a2)x10”是假命题,则实数a的取值范围是
A.(,2戶卜2,6]C.©)D.(-2,6)
【答案】B
【解析】命题“xR,使2x2(a2)x0"的否定为
“xR,使2x2(a2)x1°”二次函数开口向上,要使它大于0恒成立,只需要0,
即(a2)242a24a12(a6)(a2)0,2a6
(C)
【答案】C
1
【解析】:
当俯视图为A时,几何体为正方体,体积为1,现体积为2,所以几何体为正方体的一半,选C
5.下列命题中,m,n表示两条不同的直线,,,表示三个不同的平面.
1若m,nP,则mn;②若,,则P;
③若mP,mP,则mPn;④若P,P,m则m
则正确的命题是
A.①③B•②③C•①④D.②④
【答案】C
【解析】①若若m,nP,则mn,正确
2若,,则P;不正确,,可以相交,如长方体中
3若mP,mP,则mPn不正确m,n可以平行,异面,相交
4若P,P,m则m,P,P,贝UP,又因为m所以m,正确
6.函数f(x)Asin(x)(其中A>0,||—)的图象如图所示,为了得到f(x)的图
2
象,则只需将g(x)sin2x的图象
A.向右平移—个长度单位
6
B.向左平移—个长度单位
6
C.向右平移一个长度单位
3
D.向左平移一个长度单位
3
【答案】B
【解析】有图可得‘AH,34T
rrr
7.iai=i,ib=,2,5:
当〔a-xb|取得最小值时,实数x的值为()
11
A.1B.2C.D.-
24
【答案】C
【解析】:
由题意可知:
rr2r2r2rr2o
|a-xbp=a+(xb)-2xag)=1+2x-2x仓巾•2?
cos45
2121
=2x1-2x+1=2(x-丄)2+
22
【解析】因为当x0的时候,f(x)f(x1),所以所有大于等于0的x代入得到的f(x)相当于在[—1,0)重复的周期函数,
22
x[1,0)时,yaX2x1a(x1),对称轴x=-1,顶点(—1,1+a)
(1)如果av—1,函数yf(x)x至多有2个不同的零点;
(2)如果a=—1,则y有一个零点在区间(一1,0),有一个零点在(,1),一个零点是原点;
(3)如果a>—1,则有一个零点在(,1),y右边有两个零点,
故实数a的取值范围是[1,)
故选C.
10.给出下列命题:
(1)某班级一共有53名同学,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知8号,34号,47号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为22号;
(2)一组数据1,2,3,3,4,,5的平均数、众数、中位数都相同;
(3)—组数据为a,0,1,2,3,若改组数据的平均值为1,则样本标准差为2;
(4)根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
y?
=a+bx中,b=2,x=1,y=3,则a=1;
其中真命题为:
A
(1)
(2)B
(2)(3)C
(2)⑷D(3)⑷
【答案】D
【解析】系统抽样抽得的号码成等差数列,故
(1)为假命题;由定义知
(2)为真命题;由a,0,1,2,
11.若函数fx
3,的平均值为1可求得a=-1,故样本方差为2,标准差为,2,(3)位假命题;根据定义回归直线过样本中心,带入可求得a=1,所以(4)为真命题。
【答案】C
【解析】作出函数f(x)=2x+3x+1,(x<0)的图像,当a<0时,f(x)=eax在(0,+)为减
2a11
函数,f
(2)=e<2,a<空1n2,a€-,-in212.已知函数f(x)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围为()
A(-1,2)B(-
【答案】B.
3)?
(6.?
)C(-3,6)D(-?
1)?
(2?
)
【解析】f(x)=3x2+2ax+a+6,由题意可得D=4a2-12(a+6)>0,解得a的取值范围为(-?
3)?
(6.?
)。
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共20分.)
13.已知数列1,a1,a2,8是等差数列,数列146^3,16是等比数列,则一^的值
a〔a?
为.
3
【答案】10
【解析】Q1,a1@,8a1a2189,Q1,b1,b>,b3,16
x0,
14.若关于x,y的不等式组yx,(k是常数)所表示的平面区域的边界是一个
kxy10
直角三角形,贝Uk.
【答案】-1或0
【解析】作出不等式组
x
0,
y
x,表示的区域如下图所示,由图可知,要使平面区域的边界是
kx
y10
一个直角三角形,则k
0或
1.
【答案】4
①函数y=f(x)的定义域是R,值域是(Eg];成立,
uur
uun
uuuuuu1uuuAPCA-AB
uuu
1uuu(CB
uuu
2uuu
1uuu
」CB,再利用
CP
CA
CA
CA)
—CA
3
3
3
3
uur
uuu
0,又根据CA
CB
CA
CB
2,因此
【解析】:
由于点P是斜边AB上的一个三等分点,不妨设
ACB90°,于是
k
2函数y=f(x)的图像关于点(—,0)(k€Z)对称;不成立,
2
3函数y=f(x)是周期函数,最小正周期是1;成立,
4函数y=f(x)在卜1,*]上是增函数;不成立,三、解答题(本大题共6小题,共70分.)
17.(本小题满分12分)
某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试,其中数学成绩如下表所
数学成绩分组
[50,70)
[70,90)
[90,110)
[110,130)
[130,150]
人数
60
x
400
360
100
(I)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层抽样的
方法抽取100名同学进行问卷调查.甲同学在本次测试中数学成绩为75分,求他被抽中的概率;
(H)年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数;
(III)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分.
