导数难题含答案.docx
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导数难题含答案.docx
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导数难题含答案
一、单选题
1.已知可导函数
f
x
的导函数为
f'x,
f0
2018,若对任意的
x
R,都有
f
x
f'x,
则不等式
f
x
2018ex的解集为(
)
A.0,
B.
1
C.
1
D.
0
e2
e2
2.定义在R上的偶函数fx的导函数为fx,且当x0,xfx2fx0.则()
fe
f2
B.9f3
f1
C.
fe
f3
fe
f2
A.
e2
9
e2
D.
e2
4
4
3.已知
f
x
为定义在
0,
上的可导函数,且
f
x
xf'x
恒成立,则不等式
x2f
1
f
x
0
x
的解集为(
)
A.1,B.,1C.2,D.,2
二、解答题
4.已知函数
fx
ax2
lnxa
R
.
(1)讨论
f
x的单调性;
(2)若存在x
1,
f
x
a,求
a的取值范围
.
5.设函数fxx2ax2x2xlnx.
(1)当a2时,讨论函数fx的单调性;
2x0,
时,
fx
0
恒成立,求整数
a的最小值.
()若
1a
6.已知函数fxxalnx,gxaR.
x
若a1,求函数fx的极值;
设函数hxfxgx,求函数hx的单调区间;
若在区间1,ee2.71828上不存在...x0,使得fx0gx0成立,求实数a的取值范围.
7.已知函数fxxalnx,aR.
(1)当a0时,求函数fx的极小值;
(2)若函数fx在0,上为增函数,求a的取值范围.
8.已知函数fxx2axaex.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若a
0,2,对于任意x1,x2
4,0,都有fx1fx2
4e2
mea恒成立,求m的取值
范围
参考答1.A
f
x
gx
fxfx
0,g02018
【解析】令gx
ex
ex
x
fx
因此fx2018e
x2018gxg0x0,选A.
e
点睛:
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造
辅助函数常根据导数法则进行:
如fx
f
x
,fx
fx0构造
fx构造gx
ex
x
xfx
fx构造gx
fx
x0构造gx
xfx等
gxefx,
,xfxf
x
2.D
【解析】根据题意,设g(x)=x2f(x),
其导数g′(x)=(x2)′f(x)+x2?
f(x)=2xf(x)+x2?
f(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
又由当x>0时,有2f(x)+xf'(x)<0成立,则数g′(x)=x[2f(x)+xf'(x)]<0,
则函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,
若g(x)=x2f(x),且f(x)为偶函数,则g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),
即g(x)为偶函数,所以ge
fe
f2
因为f
x为偶函数,所以
f2f2,
g2即
e2
4
所以fe
f2
4
e2
故选D
点睛:
本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用,关键是构造函数g
(x)并分析g(x)的单调性与奇偶性.
3.A
fx
xfx
fx
【解析】令gx
,则gx
2
x
x
∵fxxfx
xfx
fx
∴xfxfx0,即gx
2
0在
0,
上恒成立
x
∴gx在0,上单调递减
∵x2f
1
fx0
x
f
1
f
x
x
,即g1
∴
gx
x
1
x
x
∴1
x,即x
1
x
故选A
点睛:
本题首先需结合已知条件构造函数,然后考查利用导数判断函数的单调性,再由函数的单调性和
函数值的大小关系,判断自变量的大小关系.
4.
(1)f
x在0,1
上递增,在
1,
2a
2a
上递减.;
(2),1.
2
【解析】试题分析:
(1)对函数
fx求导,再根据
a分类讨论,即可求出fx
的单调性;
(2)将
f
xa化简得
a
x2
1
lnx
0,再根据定义域
x
1,,对a分类讨论,a
0时,满足题意,
a
0时,构造g
x
a
x2
1
lnx,求出gx
的单调性,可得gx的最大值,即可求出a的取值
范围.
