创新设计一轮复习 第二章 第4节.docx

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创新设计一轮复习第二章第4节

第4节　幂函数与二次函数

考试要求　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

知识梳理

1.幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

（2）常见的5种幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减.

2.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式：

一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为（m，n）.

零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点.

（2）二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c（a>0）

y＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

（抛物线）

定义域

R

值域

对称轴

x＝－

顶点

坐标

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在上是减函数；

在上是增函数

在上是增函数；

在上是减函数

[微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时恒有f（x）>0，当时，恒有f（x）<0.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）函数y＝2x是幂函数.（　　）

（2）当n>0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上是增函数.（　　）

（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[a，b]）的最值一定是.（　　）

解析　

（1）由于幂函数的解析式为f（x）＝xα，故y＝2x不是幂函数，

（1）错.

（3）由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故（3）错.

（4）对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故（4）错.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2.（必修1P79T1改编）已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点，则k＋α＝（　　）

A.B.1C.D.2

解析　因为f（x）＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f（x）的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.

答案　C

3.（必修1P44A9改编）若函数f（x）＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.

解析　由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝，所以要使f（x）在[－1，2]上是单调函数，则有≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16.

答案　（－∞，－8]∪[16，＋∞）

4.（2016·全国Ⅲ卷）已知a＝2，b＝3，c＝25，则（　　）

A.b

C.b

解析　因为a＝2＝4，b＝3，c＝5又y＝x在（0，＋∞）上是增函数，所以c>a>b.

答案　A

5.（2019·衡水中学月考）若存在非零的实数a，使得f（x）＝f（a－x）对定义域上任意的x恒成立，则函数f（x）可能是（　　）

A.f（x）＝x2－2x＋1B.f（x）＝x2－1

C.f（x）＝2xD.f（x）＝2x＋1

解析　由存在非零的实数a，使得f（x）＝f（a－x）对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0.只有选项A中，f（x）＝x2－2x＋1关于x＝1对称.

答案　A

6.（2019·菏泽检测）幂函数f（x）＝（m2－4m＋4）·xm2－6m＋8在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为________.

解析　由题意知解得m＝1.

答案　1

考点一　幂函数的图象和性质

【例1】

（1）幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　）

（2）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a

C.b

解析　

（1）设幂函数的解析式为y＝xα，

因为幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），

所以2＝4α，解得α＝.

所以y＝，其定义域为[0，＋∞），且是增函数，当0

（2）因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，所以a＝

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

【训练1】

（1）（2019·洛阳二模）已知点在幂函数f（x）＝（a－1）xb的图象上，则函数f（x）是（　　）

A.奇函数B.偶函数

C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数

（2）（2018·上海卷）已知α∈，.若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，＋∞）上递减，则α＝______.

解析　

（1）由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2且b＝－1.故f（x）＝x－1是奇函数，但在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）不是单调函数.

（2）由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在（0，＋∞）上是减函数，

∴α<0，取α＝－1.

答案　

（1）A　

（2）－1

考点二　二次函数的解析式

【例2】（一题多解）已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

解　法一　（利用“一般式”解题）

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

由题意得解得

∴所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

法二　（利用“顶点式”解题）

设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.

因为f

（2）＝f（－1），

所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.

又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，

所以y＝f（x）＝a＋8.

因为f

（2）＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，

所以f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三　（利用“零点式”解题）

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0（舍）.

故所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

规律方法　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

【训练2】已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝________.

解析　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，

所以y＝f（x）的图象关于x＝2对称.

又y＝f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，

所以f（x）＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.

所以二次函数f（x）与x轴的两交点坐标为（1，0）和（3，0）.

因此设f（x）＝a（x－1）（x－3）.

又点（4，3）在y＝f（x）的图象上，

所以3a＝3，则a＝1.

故f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.

答案　x2－4x＋3

考点三　二次函数的图象及应用

【例3】

（1）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（　　）

（2）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a>0），已知f（m）<0，则（　　）

A.f（m＋1）≥0B.f（m＋1）≤0

C.f（m＋1）>0D.f（m＋1）<0

解析　

（1）若0

若a>1，则y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，

y＝（a－1）x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

（2）因为f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a>0，所以f（x）的大致图象如图所示.

由f（m）<0，得－1

所以m＋1>0，所以f（m＋1）>f（0）>0.

答案　

（1）A　

（2）C

规律方法　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

解析　A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；

B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；

D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.

答案　C

考点四　二次函数的性质　

多维探究

角度1　二次函数的单调性与最值

【例4－1】已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].

（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；

（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数.

解　

（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4，6]，

∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，

∴f（x）的最小值是f

（2）＝－1，

又f（－4）＝35，f（6）＝15，

故f（x）的最大值是35.

（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，

故a的取值范围是（－∞，－6]∪[4，＋∞）.

角度2　二次函数的恒成立问题

【例4－2】（2019·浙江“超级全能生”模拟）已知在（－∞，1]上递减的函数f（x）＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤2，则实数t的取值范围是（　　）

A.[－，]B.[1，]

C.[2，3]D.[1，2]

解析　由于f（x）＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，

又y＝f（x）在（－∞，1]上是减函数，所以，t≥1.

则在区间[0，t＋1]上，f（x）max＝f（0）＝1，

f（x）min＝f（t）＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，

要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤2，

只需1－（－t2＋1）≤2，解得－≤t≤.

又t≥1，∴1≤t≤.

答案　B

规律方法　1.二次函数最值问题的解法：

抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

（1）一般有两个解题思路：

一是分离参数；二是不分离参数.

（2）两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：

a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.

【训练4】已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R.

