小初高学习学年度八年级数学上册 第12章 全等三角形 122 三角形全等的判.docx

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小初高学习学年度八年级数学上册第12章全等三角形122三角形全等的判

12.2三角形全等的判定

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共20小题）

1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD

2．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

3．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB=DEB．DF∥ACC．∠E=∠ABCD．AB∥DE

4．如图，已知∠ABC=∠BAD．下列条件中，不能作为判定△ABC≌△BAD的条件的是（　　）

A．∠C=∠DB．∠BAC=∠ABDC．BC=ADD．AC=BD

5．如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．HL

6．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等

C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等

7．下列说法：

①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB=CF，∠A=∠D，增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）

A．DF∥ACB．AB=DEC．∠E=∠ABCD．AB∥DE

10．如图，如果AD∥BC，AD=BC，AC与BD相交于O点，则图中的全等三角形一共有（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

11．如图，任意画一个△ABC（AC≠BC），在△ABC所在平面内确定一个点D，使得△ABD与△ABC全等，则符合条件的点D有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．

13．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC

14．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．15B．12.5C．14.5D．17

15．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（　　）

A．75°B．70°C．65°D．60°

16．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：

①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

17．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

18．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．

A．①B．②C．③D．④

19．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）

A．AASB．SASC．ASAD．SSS

20．如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

二．填空题（共8小题）

21．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　（只需写一个，不添加辅助线）．

22．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　　．

23．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　　分钟后△CAP与△PQB全等．

24．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　　．（写一种即可）

25．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=　　．

26．如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若AB=18，则GE之长为　　．

27．现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　　种．

28．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是　　．

三．解答题（共8小题）

29．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：

△AEC≌△BED；

30．如图，点E，H，G，N在一条直线上，∠F=∠M，EH=GN，MH∥FG．求证：

△EFG≌△NMH．

31．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．

32．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：

AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？

若是请给出证明；若不是，请说明理由．

33．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

（1）求证：

△AEF≌△DEB；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

34．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：

OB=OC．

35．如图，有一个池塘，要到池塘两侧AB的距离，可先在平地上取一个点C，从C不经过池塘可以到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？