1
12ax2
试题解析:
(1)fx2a
,
x
x
当a0时,fx0,所以fx在0,上递增,
当a
0时,令fx
0,得x
1
,
2a
令fx
0,得x0,
1
;令fx
0,得x
1
,
2a
2a
所以f
x在0,
1
上递增,在
1
上递减.
2a
2a
(2)由fxa,得ax21lnx0,因为x1,,所以lnx0,x210,
当a0时,ax21lnx0满足题意,
当a
1
ax
2
1lnx(x1),gx
2ax21
时,设gx
0,
2
x
所以gx在1,上递增,所以gxg10,不合题意,
当0a
1时,令gx
0,得x
1
,令gx
0,得1,
1
,
2
2a
2a
所以gxmaxg
1
g10
,则
x1
gx0,
2a
综上,
a的取值范围是
1.
2
点睛:
本题考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处
理导数大题时,注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,
对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数
问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会.
.
()递增区间为(
1
),(1,+∞),递减区间为(
1
,1);
5
(1)f
x
0,
2
2
(2)1.
【解析】试题分析:
(1)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为a>x-2(x-1
)lnx
恒成立,令g(x)=x-2(x-1
)lnx,根据函数的单调性求出
a的最小
值即可.
试题解析:
(1)由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),当a=2时,f(x)=﹣x2+2x+2(x2﹣x)lnx,
所以f′(x)=﹣2x+2+2(2x﹣1)lnx+2(x2﹣x)?
=(4x﹣2)lnx,
由f'(x)>0可得:
(4x﹣2)lnx>0,
所以或,
解得x>1或0<x<;
由f'(x)<0可得:
(4x﹣2)lnx<0,
所以或,
解得:
<x<1.
综上可知:
f(x)递增区间为(0,),(1,+∞),递减区间为(,1).
(2)若x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,即a>x﹣2(x﹣1)lnx恒成立,
令g(x)=x﹣2(x﹣1)lnx,则a>g(x)max.
因为g′(x)=1﹣2(lnx+)=﹣2lnx﹣1+,
所以g'(x)在(0,+∞)上是减函数,且g'
(1)>0,g′
(2)<0,
故存在x0∈(1,2)使得g(x)在(0,x0)上为增函数,在(x0,+∞)上是减函数,
∴x=x0时,g(x)max=g(x0)≈0,
∴a>0,又因为a∈Z,所以amin=1.
点睛:
导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若f
x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为
fxmin0,
若fx
0恒成立,转化为fxmax0;
(3)若fxgx恒成立,可转化为fxmingxmax.
6.
(1)极小值为
f
e2
1
11;
(2)见解析(3)2a
1
e
【解析】试题分析:
(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号,确定极值(
2)先求导数,求
导函数零点,讨论
1
a与零大小,最后根据导数符号确定函数单调性(
3)正难则反,先求存在一点x0,
使得fx0gx0成立时实数a的取值范围,由存在性问题转化为对应函数最值问题,结合
(2)单调
性可得实数a的取值范围,最后取补集得结果
试题解析:
解:
(I)当a
1时,
fx
xlnx
f'
x1
0
x
1,列极值分布表
x
x
f
x
在(0,1)上递减,在(1,
)上递增,∴
f
x
的极小值为
f1
1
;
(II
)
1a
h'
x
1
x
1a
hxx
alnx
x
x
x2
①当
a
1
时,
h'x
0,hx(0,)
在
上递增;
②当a
1时,h'x0x
1a,
∴
hx
(0,1
a)
1
a,
上递增;
在
上递减,在
(III
)先解区间
1,e
上存在一点x0
使得
f
0
0成立
x
gx
h
x
fx
gx
0在1,e上有解
当x1,e
时,
h
xmin
0
由(II
)知
①当a
1
时,
hx
在1,e上递增,
hminh1
2a
0
a
2∴a2
②当
当
a
1时,
hx
在(0,1
a)上递减,在
1
a,
上递增
1a
0时,
hx
在1,e
上递增,
hmin
h
1
2a0a2a无解
当ae1时,hx在1,e上递减
hmin
heea
1a
0
a
e2
1,∴a
e2
1;
e
e
1
e
1
当0ae1时,hx在1,1a上递减,在1a,e上递增
hminh1a2aaln1a
令F
a
2
a
aln1
a
2
ln1
a
,则
2
1
a
1
F'a
a2
1
a
0
a
F
a
在0,e
1递减,
Fa
Fe
1
2
0
,
F
a
0
无解,
e1
即hmin
2
a
aln1
a
0无解;
综上:
存在一点
x0,使得fx0
gx0成立,实数a的取值范围为:
a
2或a
e2
1.
