最大公因数与最小公倍数的实际应用.docx

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最大公因数与最小公倍数的实际应用

最大公因数和最小公倍数

基础知识与实际应用

相关基础知识

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数的性质

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：

（a，b）×[a，b]=a×b。

6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。

36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。

两个数A，B，①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B，最小公倍数是A；

②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B；

欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。

如果（a,b）来表示a和b的最大公因数。

有定理：

已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=（b,c）。

辗转相除法（欧几里得算法）

定义：

所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。

若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公因数。

步骤：

S1，用大数除以小数

S2，除数变成被除数，余数变成除数

S3，重复S1，直到余数为0时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。

例1：

求15750与27216的最大公因数。

解：

∵27216=15750×1+11466∴（15750，27216）=（15750，11466）

∵15750=11466×1+4284∴（15750，11466）=（11466,4284）

∵11466=4284×2+2898∴（11466,4284）=（4284，2898）

∵4284=2898×1+1386∴（4284，2898）=（2898，1386）

∵2898=1386×2+126∴（2898，1386）=（1386，126）

∵1386=126×11

∴（1386，126）=126

所以（15750，27216）=126

例2.求（1397，2413）

2413=1397*1+1016，

1397=1016*1+381，

1016=381*2+254，

381=254*1+127，

254=127*2+0，

所以（1397，2413）=127。

《九章算术》更相减损术找最大公因数

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。

”

翻译成现代语言如下：

第一步：

任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。

若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：

以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。

其中所说的“等数”，就是最大公因数。

求“等数”的办法是“更相减损”法。

例1、用更相减损术求98与63的最大公因数。

解：

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公因数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公因数。

解：

由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。

短除法找最大公因数与最小公倍数

短除符号就是除号倒过来。

短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。

而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。

直到剩下每两个都是互质关系。

求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

（公因数：

如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。

）

实际应用

例：

有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？

解：

根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。

即：

（325、175、75）=25（厘米）

因为325÷25=13；175÷25=7；75÷25=3

所以13×7×3=273（个）或（325×175×75）÷（25×25×25）=273

例：

有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。

求这个两位数是多少？

解：

这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。

也就是说，这个两位数是48的因数。

同理，这个两位数也是60、72的因数。

所以，这个两位数只可能是48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公因数12，即（48、60、72）=12。

练习

1.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。

最多可以分给几个小组？

每个小组分的大、小气球各多少个？

2.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？

每个班可以分多少个小组？

3.同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？

每束几朵百合花，几朵玫瑰花？

4.明明有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？

可以剪几块？

解答公因数或公倍数问题的关键是：

从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数或公倍数问题。

例：

有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？

一共可以截成多少段？

分析：

截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段

例：

一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少个正方形？

分析：

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个

例：

用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

分析：

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

（1）最多可以做多少个花束？

（96、72）＝24

（2）每个花束里有几朵红玫瑰花？

96÷24＝4朵

（3）每个花束里有几朵白玫瑰花？

72÷24＝3朵

（4）每个花束里最少有几朵花？

4+3＝7朵

练习

1、有一堆西瓜与一堆木瓜,分别为24个与36个,将其各分成若干小堆,各小堆的个数要相等,则每小堆最多几个？

这时候西瓜分成多少小堆？

木瓜分成多少小堆？

2、甲、乙两队学生,甲队有121人,乙队有143人,各分成若干组,各组人数要相等,则每组最多有几人？

这时候甲队可分成多少组？

乙队可分成多少组？

3、今有梨320个,糖果240个,饼干200个,将这些东西分成相同的礼品包送给儿童,但包数要最多,则每包有多少个梨？

有多少个糖果？

有多少个饼干？

4、有一张长6公分,宽4公分的长方形色纸,将它剪成最大的正方形而不浪费纸,此正方形边长为几公分？

例：

公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

分析：

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

［5、10、6］＝30

练习

1、利用每一小块长6公分,宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问:

拼成的正方形的边长可能是多少？

2、王伯伯有三个小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,这次10月1日一起回家,则下一次是几月几日一起回家？

3、美美客运有A,B两种车,A车每45分发车一次,B车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什麼时候？

