届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx
- 文档编号:4963335
- 上传时间:2022-12-12
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:273.85KB
届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx
《届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.平面的基本性质
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
(2)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:
.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.(教材改编)如图731所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
图731
A.30° B.45°
C.60°D.90°
C [连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
3.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是平面的基本性质公理.]
4.(2016·山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.]
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
b与α相交或b⊂α或b∥α
平面的基本性质
如图732,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
图732
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
【导学号:
01772249】
[证明]
(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1.2分
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.5分
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈直线CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD.8分 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.12分 [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法: (1)直接法: 证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法: 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法: 先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法: 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法: 选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. [变式训练1] 如图733所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊 AD,BE綊 FA,G,H分别为FA,FD的中点. 图733 (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面? 为什么? [解] (1)证明: 由已知FG=GA,FH=HD,得GH綊 AD.2分 又BC綊 AD, ∴GH綊BC,∴四边形BCHG是平行四边形.5分 (2)C,D,F,E四点共面,理由如下: 由BE綊 AF,G为FA的中点知BE綊GF, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.8分 由 (1)知BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.12分 空间直线的位置关系 (1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) 【导学号: 01772250】 A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 (2)(2017·郑州模拟)在图734中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). ① ② ③ ④ 图734 (1)D (2)②④ [ (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交. (2)图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.] [规律方法] 1.异面直线的判定方法: (1)反证法: 先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. [变式训练2] (2017·烟台质检)a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题: ①若a∥M,b∥M,则a∥b或a,b相交或a,b异面;②若b⊂M,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确的为( ) A.①④ B.②③ C.③④D.①② A [对于①,当a∥M,b∥M时,则a与b平行、相交或异面,①为真命题.②中,b⊂M,a∥b,则a∥M或a⊂M,②为假命题.命题③中,a与b相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以①④为真命题.] 异面直线所成的角 (1)如图735,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) 图735 A. B. C. D. (2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. (1)D (2)A [ (1)连接BC1,易证BC1∥AD1, 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1,由AB=1,AA1=2, 则A1C1= ,A1B=BC1= , 在△A1BC1中,由余弦定理得 cos∠A1BC1= = . (2)设平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等,即∠CD1B1为m,n所成的角. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为 .] [规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤: (1)作: 通过作平行线,得到相交直线的夹角. (2)证: 证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求: 解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. [变式训练3] 如图736,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 图736 [取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD, 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点, 所以AD∥BC, 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点, 所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形, 所以C1D= AD, 所以直线AC1与AD所成角的正切值为 , 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .] [思想与方法] 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为相交直线的夹角,体现了转化与化归思想. [易错与防范] 1.异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 第四节 直线、平面平行的判定及其性质 [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 3.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α⇒a∥b. (2)a⊥α,a⊥β⇒α∥β. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( ) (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.( ) (4)若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面平行.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)下列命题中,正确的是( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α D [根据线面平行的判定与性质定理知,选D.] 3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B [当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.] 4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是________. 【导学号: 01772254】 平行 [如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线, ∴EF∥BD1, 又EF⊂平面ACE, BD1⊄平面ACE, ∴BD1∥平面ACE.] 5.(2017·河北石家庄质检)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m⊂α,n∥α,则m∥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ; ③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中是真命题的是________(填上序号). ② [①,m∥n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③,m∥β或m⊂β,故③错误;④,α∥β或α与β相交,故④错误.] 与线、面平行相关命题真假的判断 (2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 D [A项,α,β可能相交,故错误; B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误; C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误; D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.] [规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项. 2. (1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. [变式训练1] (2017·唐山模拟)若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是( ) A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥n D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β D [在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A错误.在B中,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则由线面平行的判定定理得n∥β,故D正确.] 直线与平面平行的判定与性质 (2016·南通模拟)如图741所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点. (1)当 等于何值时,BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值. 图741 [解] (1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时 =1.2分 连接A1B,交AB1于点O,连接OD1. 由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形, ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点, ∴OD1∥BC1.4分 又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. ∴当 =1时,BC1∥平面AB1D1.6分 (2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得 BC1∥D1O,8分 ∴ = , 又由题 (1)可知 = , =1, ∴ =1,即 =1.12分 [规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用反证法(线面平行的定义); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. [变式训练2] (2014·全国卷Ⅱ)如图742,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. 图742 (1)证明: PB∥平面AEC; (2)设AP=1,AD= ,三棱锥PABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离. [解] (1)证明: 设BD与AC的交点为O,连接EO. 因为四边形ABCD为矩形, 所以O为BD的中点, 又E为PD的中点, 所以EO∥PB.3分 因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC, 所以PB∥平面AEC.5分 (2)由V= PA·AB·AD= AB, 又V= ,可得AB= . 作AH⊥PB交PB于点H.7分 由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH, 故AH⊥平面PBC. 在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB= ,所以AH= = . 所以A到平面PBC的距离为 .12分 平面与平面平行的判定与性质 如图743所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: 图743 (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. [证明] (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点, ∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.2分 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四点共面.5分 (2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点, ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG.7分 ∵A1G綊EB, ∴四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG.10分 ∵A1E∩EF=E, ∴平面EFA1∥平面BCHG.12分 [迁移探究] 在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证: HD∥平面A1B1BA. [证明] 如图所示,连接HD,A1B, ∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点, ∴HD∥A1B.5分 又HD⊄平面A1B1BA, A1B⊂平面A1B1BA, ∴HD∥平面A1B1BA.12分 [规律方法] 1.判定面面平行的主要方法: (1)面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行的性质定理的作用: (1)判定线面平行; (2)判断线线平行,线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想.解题时要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向. 易错警示: 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时,需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. [变式训练3] (2016·山东高考)在如图744所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB. 图744 (1)已知AB=BC,AE=EC,求证: AC⊥FB; (2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证: GH∥平面ABC. [证明] (1)因为EF∥DB, 所以EF与DB确定平面BDEF.2分 如图①,连接DE. 因为AE=EC,D为AC的中点, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF.4分 因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.5分 ① (2)如图②,设FC的中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点, 所以GI∥EF.8分 又EF∥DB,所以GI∥DB. 在△CFB中,因为H是FB的中点, 所以HI∥BC.又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.12分 ② [思想与方法] 1.线线、线面、面面平行的相互转化 其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化. 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法; (2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法; (2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β. [易错与防范] 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误. 2. (1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件. (2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交. 3.在应用性质定理时,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”,另外要注意符号语言的规范应用.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系 届高三 数学 一轮 复习 精品 讲义 练习 答案 空间 直线 平面 之间 位置 关系