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梯形
《多边形的面积》课标解读
一、课标要求
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“探索一些图形的形状、大小和位置关系,了解一些几何体和平面图形的基本特征”“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念,感受符号和几何直观的作用”“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考,体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性”。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“课程内容”的“第二学段”中提出了“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式,并能解决简单的实际问题”“会用方格纸估计不规则图形的面积”。
二、课标解读
“多边形的面积”是图形与几何领域“测量”中的重要内容。
通过本单元的教学,要引导学生探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式,会计算组合图形的面积,在观察、实验、猜想、验证等活动中,渗透平移、旋转、转化等数学思想方法,发展合情“推理能力”,促进学生“空间观念”的进一步发展、感受“几何直观”和“符号意识”的作用,渗透估测意识、策略,了解解决问题方法的多样性,培养学生的“应用意识”和“创新意识”。
下面就围绕“空间观念”“应用意识”及“创新意识”等课标内容,结合“多边形的面积”单元教学,进行简要解析。
(一)依托转化思想,发展“空间观念”
《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。
本单元“多边形的面积”计算,是以长方形面积计算为基础,以图形间的内在联系为线索,借助将未知转化为已知的基本方法开展学习,各图形面积计算公式的推导都采用了“转化”的方法,即设法将所研究的图形转化为已经会计算面积的图形:
如将平行四边形转化为长方形、三角形转化为平行四边形、梯形转化为平行四边形或三角形等。
在“组合图形的面积”教学中,同样突出了转化思想,只不过是用分解的方法将组合图形转化为简单图形。
在一系列的操作过程中,学生进一步体会所学各种图形的特征、图形之间的关系、图形之间的位置关系,还体验了图形的平移、旋转以及转化的数学思想方法,促使空间观念得到进一步发展。
(二)凸显数学本质,渗透“应用意识”
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对“应用意识”这一核心概念的表述是:
应用意识有两个方面的含义,一方面,有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;另一方面,认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决。
在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识,综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
对照《义务教育数学课程标准(2011年版)》的要求,我们要有意识地培养学生的数学应用意识,使他们体会到数学的应用价值。
例如在单元开始探究平行四边形的面积时,首先应引导学生想到面积和面积单位的关系,想到用面积单位来测量面积(本质),即用数方格的方法来计算面积(表面),渗透度量单位的应用意识;又如在教学“不规则图形的面积的估计”时,先引导学生从叶子的形状和大小提出问题,然后从现实生活中抽象出数学问题(不规则图形的面积),引导学生用数学方法(用面积单位估计面积,或看成某个简单图形用公式计算面积)予以解决,这也是应用意识的体现。
对照《义务教育数学课程标准(2011年版)》的要求,我们还要让学生认识到在现实生活中蕴涵着大量与多边形的面积计算有关的实际问题。
数学来源于生活,教材提供了学生熟知的情境:
花坛(平行四边形)、红领巾(三角形)、车窗玻璃和大坝横截面(梯形)、队旗、房子、风筝、七巧板(组合图形)、树叶(不规则图形)等,让学生认识到现实生活中蕴涵着大量与图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决,从而在生活中学习数学、运用数学。
在培养应用意识、解决实际问题的过程中,还要注意渗透估算思想、培养估算意识。
教师要引导学生合情合理地找到估算面积的方案(或思路),一是覆盖方格纸(面积单位)数方格来估计面积,二是转化成某个近似图形用公式计算面积。
同时,还应引导学生获得一定的估算策略和方法,例如:
可以数出图形内包含的完整小正方形数,估计这个图形的面积;在上面的基础上,再加上图形边缘接触到的所有小正方形数,估计这个图形的面积;对于学有余力的学生,还可以引导他们将所有的小正方形等分成更小的正方形,探索更接近实际面积的估计值。
(三)鼓励自主探索,体现“创新意识”
《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起,贯穿数学教育的始终。
