高考数学二轮复习热点题型专题十二 函数模型及其应用.docx
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高考数学二轮复习热点题型专题十二函数模型及其应用
专题十二函数模型及其应用
【高频考点解读】
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
【热点题型】
题型一几类常见函数模型
例1.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系是( )
A.y=0.1x+800(0≤x≤4000)
B.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)
C.y=-0.1x+800(0≤x≤4000)
D.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000)
解析:
y=0.2x+(4000-x)×0.3=-0.1x+1200.
答案:
D
【提分秘籍】应用函数模型解应用题要注意
(1)正确理解题意,选择适当的函数模型.
(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
(3)在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
【举一反三】
在某种新型材料和研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y=2x B.y=log2x
C.y=
(x2-1)D.y=2.61cosx
解析:
通过检验可知,y=log2x较为接近.
答案:
B
【热点题型】
题型二三种增长型函数模型的图象与性质
例2、f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)
【提分秘籍】三种模型的增长差异
在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,使得当x>x0时,有logax 【举一反三】 物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 解析: 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故选B. 答案: B 【热点题型】 题型三二次函数模型 例3、 (2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位: m)的取值范围是( ) A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30]0,30] 【提分秘籍】 解决二次函数型实际应用问题时,除利用条件建立目标函数外,还要注意自变量的取值范围,如果涉及最值问题,要注意对称轴与定义区间的关系. 【举一反三】 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位: 万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位: 辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606万元B.45.6万元 C.45.56万元D.45.51万元 【热点题型】 题型四分段函数模型 例4、 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位;万人)与x的关系近似地满足p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位: 元)与x的近似关系是q(x)= (1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位: 人)与x的函数关系式: (2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元? 【提分秘籍】分段函数模型的应用技巧 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数. (2)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值. (3)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值. 【举一反三】 如图,在平面直角坐标系中,AC平行于x轴,四边形ABCD是边长为1的正方形,记四边形位于直线x=t(t>0)左侧图形的面积为f(t),则f(t)的大致图象是( ) 【热点题型】 题型五指数函数模型 例5、将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有 升,则m=________. 【提分秘籍】 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率.细胞分裂等一系列问题,通常可以表示为y=a·(1+p)x的形式,利用指数运算与对数函数图象性质去求解. 【举一反三】 某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元,且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同,则2013年预计经营总收入为________万元. 【热点题型】 题型六函数的实际应用问题 例6、小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)= x2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+ -38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注: 年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大? 最大利润是多少? 【提分秘籍】 函数模型的应用有两个方面: 一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题. 建立函数模型解应用问题的步骤如下: (1)审题: 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模: 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模: 求解数学模型,得出数学结论; (4)还原: 将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中. 【高考风向标】 1.(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D. -1 【答案】D 【解析】设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x= -1. 2.(2014·陕西卷)如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( ) 图12 A.y= x3- xB.y= x3- x C.y= x3-xD.y=- x3+ x 3.(2013·陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( ) A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y] 4.(2013·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【随堂巩固】 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( ) 2.国家规定某行业收入税如下: 年收入在280万元及其以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定: 每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元的水费收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( ) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 4.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为 万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( ) A.[4,8] B.[6,10] C.[4%,8%] D.[6%,100%] 5.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是: P= ,Q= (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元,则a的最小值应为( ) A. B.5 C.± D.- 6.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: ①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为________. 7.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y= t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 8.某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值.改造需要投入,假设附加值y(单位: 万元)与技术改造投入x(单位: 万元)之间的关系满足: ①y与a-x和x2的乘积成正比例;②当x= 时,y= ;③0≤ ≤t,其中t为常数,且t∈[0,2]. (1)设y=f(x),求f(x)的表达式,并求y=f(x)的定义域; (2)求出附加值y的最大值,并求出此时的技术改造投入x的值.
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- 高考数学二轮复习热点题型专题十二 函数模型及其应用 高考 数学 二轮 复习 热点 题型 专题 十二 函数 模型 及其 应用