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完整版高数上册知识点
高等数学上册知识点
第一章函数与极限
(一)函数
1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、反函数、复合函数、函数的运算;
3、初等函数:
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;
4、函数的连续性与间断点;
函数f(x)在x0连续xlimxf(x)f(x0)
xx0
第一类:
左右极限均存在。
间断点可去间断点、跳跃间断点第二类:
左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质:
有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二)极限
1、定义
1)数列极限
limxna0,N,nN,xna
n
2)函数极限
limf(x)A0,0,x,当0xx0时,f(x)A
xx0
左极限:
f(x0)limf(x)右极限:
f(x0)limf(x)
xx0xx0
limf(x)A存在f(x0)f(x0)
xx0
2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)ynxnzn(nn0)
limxnan
2)limynlimzna
nn
2)单调有界准则:
单调有界数列必有极限。
3、无穷小(大)量
1)定义:
若lim0则称为无穷小量;若lim则称为无穷大量
2)无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
Th1~o();
Th2~,~,lim存在,则limlim(无穷小代换)
1)
单调有界准则;
2)
夹逼准则;
3)
极限运算准则及函数连续性;
4)
两个重要极限:
4、求极限的方法
5)无穷小代换:
(x0)
a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
12
b)
1cosx~
x
2
c)
xe
1~x
(
ax1~xlna)
d)
ln(1
x)~
x
(loga(1x)~
xlna)
e)
(1
x)1
~x
第二章导数与微分
1)
导数
2、
函数f(x)在x0点可导f(x0)f(x0)
几何意义:
f(x0)为曲线yf(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率。
3、
可导与连续的关系:
4、
求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7
)对数求导法。
2)
微分
第三章微分中值定理与导数的应用
1、Rolle定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)C[a,b];2)f(x)D(a,b);3)f(a)f(b);则(a,b),使f()0.
2、Lagrange中值定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)C[a,b];2)f(x)D(a,b);
则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).
3、Cauchy中值定理:
若函数f(x),F(x)满足:
1)f(x),F(x)C[a,b];2)f(x),F(x)D(a,b);3)F(x)0,x(a,b)
(a,b),使Ff((bb))Ff((aa))Ff(())
二)洛必达法则
1、尽量先化简(有理化、无穷小代换、分离非零因子)
再用洛必达法则!
如:
1x2cosxlxim0tan4x
2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,
然后用洛必达法则!
nanb
如:
lim
n
三)Taylor公式
n阶Taylor公式:
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!
x0)(xx0)2
在x0与x之间.
当x00时,成为n阶麦克劳林公式:
1)
2)
3)
4)
5)
f(x)f(0)f1(!
0)x
常见函数的麦克劳林公式:
12
x
2!
sinx
cosx
ln(1
(1
x)
四)
1、
x)
f(0)x2
2!
在0与x之间.
1
xn!
en
x
(n1)!
在0与x之间,
f(n)(0)xn
n!
(n1)
()xn1(n1)!
3x3!
2x2!
57
xx5!
7!
1)
2m1x
sin
在0与x之间,
46
xx4!
6!
1)
m1
(2m1)!
2m2
1x
(2m
cos
2)!
(2m1)
2x2m1
(2m1)!
2m
22m
x(2m)!
在0与x之间,
234
xxx
234
在0与x之间,
x
(1)x2
2!
n
1)n1xn
x1
1)
(2)
3!
(n
x3
(1)(n)
(1)
(n
在0与x之间,1
单调性及极值
单调性判别法:
f(x)C[a,b],
1)!
x1.
(1)nxn1
1)
(1)
n1
(1)(n1)xn
n!
n1
x,
f(x)D(a,b),则若f(x)0,则f(x)
单调增加;则若f(x)0,则f(x)单调减少。
2、极值及其判定定理:
a)必要条件:
f(x)在x0可导,若x0为f(x)的极值点,则f(x0)0.
b)第一充分条件:
f(x)在x0的邻域内可导,且f(x0)0,则①若当xx0时,f(x)0,当xx0时,f(x)0,则x0为极大值点;②若当xx0时,f(x)0,当xx0时,f(x)0,则x0为极小值点;③若在x0的两侧f(x)不变号,则x0不是极值点。
c)第二充分条件:
f(x)在x0处二阶可导,且f(x0)0,f(x0)0,则
①若f(x0)0,则x0为极大值点;②若f(x0)0,则x0为极小值点。
3、凹凸性及其判断,拐点
x1x2f(x1)f(x2)
1)f(x)在区间I上连续,若x1,x2I,f(122)122,则称f(x)在
x1x2f(x1)f(x2)
区间I上的图形是凹的;若x1,x2I,f(122)122,则称f(x)在
区间I上的图形是凸的。
2)判定定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
b)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
3)拐点:
设yf(x)在区间I上连续,x0是f(x)的内点,如果曲线yf(x)经过点(x0,f(x0))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点。
5)不等式证明
1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值)。
6)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性。
7)渐近线
1、
铅直渐近线:
limf(x)xa
,则x
a为一条铅直渐近线;
2、
水平渐近线:
limf(x)
x
b,则y
b为一条水平渐近线;
3、
斜渐近线:
limf(x)xx
klim[f(x)x
kx]b存在,则ykxb为一条斜
渐近线。
8)图形描绘
步骤:
1.确定函数yf(x)的定义域,并考察其对称性及周期性;
2.求f(x),f(x)并求出f(x)及f(x)为零和不存在的点;
3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;
4.求渐近线;
5.确定某些特殊点,描绘函数图形.