在“多边形的面积”单元的教学中,运用转化的方法推导面积计算公式和计算面积,可以有多种途径和方法,教师不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上,要尊重学生的想法,鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题,独立思考,大胆创新,从不同角度进行转化。
如梯形的面积可以分成两个三角形、也可以分成一个平行四边形和一个三角形、还可以用两个一样的梯形拼成一个平行四边形等,从而发散思维,培养学生的“创新意识”;在探索组合图形面积的计算时,也要引导学生自主探究图形不同的组合方式,启发学生从不同的角度思考,发散思维,逐渐实现从“单一分割”到“多元分割”,从别出心裁的“添补”再到更高层次的“割补”,并在多种方法中根据实际条件选择最优方法,鼓励学生灵活思考、勇于创新。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“探索一些图形的形状、大小和位置关系,了解一些几何体和平面图形的基本特征”“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念,感受符号和几何直观的作用”“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考,体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性”。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“课程内容”的“第二学段”中提出了“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式,并能解决简单的实际问题”“会用方格纸估计不规则图形的面积”。
《多边形的面积》教材分析
本单元的教学内容主要有:
平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、不规则图形面积的估计。
平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的,它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。
到这一单元结束,多边形面积的计算已经基本结束。
组合图形的面积安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习,学生在进行组合图形面积计算的过程中,要把一个组合图形分解成已学过的平面图形并进行计算,可以巩固学生对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用,有利于发展学生的空间观念。
不规则图形面积的估计是此次最新教材新增的内容,教材从现实生活中(一片树叶)抽象出数学问题(不规则图形的面积)之后,引导学生用数学方法(用面积单位估计面积,或看成某个简单图形用公式计算面积)予以解决,这是应用意识的含义之一;同时渗透估算思想,培养估算意识;在教学中,还要注意体现解决问题的一般步骤(阅读与理解、分析与解答、回顾与反思),形成解决问题的良好习惯。
以下是针对各部分内容的具体分析。
一、平行四边形、三角形、梯形面积计算
因为平行四边形、三角形和梯形面积计算联系比较紧密,本单元教材把这些内容编排在一起,突出了以下特点:
(一)加强知识之间的联系
根据图形面积计算之间的内在联系安排教学顺序,以促进知识的迁移和学习能力的提高,安排顺序如下:
(二)加强动手实践、自主探索,让学生经历知识的形成过程
各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验,先将图形转化为已经学过的图形,再通过合作学习的方式,探索转化后的图形与原来图形的联系,发现新图形的面积计算公式这样一个过程。
按照学习的先后顺序,三种图形面积计算的探索要求逐步提高、逐层递进。
1.平行四边形面积计算
平行四边形面积的计算,先借助小精灵提示的“用数方格的方法试一试”,旨在渗透度量单位的应用意识,引导学生想到面积和面积单位的关系,用面积单位来测量面积(本质),即用数方格的方法来计算面积(表面);教材紧接着设计了一个表格,引导学生记录平行四边形的底、高、面积和长方形的长、宽、面积数据,然后对所得的数据进行比较和分析,从中发现两个图形之间的内在联系,也为探究平行四边形面积计算公式做了思维和方法的铺垫。
教材对于平行四边形面积公式的推导过程主要分四个层次呈现:
第一个层次,用学生的对话初步展现了思考、转化的过程;第二个层次,用一组示意图让刚才操作的过程更直观明了;第三个层次,通过一组问题让学生抽象出平行四边形和长方形之间的关系,发展了学生的思维,这一组问题是教材新增加的,非常明确、具体,从底、高、面积三个角度给学生指明了思考的方向,为顺利总结公式奠定基础;第四个层次,让学生独立总结平行四边形的面积公式和用字母表示公式,其中在用字母表示公式时,教材新增了一幅直观图,体现用字母
和
分别表示平行四边形的底和高,沟通了字母与图形之间的对应关系,更利于学生直观掌握面积公式。
例1是源于情境的实际问题,既可以指导学生应用计算公式解决实际问题,又可以验证计算公式的正确性(与数方格所得的面积相等)。
对于例1的解答过程,新教材特别注意规范书写格式,即先用字母表示计算公式,再将数据代入公式求值,有利于培养学生良好的学习习惯。
2.三角形面积计算
有了平行四边形面积计算的推导基础,三角形的面积计算就直接要求学生将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。
主题图呈现了学生两次小组活动的思维过程:
第一次活动以小女孩手中的红领巾引出“怎样算出红领巾的面积呢?
