高考数学文黄金易错点专题10数列求和及其应用含答案.docx
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高考数学文黄金易错点专题10数列求和及其应用含答案
专题10数列求和及其应用
2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点
1.已知数列{an}的通项公式为an=
,其前n项和为Sn,若存在M∈Z,满足对任意的n∈N*,都有Sn 答案 1 解析 因为an= = = - , 所以Sn=( - )+( - )+…+ - ] =1- , 由于1- <1,所以M的最小值为1. 2.设向量a=(1,2),b=( ,an)(n∈N*),若a∥b,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn的最小值为________. 答案 1 3.已知{an}是一个公差d大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足: + +…+ =an+n2,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)∵a3+a5=a2+a6=14,a3a5=45, ∴a3=5,a5=9或a3=9,a5=5, ∵d>0,∴a3=5,a5=9, ∴ ⇒a1=1,d=2, ∴an=2n-1. (2)由 + +…+ =an+n2, 得 + +…+ =2n-1+n2, + +…+ =2(n-1)-1+(n-1)2(n≥2), 两式相减得 =2n+1, ∴bn=2n(2n+1)(n≥2), 又 =a1+1,∴b1=4, ∴bn= 记Tn=b2+b3+…+bn, 则Tn=22×5+23×7+…+2n(2n+1), 2Tn=23×5+24×7+…+2n+1(2n+1), 两式相减得-Tn=4+2n+1(1-2n), 则Tn=2n+1(2n-1)-4, ∴Sn=2n+1(2n-1). 4.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,且a>0),且4a3是a1与2a2的等差中项. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)当n=1时,S1=a(S1-a1+1),所以a1=a, 当n≥2时,Sn=a(Sn-an+1),① Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),② 由①-②,得an=a·an-1,即 =a, 故{an}是首项a1=a,公比为a的等比数列, 所以an=a·an-1=an. 故a2=a2,a3=a3. 由4a3是a1与2a2的等差中项,可得8a3=a1+2a2, 即8a3=a+2a2, 因为a≠0,整理得8a2-2a-1=0, 即(2a-1)(4a+1)=0, 解得a= 或a=- (舍去), 故an=( )n= . 5.Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan],其中x]表示不超过x的最大整数,如0.9]=0,lg99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1000项和. 解 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n. b1=lg1]=0,b11=lg11]=1,b101=lg101]=2. (2)因为bn= 所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893. 6.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d.由 即 可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1. (2)由 (1)知,cn= =3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]. 两式作差,得-Tn=3×2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3× =-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2. 易错起源1、分组转化求和 例1、等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足: bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)当a1=3时,不合题意; 当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3. 故an=2·3n-1(n∈N*). (2)因为bn=an+(-1)nlnan =2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1) =2·3n-1+(-1)nln2+(n-1)ln3] =2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3, 所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+-1+1-1+…+(-1)n]·(ln2-ln3)+-1+2-3+…+(-1)nn]ln3. 当n为偶数时, Sn=2× + ln3 =3n+ ln3-1; 当n为奇数时, Sn=2× -(ln2-ln3)+ ln3 =3n- ln3-ln2-1. 综上所述,Sn= 【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)证明: an+2=3an; (2)求Sn. (1)证明 由条件,对任意n∈N*, 有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1, 即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故对一切n∈N*,an+2=3an. (2)解 由 (1)知,an≠0,所以 =3.于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1. 于是S2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1) =3(1+3+…+3n-1) = . 从而S2n-1=S2n-a2n= -2×3n-1 = (5×3n-2-1). 综上所述, 【名师点睛】 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式. 【锦囊妙计,战胜自我】 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. 易错起源2、错位相减法求和 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)3Sn-3Sn-1=5an-an-1(n≥2), ∴2an=an-1, = , 又∵a1=2, ∴{an}是首项为2,公比为 的等比数列, ∴an=2×( )n-1=( )n-2=22-n. 【变式探究】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足: 4Sn=(an-1)(an+3)(n∈N*). (1)求an; (2)若bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)∵4Sn=(an-1)(an+3)=a +2an-3, ∴当n≥2时,4Sn-1=a +2an-1-3, 两式相减得,4an=a -a +2an-2an-1, 化简得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵{an}是正项数列,∴an+an-1≠0, ∴an-an-1-2=0,对任意n≥2,n∈N*都有an-an-1=2, 又由4S1=a +2a1-3得,a -2a1-3=0, 解得a1=3或a1=-1(舍去), ∴{an}是首项为3,公差为2的等差数列, ∴an=3+2(n-1)=2n+1. (2)由已知及 (1)知, bn=(2n+1)·2n, Tn=3·21+5·22+7·23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,① 2Tn=3·22+5·23+7·24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,② ②-①得,Tn=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1=-6-2× +(2n+1)·2n+1 =2+(2n-1)·2n+1. 【名师点睛】 (1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列; (2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分,求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n=1,2进行验证. 【锦囊妙计,战胜自我】 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. 易错起源3、裂项相消法求和 例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a22-3a7=2,且 , ,S3成等比数列,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,都有8Tn<2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d, 由 ⇒ 即 解得 或 当a1=- ,d= 时, = 没有意义, ∴a1=2,d=2,此时an=2+2(n-1)=2n. 【变式探究】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=2,S5=15,若 的前m项和为 ,则m的值为( ) A.8B.9C.10D.11 (2)已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的正整数n有( ) A.最小值63B.最大值63 C.最小值31D.最大值31 答案 (1)B (2)A 解析 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d, 则有 ∴a1=d=1,∴an=n, ∴ = - . ∴ + + +…+ =1- + - +…+ - =1- = = , ∴m=9. (2)∵an=log2 (n∈N*), ∴Sn=a1+a2+…+an=log2 +log2 +…+log2 =(log22-log23)+(log23-log24)+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=log2 ,由Sn<-5=log2 ⇒ < ⇒n>62,故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63. 【名师点睛】 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而达到在求和
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