江苏省宿迁市沭阳县学年八年级上学期期中数学试题.docx
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江苏省宿迁市沭阳县学年八年级上学期期中数学试题
江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.等腰三角形两边长分别为4,8,则它的周长为()
A.20B.16C.20或16D.不能确定
2.△ABC中,AB=AC,顶角是120°,则一个底角等于( )
A.120°B.90°C.60°D.30°
3.满足下列条件的三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三边长满足关系a+b=c
B.三角形的三边长之比2:
3:
4
C.三角形的三边长分别为5、12、13
D.三角形的一边长等于另一边长的一半
4.如图,已知
,那么添加下列一个条件后,仍无法判定
的是()
A.
B.
C.
D.
5.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的( )
A.三角形内B.三角形外C.斜边的中点D.不能确定
6.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1B.2C.3D.4
7.已知:
如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为()
A.
B.3C.
D.9
8.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,点E在AB上,点F在BC上,且AO=3,OE=OF,∠EOF=60°,则BF的长是( )
A.4B.8C.5D.6
二、填空题
9.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,BC=_____.
10.已知△ABC≌△A'B'C',∠A=60°,∠B=40°,则∠C′=_____.
11.直角三角形的三边长为连续整数,则这三个数分别为_____.
12.如图,AB=AC=AD,如果∠BAC=28°,AD∥BC,那么∠D=_____.
13.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.DE=12,BC=14,则△BCD的面积为_____.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=48°,将其折叠,E是点A落在边BC上的点,折痕为CD,则∠EDB的度数为_____.
15.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种.
16.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.若∠A=68°,则∠BOC度数是_____.
17.已知:
如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AC与BD相交于点O,E、F分别是AC、BD的中点.则∠EFO=_____.
18.如图,以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1,…,如此作下去,若OA=OB=1,则第n个等腰直角三角形的面积Sn=_____.
三、解答题
19.如图,AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP,CP交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)中作出的线段CE上取一点F,连结AF.要使△ACF≌△AEF,还需要添加一个什么条件?
请你写出这个条件(只要给出一种情况即可;图中不再增加字母和线段;不要求证明)
20.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DE⊥AC,垂足为E,CD=5,DE=4,求△ABC的面积.
21.如图,AD是△ABC的中线,AB:
AD:
BC=13:
12:
10,△ABD的周长是60cm.求AC.
22.已知:
如图,AB∥CD,AB=CD,AD、BC相交于点O,BE∥CF,BE、CF分别交AD于点E、F.求证:
BE=CF.
23.某中学有一块四边形空地ABCD,如图现计划在该空地上种草皮,经测量∠A=90°,AB=16m,BC=25m,CD=15m,AD=12m.若每平方米草皮需100元,问需投入多少元?
24.如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC.
(1)求证:
AE=BD;
(2)求证:
AE⊥BD.
25.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=24,AC=32,AD⊥BC,垂足为D,BC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、F.求AD与EF的长.
26.△ABC的三边长分别是a、b、c,且a=n2﹣1,b=2n,c=n2+1.
(1)判断三角形的形状;
(2)若以边b为直径的半圆面积为2π,求△ABC的面积;
(3)若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q,求以边c为直径的半圆面积.(用p、q表示)
27.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.
(1)若∠BAC=90°(图1),求∠DAE的度数;
(2)若∠BAC=120°(图2),求∠DAE的度数;
(3)当∠BAC>90°时,探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系,直接写出结果.
28.如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,CD与BE交于点Q,连接PQ
(1)求证:
AD=BE;
(2)∠AOB的度数为 ;PQ与AE的位置关系是 ;
(3)如图2,△ABC固定,将△CDE绕点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,在旋转过程中,
(1)中的结论是否总成立?
∠AOB的度数是否改变?
并说明理由.
参考答案
1.A
【解析】
当4为腰时,三边为4,4,8,因为4+4=8,不符合三角形三边关系,故不能构成三角形;当8为腰时,三边分别为8,8,4,因为符合三角形三边关系,则此时其周长=8+8+4=20.
故选A.
2.D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C,根据题意得出∠A=120°,根据三角形内角和定理即可求得底角的度数.
【详解】
∵△ABC中,AB=AC,顶角是120°,
∴∠B=∠C,∠A=120°
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=∠C=
=30°,
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质与三角形内角和定理,熟练掌握相关概念是解题关键.
