北师大附中初三上期中数学.docx
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北师大附中初三上期中数学
2016北师大附中初三(上)期中
数学
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的(请将答案写在答题纸上).
1.(3分)抛物线y=(x﹣2)2+1的顶点坐标是( )
A.(﹣2,﹣1)B.(﹣2,1)C.(2,﹣1)D.(2,1)
2.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,若∠AOB=100°,则∠ACB的度数是( )
A.40°B.50°C.60°D.80°
3.(3分)袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球,下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B.摸出的三个球中至少有一个球是白球
C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D.摸出的三个球中至少有两个球是白球
4.(3分)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD丄AB,∠CAB=20°,则∠BOD等于( )
A.20°B.30°C.40°D.60°
5.(3分)有一个可以自由转动且质地均匀的转盘,被分成6个大小相同的扇形.在转盘的适当地方涂上灰色,未涂色部分为白色.为了使转动的转盘停止时,指针指向灰色的概率为
,则下列各图中涂色方案正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.(3分)抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位,再向下平移3个单位,则平移后的抛物线的解析式为( )
A.y=﹣2(x+1)2+3B.y=﹣2(x+1)2﹣3
C.y=﹣2(x﹣1)2﹣3D.y=﹣2(x﹣1)2+3
7.(3分)如图,已知⊙O的半径为4,则它的内接正方形的边长为( )
A.4B.8C.8
D.4
8.(3分)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=﹣5D.x1=﹣1,x2=5
9.(3分)已知点A(﹣1﹣
,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3)在抛物线y=(x﹣1)2+c上,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2D.y2>y3>y1
10.(3分)小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走,他从点O出发,沿箭头所示的方向经过点M再走到点N,共用时70秒.有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程,设小阳走路的时间为t(单位:
秒),他与摄像机的距离为y(单位:
米),表示y与t的函数关系的图象大致如图②,则这个固定位置可能是图①中的( )
A.点QB.点PC.点MD.点N
二、填空题(本题共18分,每小题3分.请将答案写在答题纸上).
11.(3分)二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示,将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为 .
12.(3分)“双十二”期间,小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包,除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔(除颜色外其它都相同且数量有限).小冉的妈妈购买成功时,还有5支黑色,3支绿色,2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 .
13.(3分)在某次试验数据整理过程中,某个事件发生的频率情况如表所示.
试验次数
10
50
100
200
500
1000
2000
事件发生的频率
0.245
0.248
0.251
0.253
0.249
0.252
0.251
估计这个事件发生的概率是 (精确到0.01).
14.(3分)在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 .
15.(3分)已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2,4),B(8,2).如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是 .
16.(3分)阅读下面材料:
在学习《圆》这一章时,老师给同学们布置了一道尺规作图题:
小敏的作法如下:
老师认为小敏的作法正确.
请回答:
连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是 ;由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
17.(5分)已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)与x轴的交点坐标是 ;顶点坐标是 ;
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线.
x
…
…
y
…
…
18.(5分)如图,一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:
cm),求该光盘的直径是多少?
19.(5分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表:
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
4
6
6
4
0
…
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)直接写出当y<0时x的取值范围.
20.(5分)如图,有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花,其中红桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色.小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一张,将剩余3张洗匀后再摸出一张.请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.
21.(5分)已知:
如图,⊙O的半径是5cm,PA、PB切⊙O于点A、B两点,∠PAB=60°.求AB的长.
22.(5分)石头剪子布,又称“猜丁壳”,是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏.游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种,规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.两人游戏时,若出现相同手势,则不分胜负游戏继续,直到分出胜负,游戏结束.三人游戏时,若三种手势都相同或都不相同,则不分胜负游戏继续;若出现两人手势相同,则视为一种手势与第三人所出手势进行对决,此时,参照两人游戏规则.例如甲、乙二人同时出石头,丙出剪刀,则甲、乙获胜.假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势,那么:
(1)请你用画树状图或列表的方式,求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时,不分胜负的概率;
(2)请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时,不分胜负的概率.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
23.(5分)如图:
△ABC是⊙O的内接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°,
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.
(1)求证:
CD=CB;
(2)如果⊙O的半径为
,求AB的长.
24.(5分)学校要围一个矩形花圃,其一边利用足够长的墙,另三边用篱笆围成,由于园艺需要,还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分(如图所示),总共36米的篱笆恰好用完(不考虑损耗).设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米(要求AB<AD),矩形花圃ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)要想使矩形花圃ABCD的面积最大,AB边的长应为多少米?
25.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB:
y=5x﹣5与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点B关于原点O对称,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D,且在x轴上存在点P使得
△DAP的面积为6,直接写出满足条件的点P的坐标.
26.(5分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)若AB=4+
,BC=2
,求⊙O的半径.
五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
27.(7分)阅读下面材料:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=
交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)两点.
观察图象可知:
①当x=﹣3或1时,y1=y2;
②当﹣3<x<0或x>1时,y1>y2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+b>
的解集.
有这样一个问题:
求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集进行了探究.
下面是他的探究过程,请将
(2)、(3)、(4)补充完整:
(1)将不等式按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1>
;
当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1<
;
(2)构造函数,画出图象
设y3=x2+4x﹣1,y4=
,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
双曲线y4=
如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:
满足y3=y4的所有x的值为 ;
(4)借助图象,写出解集
结合
(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:
不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集为 .
28.(7分)我们规定:
在正方形ABCD中,以正方形的一个顶点A为顶点,且过对角顶点C的抛物线,称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线.
(1)在平面直角坐标系xOy中,点在轴正半轴上,点C在y轴正半轴上.
①如图1,正方形OABC的边长为2,求以O为顶点的对角抛物线;
②如图2,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为a,其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y=
x2,求a的值;
(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,且点A的坐标为(3,2),正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q,直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标.
29.(8分)我们规定:
平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d.
(1)①如图1,在平面直角坐标系xOy中,图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,直接写出以下各点到图形G1的距离跨度:
A(﹣1,0)的距离跨度;
B(
,﹣
)的距离跨度;
C(﹣3,2)的距离跨度;
②根据①中的结果,猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,图形G2为以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点,求k的取值范围.
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,射线OA:
y=
x(x≥0),圆C是以3为半径的圆,且圆心C在x轴上运动,若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2,直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围.
数学试题答案
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的(请将答案写在答题纸上).
1.【解答】∵y=(x﹣2)2+1是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,对称轴为直线x=2,故选D.
2.【解答】∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角,∠AOB=100°,
∴∠ACB=
∠AOB=50°.
故选B.
3.【解答】A
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