”这一问题充分体现了数学源于生活,由于学生刚研究过平行四边形的面积,所以自然而然就能想到“转化”的方法,将三角形转化成学过的图形;主题图中的第二次活动就呈现了学生们用三角形进行“转化”的操作过程。
两次活动之后,教材出示问题“观察拼成的平行四边形和原来的三角形,你发现了什么?
”这个问题较之前推导平行四边形面积公式时更抽象些,主要是考虑到学生在推导平行四边形面积时已经具备一定的比较经验,他们借助具体的图形可以发现其中的等量关系,从而自己总结出三角形的面积公式,培养学生的思维能力和总结概括能力。
3.梯形面积计算
到梯形面积的计算,由于学生已经经历、探索了平行四边形和三角形面积计算的推导过程,并形成了一定空间观念,因此教材的编排更加直接,通过提问:
“你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗?
”引导学生把梯形转化为已学过的图形来计算面积,进一步巩固“转化”的数学方法,培养迁移能力、推理能力和解决实际问题的能力。
另外,在教材中,每一种图形的面积计算均没有给出推导的过程和文字计算公式,以便于学生从多种途径探索,自己得出结论,从而给教师和学生都留有较大的创造空间。
(三)教材练习具有探索性,形式多样化,以促进学生对计算公式的理解和灵活运用
教材练习的编排减少了直接用公式计算的习题,安排了较多的应用问题、变式题、用间接条件求面积及画一画、分一分的操作性习题,并安排了一定数量的思考题。
习题的探索性也得到了加强(例如过去直接要求量出图形底和高的长度求出面积,现在则要求学生自己想办法求出图形的面积)。
《多边形的面积》重难点突破
一、渗透“转化”思想,理解面积计算公式的推导,掌握面积计算的方法
突破建议:
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法,本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。
在教学中,教师一方面要启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形,渗透“转化”的思想方法;另一方面要引导学生主动探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系,从而找到面积的计算方法,要利用讨论和交流等形式,让学生把自己操作──转化──推导的过程叙述出来,以发展学生的思维和表达能力。
1.教学平行四边形的面积时,应体会情境中“我只会算长方形的……”这句话所蕴含的深意,它既反映了学生现有的知识基础,又表明了探究平行四边形面积计算公式的思维方法(比较、转化),还指引了转化的方向。
在将平行四边形转化成长方形后,教师应引导学生通过观察和比较,发现原来图形和转化后图形之间的关系,从而推导出平行四边形面积计算公式。
2.教学三角形的面积时,情境中“能不能把三角形也转化成学过的……”这句话再次指明了探究方向,因为学生刚研究过平行四边形的面积,知道“转化”的方法,所以自然就能够想到将三角形转化成学过的图形。
教师要引导学生以推导平行四边形面积计算公式所积累的活动经验为基础,通过动手实践和探索,将三角形转化为已经会计算面积的图形:
可以引导学生只用一个三角形进行割补转化,也可以用两个完全一样的三角形进行拼摆转化(分层处理);在用两个完全一样的三角形进行转化时,应指导学生先在其中一个三角形上标明底和高,再动手进行拼摆和探索,从而突破三角形面积推导的难点。
3.教学梯形的面积时,可以放手让学生用不同的方法将梯形转化成已经会计算面积的图形(教学中分层处理),但同样要提出操作和探究的要求:
转化后是什么图形?
转化后图形的面积会不会计算?
转化后图形的面积与原来梯形的面积有什么关系?