3.C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项逐一判断即可.
【详解】
A:
三角形的三边满足关系a+b=c,不符合勾股定理的逆定理,故本选项错误;
B:
∵22+32=13≠42=16,∴此三角形不是直角三角形,故本选项错误;
C:
∵52+122=132,∴此三角形是直角三角形,故本选项正确;
D:
三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状,故本选项错误.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
4.C
【分析】
由图形可知AC=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.
【详解】
解:
在△ABC和△ADC中
∵AB=AD,AC=AC,
A、添加
,根据
,能判定
,故A选项不符合题意;
B、添加
,根据
能判定
,故B选项不符合题意;
C.添加
时,不能判定
,故C选项符合题意;
D、添加
,根据
,能判定
,故D选项不符合题意;
故选:
C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题关键,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.
5.C
【分析】
垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心,由此可得出此交点在斜边中点.
【详解】
∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点,
∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了三角形外接圆的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
6.C
【分析】
共有3对,分别为△ADC≌△AEB,△BOD≌△COE.Rt△ADO≌Rt△AEO;做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可.
【详解】
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEE=90°,
在△ADC和△AEB中,
∵∠ADC=∠AEB,∠DAC=∠EAB,AC=AB,
∴△ADC≌△AEB(AAS);
∴AD=AE,∠C=∠B,
∵AB=AC,
∴BD=CE,
在△BOD和△COE中,
∵∠B=∠C,∠BOD=∠COE,BD=CE,
∴△BOD≌△COE(AAS);
∴OB=OC,OD=OE,
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∵OA=OA,OD=OE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL);
∴共有3对全等三角形,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定,熟练掌握相关概念是解题关键.
7.A
【解析】
由题意得,三个等腰直角三角形的是以Rt△ABC的三边为边作正方形的四分之一,因在Rt△ABC中,AB=3,AB2=AC2+BC2=9,所以三个正方形的面积和为18,即可得阴影部分面积为
,故选A.
8.D
【分析】
根据“AAS”判断△AOE≌△CFO,得出AO=CF=3,据此进一步求解即可得出答案.
【详解】
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°,BC=AC=9,
∵∠AOE+∠AEO+∠A=180°,∠AOE+∠COF+∠EOF=180°,
∴∠AOE+∠AEO=120°,∠AOE+∠COF=120°,
∴∠AEO=∠COF,
在△AOE和△CFO中,
∵∠A=∠C,∠AEO=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△CFO(AAS),
∴AO=CF=3,
∴BF=BC﹣CF=6;
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形性质与判定,熟练掌握相关概念是解题关键.
9.8
【分析】
根据勾股定理求解即可.
【详解】
由勾股定理得:
BC=
故答案为:
8.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
10.80°.
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案.
【详解】
∵△ABC≌△A'B'C',
∴∠A=∠A′=60
,∠B=∠B′=40
,
∴∠C′=180
﹣60
﹣40
=80
.
故答案为:
80
.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质,正确得出对应角是解题关键.
11.3,4,5
【分析】
设直角三边长为a、a+1、a+2、,则a+2为斜边,由勾股定理得出方程,解方程求出a,即可得出结果.
【详解】
设这个直角三角形三边长分别为a、a+1、a+2,
则根据勾股定理:
a2+(a+1)2=(a+2)2,
解得:
a=3,或a=﹣2(舍去),
∴a=3,a+2=4,a+2=5,
即这三个数分别为3,4,5.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
12.38°
【分析】
想办法求出∠BAD,再利用等腰三角形的性质即可解决问题.
【详解】
∵AB=AC,∠BAC=28°,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°﹣28°)=76°,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C=76°,
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=28°+76°=104°,
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABD=
(180°﹣104°)=38°,
故答案为38°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
13.84
【分析】
作DF⊥BC于F,根据角平分线的性质得到DF=DE=12,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【详解】
如图,作DF⊥BC于F,
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE=12,
∴△BCD的面积=
×BC×DF=
×14×12=84,
故答案为:
84.
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
14.6°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠B,在△BDE中,利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解.
【详解】
∵∠ACB=90°,∠A=48°,
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣48°=42°,
∵△CDE是△CDA翻折得到,
∴∠CED=∠A=48°,
在△BDE中,∠CED=∠B+∠EDB,
即48°=42°+∠EDB,
∴∠EDB=6°.