第四章不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数F(x)可导,且F(x)f(x),则F(x)称为f(x)的一个原函数。
2、不定积分:
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性)。
二)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分):
f[(x)](x)dx
f(u)duu(x)
2、第二类换元法
(变量代换)
:
f(x)dx
f[
(t)](t)dtt1(x)
三)分部积分法:
udvuv
vdu
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换等)。
一)概念与性质:
b
1、定义:
af(x)dx
2、性质:
(7条)
性质7(积分中值定理)
第五章定积分
n
lim0f(i)xi
0i1
函数f(x)在区间[a,b]上连续,则[a,b],使
高等数学(上)知识点
b
f(x)dxa
b
f(x)dx
f()(ba)(平均值:
f()aba)
二)微积分基本公式(N—L公式)
1、变上限积分:
设
(x)
x
af(t)dt,则
(x)
f(x)
d
(x)
f(t)dt
f[(x)](x)
f[
推广:
dx
(x)
(x)](x)
b
2、N—L公式:
若F(x)为f(x)的一个原函数,则af(x)dxF(b)F(a)
a
三)换元法和分部积分
b
1、换元法:
f(x)dxfa
[(t)](t)dt
2、分部积分法:
b
udva
bbuvavdu
aa
四)反常积分
1、无穷积分
f(x)dxa
lim
t
t
f(x)dx
a
b
f(x)dx
lim
t
b
tf(x)dx
f(x)dx
0
f(x)dx0
f(x)dx
2、瑕积分:
b
f(x)dxa
limta
b
tf(x)dx
(a为瑕点)
b
f(x)dxa
limtb
t
f(x)dx(
a
b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
dx
1p
axpa
p1
p1
p1
bdxbdx
2)a(xa)qa(bx)q
第六章
定积分的应用
q1
一)平面图形的面积
b
a[f2(x)a
2、极坐标:
()]d
2
二)体积
1、旋转体体积:
a)曲边梯形y
f(x),xa,xb,x轴,绕x轴旋转而成的旋转体的体积:
Vxbf2(x)dx
a
b)曲边梯形y
f(x),xa,xb,x轴,绕y轴旋转而成的旋转体的体积:
b
Vy2xf(x)dx
柱壳法)
b
2、平行截面面积已知的立体:
VaA(x)dx
三)弧长
1、直角坐标:
sa1f(x)2dx
22
2、参数方程:
s(t)(t)dt
22
()()d
第七章微分方程
(一)概念
1、微分方程:
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。
阶:
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
2、解:
使微分方程成为恒等式的函数。
通解:
方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同特解:
确定了通解中的任意常数后得到的解。
二)变量可分离的方程
g(y)dyf(x)dx,两边积分g(y)dyf(x)dx
三)齐次型方程
四)一阶线性微分方程
ddyxP(x)yQ(x)
用常数变易法或用公式:
五)可降阶的高阶微分方程
1、y(n)f(x),两边积分n次;
2、yf(x,y)(不显含有y),令yp,则yp;dp
3、yf(y,y)(不显含有x),令yp,则ypdy
六)线性微分方程解的结构
1、y1,y2是齐次线性方程的解,则C1y1C2y2也是;
2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解,则C1y1C2y2是方程的通解;
3、yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解,其中y1,y2为对应齐次方程的*
线性无关的解,y*非齐次方程的特解。
七)常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程:
ypyqy0
2特征方程:
r2prq0,特征根:
r1,r2
特征根
通解
实根r1r2
r1xr2x
yC1eC2e
p
r1r22
y(C1C2x)er1x
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)
八)常系数非齐次线性微分方程
y
py
qy
f(x)
1、
f(x)
e
xPm(x)
0,
λ不是特征根
设特解y*
kx
x
exQm(x),其中
k1,
λ是一个单根
2,
λ是重根
2、
f(x)
e
x
Pl(x)cosx
Pn(x)sinx
设特解y
kx
(1)
xeRm(x)cosx
Rm
(2)(x)sinx
0,
i不是特征根
其中
mmax{l,n},
k
1,
i是特征根
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