引导学生根据自己的转化方法交流计算公式的推导过程(以拼摆的方法为重点),发展学生的推理能力和创新意识。
运用转化的方法推导平行四边形、三角形、梯形等面积计算公式时,可以有多种途径和方法。
教师注意不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上,要尊重学生的想法,鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题。
二、重视动手操作与实验,发展空间观念
突破建议:
本单元面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的,所以操作是本单元教学的重要环节。
教师既要做好引导,又要注意不要包办代替,一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作,通过实际操作活动,发展学生的空间观念,培养动手操作能力。
1.在“数”与“比”中发展数学思维。
在教学平行四边形时,“数方格”环节后是平行四边形与长方形的表格对比,在数一数、比一比中,教师要引导学生发现平行四边形的底、高、面积与长方形的长、宽、面积之间的等量关系,为后面的一系列转化奠定基础。
这一过程应让学生独立完成,有助于发展学生的思维。
2.在“剪”“拼”“摆”“画”等活动中发现图形之间的关系,培养空间观念。
例如平行四边形转化为长方形,是通过动手剪、平移、旋转等一系列操作活动得到的;三角形转化为平行四边形,则是让学生在“画”“拼”中发现原三角形与拼成的平行四边形等底等高,从而得出面积关系;在将梯形转化为已经会计算面积的图形时,更要放手让学生用拼、剪等不同的方法进行转化,揭示不同图形之间的关系以及位置关系,有效地发展学生的空间观念。
三、理解和掌握组合图形面积计算的方法
突破建议:
1.强化对组合图形的认识,明确组合图形的意义。
教师教学时可以先出示一些不规则图形,引导学生找找这些图形的特点,建立组合图形的表象;接着对这些图形进行具体分析,着重引导学生意识到组合图形不仅仅可以看成是简单图形“拼组”而成,还可以看成是从一个图形中“剪去”另一个图形;同样的简单图形,可以组成不同形状的组合图形;同一个组合图形,可以有不同的分解方法。
在这个环节,学生对组合图形的认识越深刻,对后面理解和掌握面积的计算方法越有帮助。
2.分析图形的组合方式,找准计算面积需要的数据。
计算组合图形的面积时,教师要让学生明确步骤:
第一步是把组合图形进行分解,即将“组合图形的面积”转化为“简单图形面积之和或差”;第二步是找计算面积时需要的条件。
教学中要着重对学生进行“分解方法”与“寻找数据”两方面的指导:
指导“分解方法”时,应使学生意识到分解要尽量简单,即分的图形越少,计算越简便;同时配合“寻找数据”,让学生体会到有些分解方法虽然可行、简便,但在已知条件中却找不到计算时需要的数据,从而淘汰不合理的分解方法。
四、形成不规则图形面积的估算策略
突破建议:
1.准确理解面积的本质,正确估算图形的面积。
学生在估计不规则图形的面积时,往往受图形“形状不规则”这一表征的影响,忽视了面积计算的本质理解。
教学时,教师要引导学生认识到,无论求什么图形的面积,其实质就是看它包含多少个面积单位,即面积的本质,从而顺利想到求面积的第一种基本方法──数方格。
此外,也可以借助学生已有的知识经验(会计算各种图形的面积),启发学生将已有图形近似看成某个规则图形,用面积计算公式予以解决。
2.体会方法多样,感悟估算价值。
在对“数方格”的估算方法进行深入探讨时,要注意体会方法的多样化:
方法一,数出图形内包含的完整方格数,估计这个图形的面积;方法二,在完整方格数的基础上,再加上不完整的方格数,估计这个图形的面积;在此基础上可以进一步引导学生发现,第一种方法估计的比实际面积小,第二种方法估计的比实际面积大,实际面积应在这两个估计值之间;方法三,将不满一格的都算半格,从而得到较为准确的估计值。
此外,学生获得的估算策略、估算方法,并不是对每个图形都适用的,要让学生体会到不同的估算策略各有其优劣。
如用“数方格”的方法,不仅可以估计图形的面积,还可以确定面积范围,但当图形过大时,这种方法就显得比较麻烦了,这时转化成近似的规则图形、用公式计算面积就比较方便。
此外,教材还通过提问“你是怎样估的?
”启发学生发散思维、开动脑筋,想出更多巧妙的估算方法。
教学中,教师要注意引导学生通过不同估算策略的对比,体会不同估算策略的价值。
梯形的面积
编排意图:
先通过一个生活实例引入梯形面积计算。
然后通过学生动手实验探索出面积计算公式,最后用字母表示出梯形面积计算公式。
要求又有提高,不再给出具体的方法,而是要求用学过的方法去推导梯形面积计算公式,方法与途径多样化。
教学建议:
(1)经过前面的学习,学生已经知道要把梯形转化为学过的图形进行推导,可直接要求用学过的方法去推导,不指明具体的方法。
(2)梯形面积计算公式推导有多种方法,教材显示了三种方法。
学生在操作实验中,可能会出现更多的方法,注意留给学生充分的操作和交流时间。
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