故答案为:
6°.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
15.5种
【分析】
根据轴对称图形的性质分别得出即可.
【详解】
如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.选择一个正方形涂黑,使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形,选择的位置有以下几种:
1,3,7,6,5,选择的位置共有5处.
16.124°
【分析】
在△ABC中,利用三角形内角和定理可求出(∠ABC+∠ACB)的度数,由角平分线的定义可求出(∠OBC+∠OCB)的度数,再在△BCO中,利用三角形内角和定理可求出∠BOC度数.
【详解】
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=112°.
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC=
∠ABC,∠OCB=
∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)=56°.
在△BCO中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=124°.
故答案为:
124°.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和性质与角平分线性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
17.90°
【分析】
连接EB、ED,根据直角三角形的性质得到EB=ED,根据等腰三角形的性质得到答案.
【详解】
如图,连接EB、ED,
∵∠ABC=90°,E是AC的中点,
∴BE=
AC,
同理,DE=
AC,
∴EB=ED,又F是BD的中点,
∴EF⊥BD,
∴∠EFO=90°,
故答案为:
90°.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形性质与等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
18.Sn=2n-2.
【分析】
本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值,然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律,进而可得出Sn的表达式.
【详解】
解:
根据直角三角形的面积公式,得S1=
=2-1;
根据勾股定理,得:
AB=
,则S2=1=20;
A1B=2,则S3=21,
依此类推,发现:
Sn=2n-2.
故答案为:
Sn=2n-2.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质及勾股定理,难度不大,发现规律是解题关键.
19.
(1)答案见解析;
(2)AF⊥CE(答案不唯一)
【分析】
(1)本题首先作出图形.
(2)要使△ACF≌△AEF,添加AF⊥CE或∠CAF=∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF≌△AEF.
【详解】
解:
(1)作图如下;
(2)取点F和画AF正确(如图);
添加的条件可以是:
添加AF⊥CE,可根据AAS判定△ACF≌△AEF;
添加∠CAF=∠EAF,可根据AAS判定△ACF≌△AEF等.(选一个即可)
20.△ABC的面积为:
24
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB,根据三角形中位线定理求出BC,根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【详解】
∵CD是斜边AB上的中线,
∴AB=2CD=10,
∵∠BCA=90°,DE⊥AC,
∴BC∥DE,又点D是AB的中点,
∴BC=2DE=8,
由勾股定理得,AC=
,
∴△ABC的面积=
×6×8=24
【点睛】
本题主要考查了直角三角形性质与勾股定理的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
21.AC=26(cm)
【分析】
设AB=13x,AD=12x,BC=10x,则BD=CD=5x,所以13x+12x+5x=60,解得x=2,根据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形,∠ADB=90°,所以AD垂直平分BC,从而得出答案即可.
【详解】
设AB=13x,AD=12x,BC=10x,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD=5x,
∵△ABD的周长是60cm,
∴13x+12x+5x=60,解得x=2,
∴BD=10,AD=24,AB=26,
∵102+242=262,
∴BD2+AD2=AB2,
∴△ABD为直角三角形,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
而BD=CD,
∴AC=AB=26(cm).
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
22.见解析
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠A=∠D,∠BEO=∠CFO,进而得到∠AEB=∠DFC,然后根据AAS定理判定△ABE≌△DCF,再根据全等三角形的性质可得EB=CF.
【详解】
证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,
∵BE∥CF,
∴∠BEO=∠CFO,
∴∠AEB=∠DFC,
在△EBA和△FCD中
∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,AB=CD,
∴△ABE≌△DCF(AAS).
∴EB=CF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形性质与判定,熟练掌握相关概念是解题关键.
23.24600(元)
【分析】
根据勾股定理得出BD的长,再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形,进而求出总的面积求出答案即可.
【详解】
如图,连接BD,
∵∠A=90°,AB=16m,DA=12m,
∴DB=
m,
∵BC=25m,CD=15m,
∴BD2+DC2=BC2,
∴△DBC是直角三角形,
∴S△ABD+S△DBC=
×12×16+
×15×20=246m2,
∴需投入总资金为:
100×246=24600(元).
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与逆定理的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
24.
