《方程的意义》教案.docx
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《方程的意义》教案
方程的意义
教学内容:
青岛版小学数学五年级上册49页—51页信息窗1第1课时
教学目标
1.结合具体情境理解方程的意义,会用方程表示简单的等量关系。
2.借助天平亲自参与操作和实验,在经历天平由平衡→不平衡→平衡的动态过程中,加深对方程及等式意义的理解。
3.感受方程与现实生活的密切联系,提高对数学的兴趣和应用意识。
教学重难点
教学重点:
“方程”模型的建立。
教学难点:
找到题目中的等量关系,用方程表示等量关系。
教具、学具
教师准备:
多媒体课件、天平。
教学过程
一、拟定导学提纲,自主预习
1.创情板题
谈话:
同学们,你们知道我们国家的国宝是什么?
生:
大熊猫。
今天老师带来了国家一级保护动物的几幅图片,动物园的叔叔正在科学的喂养大熊猫,我们一起来看看这里蕴含着那些数学问题?
(课件展示)
今天这节课,我们就以大熊猫为话题,来研究其中的数学问题。
(板书课题:
方程的意义)
2.出示目标:
本节课要达到以下学习目标:
[
(1)结合具体情境理解方程和等式的意义,会用方程表示简单的等量关系。
(2)借助天平,加深对方程及等式意义的理解。
]
3.自学指导:
过渡语:
为了完成本节课的目标,需要靠大家的努力,请看自学指导。
【认真看课本49—51页内容,重点看第一个红点中的内容。
思考:
(1)如何用天平表示相等式子?
和不相等式子?
(2)怎样用含有字母的式子表示等量关系?
(3)什么叫方程?
】
5分钟后,看谁的收获最多。
4.看一看:
师:
请按自学指导的要求认真自学,比一比谁的坐姿最端正,学习效果最好!
自学竞赛开始。
二、汇报交流,评价质疑
1.调查:
看完的同学请举手,看会的请放下。
指名读情境图中的文字,引导学生明确题目中信息。
2.汇报交流:
第一个问题:
(1)理解用天平表示相等的式子。
(师出示板贴:
天平的左边放一个盛米粉的碗,右边放一个20克的砝码,天平平衡。
)
预测生1:
天平平衡。
师:
平衡说明了什么?
预测生2:
平衡说明了两边的物体是相等的。
师:
你能用一个试子表述出你看到的现象吗?
预测生3:
一个碗的质量=20克。
(师出示板贴:
天平的左边放一个20克的碗和一袋50克的米粉,右边放一个70克的砝码,天平平衡。
)
师:
你还能用一个试子表述出你看到的现象吗?
预测生:
一个碗的质量+一袋米粉的质量=70克。
师:
还有不同写法吗?
预测生:
20+50=70.
师:
像这样用等号连接的式子就是等式。
谁能试着来说一个等式吗?
预测生:
60+30=9030+70=100100-60=40
师出示图片:
师:
说出你看到的现象。
预设生:
天平平衡。
左右边相等。
师:
能用一个式子表示出你看到的现象吗?
预设生:
20+x=70
师:
通过刚才说的这些等式,我们发现“=”不但可以表示运算的结果,还可以表示相等的关系。
(2)理解不相等的关系.
出示图片:
师:
说出你看到的现象。
预设生:
天平不平衡了。
左边重了,右边清了。
师:
用一个式子表示出你看到的现象吗?
预设生:
20+x>50.
师出示图片:
师:
说出你看到的现象。
预设生:
天平不平衡了。
右边重了,左边清了。
师:
用一个式子表示出你看到的现象吗?
预设生:
20+x<100
第二个问题:
用含有字母的式子表示等量关系。
(出示课件)
(学生尝试做。
)
展示交流:
2x=1503x+10=100
(师:
借助天平学习含有未知数的等式与不等式,既有助于让学生的数学学习前后贯通,又便于学生的前后比较。
)
(1)学生在汇报交流中体会怎样找等量关系式,怎样写出含有字母的式子。
学生在汇报时,可能会出现以下情况:
学生在交流时可能会说:
因为天平平衡,所以左边等于右边,用含有字母的式子表示为:
2x=1503x+10=100
(友情提示:
学生可能说出的字母不用x表示,生说什么字母,师就板书什么字母。
)
第三个问题:
揭示方程的意义。
师:
现在有这么多的式子,你能给这些式子分分类吗?
(生分组讨论交流。
)预设生:
分四类,把等式和不等式分开,然后把等式和不等式其中有字母和没有字母的再分开。
等式:
20+50=70.(不含有字母)20+x=70(含有字母)。
不等式:
20+x>5020+x<100
师:
我们这节课只研究含有未知数等式,这些式子叫方程。
谁来说一说什么叫方程?
判断方程的依据是什么?