1
样本容量
总体中个体总数,
【答案】(I)P=10,(n)80,(III)107.2
【解析】(I)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为:
1
故甲同学被抽到的概率P=4分
(n)由题意得x=1000—(60+400+360+100)=80.6分
设估计“数学学困生”人数为m
1
m608080.
4
故估计该中学“数学学困生”人数为80人8分
(III)该学校本次考试的数学平均分.
-60608080100400120360140100
x107.2
1000
估计该学校本次考试的数学平均分为107.2分.12分
18.(本小题满分12分)
若盒中装有同一型号的灯泡共10只,其中有8只合格品,2只次品。
(I)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次,每次取一只灯泡,求2次取到次
品的概率;
求成功更换
(U)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),会议室的已坏灯泡所用灯泡只数x的分布列和数学期望。
I答案】H,EX£
【解析】
20.(本小题满分12分)
22
已知椭圆C:
笃爲1(ab0)的两焦点在x轴上,且两焦点与短轴的一个顶点的连ab
线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
(I)求椭圆的方程;
1
(n)过点S(0,-)的动直线丨交椭圆C于AB两点,试问:
在坐标平面上是否存在一3
个定点Q使得以AB为直径的圆恒过点Q?
若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明
理由。
2
【答案】—y21,Q(0,1)
2
【解析】(I)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,bc
又斜边长为2,即2c2故a.2c2,
2
椭圆方程为—y21(4分)
2
(n)当丨与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2(y-)2兰;
39
当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2y21
下证明Q(0,1)为所求:
1
若直线I斜率不存在,上述已经证明•设直线l:
ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),
3
kx
2222
(918k)x12kx160,144k64(918k)0,
x22y220
(12分)
uuruuu
QAQB,即以AB为直径的圆恒过点Q(0,1).
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)ex(sinxcosx)a(a为常数).
(i)已知a3,求曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(川)设g(x)(a2a10)ex,若存在X1,x2[0,],使得f(xjg(x2)13成立,求实数a的取值范围.
【答案】2xy20,[ea,e2a],1a3
【解析】(i)f(x)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx1分
f(0)2,f(0)22分
切线方程为:
y22(x0),即2xy20为所求的切线方程.……3分
(n)由f(x)2excosx0,得0x—.,f(x)2excosx0,得一x.
(n)当0x时,求f(x)的值域;
22
yf(x)在[0,上单调递增,在[?
]上单调递减.4分
ymaxf(?
)卩a5分
f(0)1a,f()eaf(0),yminf()ea,6分
f(x)的值域为[ea,e2a]7分
2
(川)Qaa100,g(x)在[0,]是增函数,
22
g(0)aa10,g()(aa10)e,
29
g(x)的值域为[aa10,(aa10)e].9分
Qa2a10(e2a)(a1)2(9e2)010分
依题意,a2a10(e2a)13e2,11分
即a22a30,1a312分
22.(本小题满分10分)
如图,AB是OO的直径,AC是弦,/BAC的平分线AD交OO于D,DEAC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:
DE是OO的切线;
AC3亠AF砧/古
(2)若,求的值.
AB5DF
【答案】
(1)略;
(2)
【解析】证明:
(1)连接
OD/AE3
又AE1DE,•••ODLDE
•••DE是OO的切线.5
(H)过D作DH±AB于H,
OD可得/ODAMOAD2DAC分
则有/DOHMCAB
AC3
•cosDOHcosCABAB5
设OD=5x贝UAB=10x,OH=3x,OD=5x
2
•AH=8x,AD由厶ADE^AADH
•AE=8x
80x2
可得AH=AE=8x
AF
DF
[由厶ADE^AADB可得AD
又厶AEF^AODF,
AE8
DO5
2AEABAE10x
10
/•AE=8x
AF
又厶AEF^AODF-
DF
AE
DO
10
23.(10分)已知曲线G的参数方程是
y
2cos
3sin
原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
点都在C2上,且A、BC、D依逆时针次序排列,点
⑴求点AB、C、D的直角坐标;
2
⑵设P为G上任意一点,求|PA|
2
|PB|
【答案】
(1)A(1,3),B(..3,1),C(
iT
C2的极坐标方程是
A的极坐标为(2,),
3
2,正方形ABCD勺顶
22
|PC||PDI的取值范围.
1,3),D(3,1);
(2)32,52
A(2cos—,2sin_),B(2cos
33
C(2cos—
3
2sin—
3
),D(2cos——,2sin
32
即A(1<,3),B(
1,
.3),DG.3,1)
⑵设P(2cos
3sin)
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=32+20sin2
32,52
•••0 设函数fX 值范围 若a>1,fx 2xa1,x1 a1,1pxpa,f(x)的最小值a-1. 2xa1,xa 所以对于任意x€R,f(x)>2的充要条件是|a-1|>2,从而a的取值范围(-^,-1]U[3,+^).解析二 (1)同上; (2)根据不等式的几何性质,所以对于xR,f(x)2的充要条件是fxx1xa表 示点x到1和a两点的距离之和。 •••f(x)的最小值为|a-1|,所以对于xR,f(x)2的 充要条件是|a-1|>2,解得a>3或a<-1.
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