（1）若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；

（2）在

（1）的条件下，f（x）>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.

解　

（1）由题意知解得

所以f（x）＝x2＋2x＋1，

由f（x）＝（x＋1）2知，函数f（x）的单调递增区间为[－1，＋∞），

单调递减区间为（－∞，－1].

（2）由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k

令g（x）＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

由g（x）＝＋知g（x）在区间[－3，－1]上是减函数，则g（x）min＝g（－1）＝1，所以k<1，

故k的取值范围是（－∞，1）.

[思维升华]

1.幂函数y＝xα（α∈R）图象的特征

α>0时，图象过原点和（1，1）点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过（1，1）点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.

2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.

3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.

4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.

[易错防范]

1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（2019·济宁联考）下列命题正确的是（　　）

A.y＝x0的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）

C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

解析　A中，点（0，1）不在直线上，A错；B中，y＝xα，当α<0时，图象不过原点，B错；C中，当α<0时，y＝xα在（－∞，0），（0，＋∞）上为减函数，C错.幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D正确.

答案　D

2.若函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）（　　）

A.在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增

B.在（－∞，3）上递增

C.在[1，3]上递增

D.单调性不能确定

解析　由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f（x）在（－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞）上是递增的.

答案　A

3.（2019·北京朝阳区模拟）已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

A.1B.0C.－1D.2

解析　f（x）＝－x2＋4x＋a＝－（x－2）2＋a＋4，

∴函数f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，

∴当x＝0时，f（x）取得最小值，当x＝1时，f（x）取得最大值，

∴f（0）＝a＝－2，f

（1）＝3＋a＝3－2＝1.

答案　A

4.（2019·岳阳一中）已知函数y＝ax2＋bx－1在（－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是（　　）

解析　①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；

②当a>0时，－≥0⇒b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；

③当a<0时，－≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.

答案　B

5.已知p：

|m＋1|<1，q：

幂函数y＝（m2－m－1）xm在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　p：

由|m＋1|<1得－2

∵幂函数y＝（m2－m－1）xm在（0，＋∞）上单调递减，

∴m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.

∴p是q的必要不充分条件.

答案　B

二、填空题

6.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a等于________.

解析　设f（x）＝xα，则4α＝，所以α＝－.

因此f（x）＝x－，从而a－＝4（a＋3）－，解得a＝.

答案　

7.（2019·泉州质检）若二次函数f（x）＝ax2－x＋b（a≠0）的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.

解析　依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b>0.

故a＋4b≥2＝2，

当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立.

所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞）.

答案　[2，＋∞）

8.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是________.

解析　由题意可知函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x＝2（如图），若f（a）≥f（0），从图象观察可知0≤a≤4.

答案　[0，4]

三、解答题

9.已知幂函数f（x）＝（m－1）2xm2－4m＋2在（0，＋∞）上单调递增，函数g（x）＝2x－k.

（1）求m的值；

（2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：

x∈A，q：

x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.

解　

（1）依题意得：

（m－1）2＝1⇒m＝0或m＝2，

当m＝2时，f（x）＝x－2在（0，＋∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.

（2）由

（1）得，f（x）＝x2，

当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4），

当x∈[1，2）时，g（x）∈[2－k，4－k），

即B＝[2－k，4－k），

因p是q成立的必要条件，则B⊆A，

则即得0≤k≤1.

故实数k的取值范围是[0，1].

10.已知奇函数y＝f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）＝x（1－x）.

（1）求出函数y＝f（x）的解析式；

（2）写出函数y＝f（x）的单调递增区间.（不用证明，只需直接写出递增区间即可）

解　

（1）当x<0时，－x>0，

所以f（－x）＝－x（1＋x）.

又因为y＝f（x）是奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.

综上f（x）＝

（2）函数y＝f（x）的单调递增区间是.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

11.（2019·武汉模拟）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝（　　）

A.0B.1C.D.2

解析　BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），

所以M，N，

将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.

答案　A

12.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）＋f＝－2成立，则a2＋4b2的最小值为（　　）

A.B.C.16D.4

解析　由f（t）＋f＝－2知，存在实数t≠0，使＋a＋2b＝0成立，又a2＋4b2的几何意义为坐标原点与点（a，2b）的距离的平方，记2b＝m，u＝t＋，则u2≥4.故＋a＋2b＝0，即ua＋m＋u2＝0，其表示动点（a，m）的轨迹，设为直线l，则原点与点（a，m）的距离的最小值为原点到直线l的距离，故a2＋4b2≥＝≥.

答案　A

13.已知函数f（x）＝mx2＋（2－m）x＋n（m>0），当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1恒成立，则f＝________.

解析　当x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1恒成立.

∴

因此n＝－1，∴f（0）＝－1，f

（1）＝1.

由f（x）的图象可知：

要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，

∴2－m＝0，m＝2，

∴f（x）＝2x2－1，∴f＝－.

答案　－

14.已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈[－1，1]时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.

解　

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋1（a≠0），

则f（x＋1）－f（x）＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.

所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，

又f（0）＝1，所以c＝1，

因此f（x）的解析式为f（x）＝x2－x＋1.

（2）因为当x∈[－1，1]时，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，

所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；

即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.

所以令g（x）＝x2－3x＋1＝－，

因为g（x）在[－1，1]上的最小值为g

（1）＝－1，

所以m<－1.故实数m的取值范围为（－∞，－1）.

新高考创新预测

15.（思维创新）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（　　）

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

解析　设x1，x2分别是函数f（x）在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.

∴M－m＝x－x＋a（x2－x1），显然此值与a有关，与b无关.

答案　B