(1)见解析;
(2)见解析
【分析】
(1)通过证明△DCB≌△ECA(SAS)进一步得出AE=BD即可;
(2)由∠AGD=∠BGC,∠B+∠BGC=90°推出∠A+∠AGD=90°,可得∠AFG=90°,即可解决问题.
【详解】
(1)证明:
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠ACD=∠ACD,
∴∠DCB=∠ECA,
在△DCB和△ECA中,
∵AC=BC,∠DCB=∠ECA,CD=CE,
∴△DCB≌△ECA(SAS),
∴AE=BD;
(2)证明:
∵∠AGD=∠BGC,∠B+∠BGC=90°,
∴∠A+∠AGD=90°,
∴∠AFG=90°,
∴AE⊥BD.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定,熟练掌握相关概念是解题关键.
25.AD=19.2,EF=15
【分析】
连接BE,根据勾股定理求出BC,根据三角形的面积公式求出AD,根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC,BF=FC=20,根据勾股定理计算,得到答案.
【详解】
如图,连接BE,
由勾股定理得,BC=
,
S△ABC=
×AB×AC=
×BC×AD,即
×24×32=
×40×AD,
解得,AD=19.2,
∵EF是BC的垂直平分线,
∴EB=EC,BF=FC=20,
∴AE=32﹣EC=32﹣EB,
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2,即BE2=242+(32﹣EB)2,
解得,EB=25,
则EF=
,
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与线段的垂直平分线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
26.
(1)△ABC是直角三角形,见解析;
(2)△ABC的面积=6;(3)以边c为直径的半圆面积=p+q.
【分析】
(1)先求出a2+b2及c2的值,再根据勾股定理的逆定理进行解答即可;
(2)先求出b=4,得出n=2,a=3,即可得出答案;
(3)由圆面积公式得出
,
,再由勾股定理和圆面积公式进一步求解即可得出答案.
【详解】
(1)△ABC是直角三角形,理由如下:
∵在△ABC中,三条边长分别是a、b、c,且a=n2﹣1,b=2n,c=n2+1(n>1),
∴a2+b2=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2,
∴a2+b2=c2,
∴∠C=90°,△ABC是直角三角形.
(2)∵以边b为直径的半圆的半径为r,则
π(
)2=2π,
解得:
b=4,
∴2n=4,
∴n=2,
∴a=3,
∴△ABC的面积=
ab=
×3×4=6;
(3)∵以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q,
∴p=
π(
)2=
,q=
π(
)2=
,
∵△ABC是直角三角形,
∴a2+b2=c2,
∴以边c为直径的半圆面积=
π(
)2=
=
(a2+b2)=
=p+q.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
27.
(1)∠DAE=45°,
(2)∠DAE=60°;(3)∠DAE=
∠BAC
【分析】
(1)由于AB=AC,∠BAC=90°,从而求出∠B=∠ACB=45°,又因为BD=BA,可知∠BAD=∠BDA=67.5°,因为CE=CA,可知∠CAE=∠E=
∠ACB=22.5°,最后可求出得∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°.
(2)由于AB=AC,∠BAC=120°,从而求出∠B=∠ACB=30°,又因为BD=BA,可知∠BAD=∠BDA=75°,因为CE=CA,可知∠CAE=∠E=
∠ACB=15°,最后可求出得∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°.
(3)可设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠B=180°﹣2y,∠E=∠CAE=x,从而可知∠BAE=2y﹣x,∠DAE=y﹣x,∠BAC=2y﹣2x,所以可知∠DAE=
∠BAC,
【详解】
(1)如图1,∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=
(180°﹣∠B)=67.5°,
∵CE=CA
∴∠CAE=∠E=
∠ACB=22.5°,
∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=112.5°,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°,
(2)如图2,∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=30°,
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA=75°,
∴∠DAC=45°,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAE=15°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°;
(3)∠DAE=
∠BAC,
理由:
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°﹣2y,∠E=∠CAE=x,
∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x,
∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x
∴∠DAE=
∠BAC.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质与三角形内角和性质及三角形外角性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
28.
(1)见解析;
(2)60°,PQ∥AE;(3)在旋转过程中,
(1)中的结论总成立,∠AOB的度数不会改变,见解析
【分析】
(1)根据等边三角形性质得出AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,求出∠BCE=∠ACD,根据SAS推出两三角形全
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