36．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．

解：

∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．

故选：

D．

2．

解：

乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

SAS，

所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

AAS，

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等；

故选：

B．

3．

解：

A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．

B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．

C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．

D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．

故选：

A．

4．

解：

A、添加∠C=∠D时，可利用AAS判定△ABC≌△BAD，故此选项不符合题意；

B、添加∠BAC=∠ABD，根据ASA判定△ABC≌△BAD，故此选项不符合题意；

C、添加AB=DC，根据SAS能判定△ABC≌△BAD，故此选项不符合题意；

D、添加AC=DB，不能判定△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；

故选：

D．

5．

解：

∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

故选：

D．

6．

解：

两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；

而B构成了AAA，不能判定全等；

D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．

故选：

D．

7．

解：

①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可利用SAS判定两直角三角形全等；

②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等，可利用ASA判定两直角三角形全等；

③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，能判定两直角三角形全等；

④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等，不能判定两直角三角形全等．

故选：

C．

8．

解：

A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

C、如图1，∵∠DEC=∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC=x°+∠BDE，

∴∠FEC=∠BDE，

所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD=FC=3，

所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；

D、如图2，∵∠DEC=∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC=x°+∠BDE，

∴∠FEC=∠BDE，

∵BD=FC=2，∠B=∠C，

∴△BDE≌△CEF，

所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；

由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，

故选：

C．

9．

解：

∵EB=CF，

∴EB+BF=BF+CF，即EF=BC，且∠A=∠D，

∴当DF∥AC时，可得∠DFE=∠C，满足AAS，可证明全等；

当AB=DE时，满足ASS，不能证明全等；

当∠E=∠ABC时，满足ASA，可证明全等；

当AB∥DE时，可得∠E=∠ABC，满足ASA，可证明全等；

故选：

B．

10．

解：

共4对，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，

理由是：

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD．

在△ABD和△CDB中，

，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

同理△ACD≌△CAB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD，

同理△AOD≌△COB，

故选：

B．

11．

解：

如图所示，∵AB为公共边，

∴D点有4种可能的位置（含D与C重合），

故选：

D．

12．

解：

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=90°．

∵∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3．

∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2

故选：

B．

13．

解：

A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

故选：

C．

14．

解：

如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，

∴∠D=∠ABE，

又∵∠DAB=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

又∵AD=AB，

∴△ACD≌△AEB，

∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，

∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，

∵S△ACE=

×5×5=12.5，

∴四边形ABCD的面积为12.5，

故选：

B．

15．

解：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△DBE和△ECF中，

，

∴△DBE≌△ECF（SAS），

∴∠EFC=∠DEB，

∵∠A=50°，

∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，

∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，

∴∠DEB+∠FEC=115°，

∴∠DEF=180°﹣115°=65°，

故选：

C．

16．

解：

∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，

∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；

∴OD=CO，

∴BD=AC，

∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；

∴AE=BE，

连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），

∴∠AOE=∠BOE，

∴点E在∠O的平分线上，故③正确，

故选：

D．

17．

解：

∵O是AA′、BB′的中点，

∴AO=A′O，BO=B′O，

在△OAB和△OA′B′中

，

∴△OAB≌△OA′B′（SAS），

故选：

A．

18．

解：

第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；

第②、③只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

最省事的方法是应带④去，

故选：

D．

19．

解：

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=∠ACD=90°，

在△ACB和△ACD中，

，

∴△ACB≌△ACD（SAS），

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

故选：

B．

20．

解：

小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，

他根据的定理是：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．

故选：

D．

二．填空题（共8小题）

21．

解：

添加AB=ED，

∵BF=CE，

∴BF+FC=CE+FC，

即BC=EF，

∵AB∥DE，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

故答案为：

AB=ED．

22．

解：

添加AC=BC，

∵△ABC的两条高AD，BE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，

∴∠EBC=∠DAC，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC（AAS），

故答案为：

AC=BC．

23．

解：

∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，

AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12﹣x=x，

解得：

x=6，BQ=12≠AC，

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：

运动4分钟后△CAP与△PQB全等；

故答案为：

4．

24．

解：

可添加AC=BD，

∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠C=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），

故答案为：

AC=BD．

25．

解：

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥DE，

∴∠BDA=90°，

∴∠BAD+∠DBA=90°，

∴∠DBA=∠CAE，

∵CE⊥DE，

∴∠E=90°，

在△BDA和△AEC中，

，

∴△BDA≌△AEC（AAS），

∴DA=CE=2，AE=DB=3，

∴ED=5．

26．

解：

∵AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，

∴△AEC≌△BED，

∴∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=BD，

又∵D为线段FB的中点，

∴AC=FD，AC∥FD，

∴四边形ACFD为平行四边形，

∴△AGC∽△BGF，

∴

，

∵AB=18，

∴AG=6，

∵AE=EB=9，

∴GE=AE﹣AG=9﹣6=3．

故答案为：

3

27．

解：

输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；

故答案为4．

28．

解：

在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS）．

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

故答案为：

SSS．

三．解答题（共8小题）

29．

证明：

∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD=∠BOE．

在△AOD和△BOE中，

∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠BEO，

∴∠AEC=∠BED．

在△AEC和△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA）．

30．

证明：

∵EH=GN，

∴EG=NH，

∵MH∥FG，

∴∠EGF=∠NHM，

∴在△EFG和△NMH中

∴△EFG≌△NMH．

31．

解：

猜想：

BF⊥AE．

理由：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD=90°．

又BC=AC，BD=AE，

∴△BDC≌△AEC（HL）．

∴∠CBD=∠CAE．

又∴∠CAE+∠E=90°．

∴∠EBF+∠E=90°．

∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．

32．

（1）证明：

∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACE中，

∵

，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°．

∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同

（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．

33．

证明：

（1）∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵△AEF≌△DEB，

∴BE=FE，

∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB，

∵AB=AC，

∴DF=AC，

∴四边形ADCF是矩形．

34．

证明：

在Rt△ABC和Rt△DCB中

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），

∴∠OBC=∠OCB，

∴BO=CO．

35．

解：

量出DE的长就等于AB的长，理由如下：

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE．

36．

解：

∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵

，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：

楼高AB是26米．