e
1
所以不存在一点x0,使得fx0gx0成立,实数a的取值范围为.
点睛:
函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的
问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
7.
(1)
1
(2)
1
e
e2
【解析】试题分析:
(1)当a0时,得出函数的解析式,求导数,令f'x0,解出x的值,利用导
数值的正负来求其单调区间进而求得极小值;
(2)求出f'
x,由于函数
f
x
在0,
是增函数,转化为f'x
0对任意x0,
恒成立,
分类参数,利用导数
g
x
xlnx
x的最小值,即可求实数
a的取值范围.
试题解析:
(1)定义域为
0,
.
当a
0时,
fx
xlnx,
f'
x
lnx
1.
令f
'x
0,得x
1
.
e
当x
0,
1
时,
f'
x
0,
f
x为减函数;
e
当x
1,
时,
f'x
0,
f
x为增函数.
e
所以函数f
x的极小值是f
1
1.
e
e
(2)由已知得f
'x
lnx
x
a
x
.
因为函数f
x在0,
是增函数,所以
f'
x
0对任意x0,
恒成立,
由f'x
0得lnx
x
a
0,即xlnx
x
a对任意的x
0,
恒成立.
x
设g
x
xlnx
x,要使“xlnx
x
a对任意x
0,
恒成立”,只要agxmin.
因为g'x
lnx
2
,令g'
x
0,得x
1
.
e2
当x
0,
12时,
g'x
0,g
x为减函数;
e
当x
12,
时,g'x
0,
gx为增函数.
e
所以g
x的最小值是g
1
1
.
e
2
2
e
故函数f
x在0,
是增函数时,实数
a的取值范围是
1
.
e2
点睛:
本题主要考查了导数在函数中的综合应用,解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间,利用导
数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用,这属于教学的重点和难点,应熟练掌握,试题有一定的
综合性,属于中档试题,解答中把函数
成立是解答的关键.
fx在0,是增函数,所以f'x0对任意x0,恒
1
e2
.
8.
(1)见解析;
(2)m
e3
【解析】试题分析:
(1)求出f'x,分三种情况讨论,分别令f'x0求得x的范围,可得函数fx
增区间,f'x0求得x的范围,可得函数fx的减区间;
(2)由
(1)知,
所
以
fx
m
f
2
a
4e2
,
f
4
3a+16e4
a
f0
,
a
x
f
x1
f
x2
4e2
mea恒成立,即ae2
1
4e2
4e2
mea恒成立,即m
aa
e2
1恒成
e
立,利用导数研究函数的单调性,求出
aae2
1
的最大值,即可得结果.
e
试题解析:
(1)f
x
x
2
x
aex
①若a
2
,则f
x
在
a,
2,
上单调递增,在
a,
2
上单调递减;
②a2,则,在上单调递增;
③若a2,则fx在,2,a,上单调递增,在2,a上单调递减;
(2)由1知,当a0,2时,fx在4,2上单调递增,在2,0单调递减,
所以fxmaxf2a4e2,f43a+16e4af0,
故fx1fx2
f2f0
a4e2
aae2
14e2,
max
fx1fx24e2mea恒成立,
即ae214e24e2mea恒成立
即m
a
e2
1恒成立,
ea
令g
x
xx,x
0,2,
e
易知g
x在其定义域上有最大值g1
1
,
e
1
e2
所以m
3
e
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