例：

某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？

分析：

安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。

这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。

至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？

［3、12、5］＝60

（2）第一道工序应安排多少人？

60÷3＝20人

（3）第二道工序应安排多少人？

60÷12＝5人

（4）第三道工序应安排多少人？

60÷5＝12人

例：

有一批机器零件。

每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。

这些零件总数在300至400之间。

这批零件共有多少个？

分析：

每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。

也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。

如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。

①刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个？

［12、18、15］＝180

②在300至400之间的180的倍数是多少？

180×2＝360

③这批零件共有多少个？

360-1＝359个

例：

有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？

分析：

根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。

我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

[24，28，32]=672

672－2=670（个）

即：

这批水果共有670个。

练习

1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？

2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？

3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。

如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？

例题：

一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

分析：

由已知条件可知：

这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。

换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。

我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。

4、6、15的最小公倍数是60。

60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。

练习

1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2，五

（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五

（1）班有多少位同学？

3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？

例：

公路上一排电线杆，共25根。

每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？

分析：

不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。

要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。

①从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？

［45、60］＝180（米）

②公路全长多少米？

45×（25-1）＝1080（米）

③可以有几根不需要移动？

1080÷180+1＝7（根）

例：

从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

分析：

从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。

因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。

1800÷300=6，就是6根不必移动。

去掉最后一根，中途共有5根不必移动。

练习

1，插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？

2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

如果两端不算，中间有几棵不必移动？

3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。

后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。

问：

现在彩旗的间隔是多少米？

例：

甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。

甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

分析：

从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。

因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

练习

1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？

2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。

问：

再过多少时间三人第二次同时从起点出发？

3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。

如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？

例：

一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。

要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

分析：

把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。

现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。

练习

1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

3、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？

例：

甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析：

甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。

200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

练习

1、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。

已知甲比乙快，求二人的速度。

2、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。

至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？

3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。

若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？

例：

有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？

分析：

根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。

所以这个自然数最小是137。

练习

1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？

2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？

3、一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。

这袋糖至少有多少块？

例：

在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。

如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。

三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。

因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。

因此，木棍总共被锯成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。

练习

1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？

2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。

在120米内一共留下多少个脚印？

3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。

如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？

3.五

（1）班学生参加跳绳比赛，进行分组。

按每组6人或每组8人，都能恰好分成若干组，参加跳绳比赛的至少有多少人？

解答：

[6，8]=24所以参加跳绳比赛的学生至少有24人。

4.把47根跳绳和36个毽子分别平均分给一个组的同学，结果跳绳剩2根，毽子剩1个，你知道这个组最多有几名同学吗？

解答：

（45，35）=5所以这个组最多有5名同学。

5.一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯。

现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏。

为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的。

不需要重新安装的路灯至少有多少盏？

解答：

[6，9]=18；0，18、36、54、72

答：

不需要重新安装的灯至少有5盏。

6.五

（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。

这个班可能有学生（24）人或（48）人。

解答：

[3，4，6，8]=24所以这个班可能有学生24或48人。

练习

1、24的因数共有多少个？

36的因数共有多少个？

24和36的公因数是哪几个？

其中最大的一个是？

答：

24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。

其中最大的一个是12。

2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？

（长和宽都是素数）

答：

长方形的长是19厘米，宽是17厘米。

3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

答：

它们的最小公倍数是35。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？

答：

这两个数分别是24和40。

5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

答：

另一个数是42。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？

答：

至少需要221块水泥板。

7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？

一共可以截成多少段？

答：

每段最长30厘米，一共可以截成12段。

8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答：

这两个数是42和6或18和30。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？

答：

这些碗最少有60个。

10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？

答：

A、B两个自然数的和是48。

例：

两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

分析：

根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数，且这两个数一定是最大公因数的倍数，这两个数除以最大公因数得到的商互素。

根据题意：

　　当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=30，15×3=45。

所以，这两个数是15和90或者30和45。

练习

1、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

2、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？

3、两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？

例：

两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

分析：

我们把这两个自然数称为甲数和乙数。

因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。

根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。

又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和4