预设生:
含有未知数等式,叫方程。
预设生:
方程必须具备两个条件:
含有未知数,一定是等式。
师:
等式和未知数是判断方程的依据,二者缺一不可。
等式里面包括方程,方程是等式一部分。
方程必须具备两个条件:
一是等式,二要含有未知数。
三、抽象概括,总结提升
师小结:
同学们,通过今天的学习,你们对等式又有了新的了解,根据已知信息写出含有字母的式子,首先要认真阅读信息,找出关键性的语句,用笔圈出来,根据关键性的语句再找出数量间的相等关系,最后根据等量关系式写出含有字母的式子。
根据等量关系式写含有字母的式子时,已知的量用相应的数字表示,不知道的量用字母表示。
把需要很多个文字叙述清楚的数量关系,只要用一个含有字母的式子就可以表示出要表达的意思,这就是数学的魅力。
四、巩固练习加强应用
1.课本50页第1题:
(根据方程的两个条件来判断。
)
2.课本51页第2题看图列方程:
(1)借助天平平衡的原理找出数量间的相等关系;
(2)列出方程;
(3)班内订正。
(“实物展台”展示代表性作业,关注班级的后进生。
3.课本51页第3题
(1)看图,说一说题目的意思;
(2)学生独立填写等量关系式;
(3)班内交流等量关系式,引导学生明确等量关系式的名称,结合示意图说明数量间的相等关系;
(4)根据数量关系式列出方程。
(“实物展台”展示代表性作业,关注班级的后进生。
使用说明
1.设计说明:
本节教案,我是从以下几点设计的:
(1)充分利用“一体机”,展示和有针对性的处理课堂中出现的典型错误。
多媒体教学有利于激发学生的兴趣,特别是“一体机”的使用一些过去难以用语言描述的过程,现在用“实物展台”,更是方便了教师,提高了课堂教学的效率,激发了学生的兴趣。
在突破本节课的难点的时候,“一体机”的使用更是大显身手,把学生出现的典型错误,一目了然的呈现在大屏幕上。
(2)练习题设计由题目层次的变化体现题目的全面性。
从比较基本的的题目,到动手计算,再到综合运用的应用题,逐步加深难度。
在这三组练习题中,基本涵盖了本节课的所有类型的典型题目,既有比较基础的题目,也有应用一些知识灵活处理实际问题的题目。
(3)在设计教案和经历“方程”建模的过程中,体会数学的简约之美。
在教案的设计上以“简约”为主,在设计时,我把可有可无的图片删掉,以节约空间,另外,本节课学生经历了一个这样的过程:
由叙述较烦琐的文字信息——找到关键性的语句——把关键性的语句用等量关系表示(概括性的文字与数学符号结合)——等式(方程)(数学符号表示)。
学生在一次次的简化表示中体会到符合化思想,感受到数学的魅力,激发对数学的热爱之情。
2.使用建议
列方程的关键是找等量关系,所以教师要注重引导学生进行找等量关系的等量练习,为列方程解题扫除障碍。
3.需破解的问题
部分学生不喜欢用方程解决实际问题,感受不到用列方程的办法解决问题比较简洁,易懂。
所以教师要引导学生实现由“算数思维”向“代数思维”的转变。
第1课时 方程的根与函数的零点
1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.
2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.
3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.
一个小朋友画了两幅图:
问题1:
上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?
显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.
问题2:
(1)什么是函数的零点,零点是点吗?
(2)二次函数的零点个数如何判断?
(1)对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.
(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当 时,有两个零点;当Δ=0时,有 零点;当 时,没有零点.
问题3:
函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
问题4:
(1)零点存在性定理的内容是什么?
(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?
请举例说明.
(1)零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
(2)至少有一个.
(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.
利用零点的概念求零点
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.
函数零点所在区间的判定
函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
函数零点的个数判定
函数f(x)=
+x2-2x有几个零点?
(___·北京卷)已知函数f(x)=
-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ).
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)
考题变式(我来改编):
第1课时 方程的根与函数的零点
知识体系梳理
问题2:
(1)f(x)=0
(2)Δ>0 一个 Δ<0
问题4:
(1)f(a)·f(b)<0
重点难点探究
探究一:
【解析】
(1)令
=0,解得x=-3,所以函数f(x)=
的零点是-3.
(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,
所以方程x2+2x+4=0无实数根,
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(3)令2x-3=0,解得x=log23,
所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
(4)令1-log3x=0,解得x=3,
所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.
探究二:
【解析】因为f(0)=-1<0,f
(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.
【答案】C
【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号,再用函数的零点存在性定理判断.
探究三:
【解析】由
+x2-2x=0,得
=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=
和y=-x2+2x的图象,如图所示.
由图可知,两个函数图象有2个交点,所以函数f(x)=
+x2-2x有2个零点.
[问题]得到的答案是否正确?
[结论]不正确,画图不够准确.
(法一)由
+x2-2x=0,得
=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=
和y=-x2+2x的图象,如图所示.
由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数f(x)=
+x2-2x有3个零点.
(法二)解方程
+x2-2x=0,即
=0,(x-1)·(x2-x-1)=0,所以方程有三个解,分别为x1=1,x2=
x3=
.
【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:
①解方程;②画出函数图象,根据图象与x轴交点的个数判断零点的个数;③结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;④把方程转化为两个函数,画出两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.
全新视角拓展
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f
(1)=6-0=6>0,f
(2)=3-1=2>0,f(4)=
-log24=
-2=-
<0,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
【答案】C
思维导图构建
实数x x轴 有零点 f(a)·f(b)<0
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- 方程的意义 方程 意义 教案