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8下10

个案内容

第十章图形的相似

10.1图上的距离与实际距离

教学目标：

知识目标：

1、了解线段比和成比例的线段；

2、掌握比例的基本性质。

能力目标：

能用比例的性质进行简单的计算。

情感目标：

在探索知识规律的过程中，用类比的方法认识数学对象，提高学生的数学素养。

教学重点：

掌握比例的性质

教学难点：

比例的性质及简单应用

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课：

同学们，大家见到过形状相同的图形吗？

请举出例子来说明.课本P102中两张图片；

本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习。

二、新课讲解：

1、两条线段的比的概念：

大家先回忆什么叫两个数的比？

怎样度量线段的长度？

怎样比较两线段的大小？

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n，或写成

=

，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项。

如果把

表示成比值k，则

=k或AB=k·CD。

求比时应注意的问题：

（1）比如：

线段a的长度为3cm，线段b的长度为6m，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？

（不对,因为a、b的长度单位不一致）因此在量线段时两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数。

2、实践：

见p102页的两幅不同比例尺的江苏省地图

（1）分别量出两幅地图中南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的地图上距离；

个案内容

（2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比是多少？

南京市与连云港市的图上距离的比是多少？

这两个比值之间有什么关系？

3、做一做：

量出数学书的长和宽（精确到0.1cm）,并求出长和宽的比.

如把单位改成mm和m,比值还相同吗？

从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？

4、比例几比例的基本性质：

小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？

怎样表示比例？

说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？

如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么

或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.

比例的基本性质为：

在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：

如果a:

b=c:

d或

（b,d都不为0），那么ad=bc.反之，若ad=bc，则a:

b=c:

d或

在

中，若b=c,那么b2=ad.，这时我们把b叫做a和d的比例中项。

比例还有其它一些重要的性质：

（1）如果

，那么

成立吗？

为什么？

（2）如果

，那么

成立吗？

为什么？

（3）如果

那么

成立吗？

为什么.

5、成比例线段：

四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段

6、线段的比和比例线段的区别和联系:

（1）线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.

（2）若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.

个案内容

注意：

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如

是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例；若a、c、d、b成比例，应表示为

三、课时小结：

1、两条线段的比，成比例线段的概念

2、表示法：

线段a、b的长度分别为m、n,则a∶b=m∶n.

3、求法：

先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.

4、注意点：

（1）两线段的比值总是正数.

（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.

（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.

（4）成比例线段注意写法

5、比例尺：

图上长度与实际长度的比.

四、练习：

1、分别求出实践中的南京市与徐州市之间的实际距离和南京市与连云港市的实际距离。

2、已知：

a、b、c、d是成比例的4条线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长度？

若条件改为a、b、d、c是成比例的4条线段，其它条件不变，线段d的长度是否改变？

3、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？

4、已知

=3,求

和

=

成立吗？

5、已知梯形的上底为a，下底为b，中位线为m，求

的值

五、作业：

习题10.1第1~4题

六、预习：

10.2黄金分割

什么是黄金分割？

10.2黄金分割

个案内容

教学目标：

知识目标：

1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段；

2、了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。

能力目标：

会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点。

情感目标：

在实际操作、思考、教学、欣赏的过程中进一步感悟教学与生活的密切联系，学会观察身边的事物，学会热爱生活，树立正确的价值取向。

教学重点：

黄金分割的意义。

教学难点：

怎样做一条线段的黄金分割点或在一个图形中找出黄金分割点。

教学过程：

一、课题引入，激发学习兴趣

1、一幅画，一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往不是在正中，这是为什么？

2、舞台上，报幕员并不站在舞台的中央，而是偏在舞台的一侧，这是为什么？

3、现在很多电视剧的画面不是满屏，而是上下有空余，这是为什么？

二、探索研究

其实在这些问题的背后都隐藏着一个数学上可以解释的秘密，下面就让我们来解开这个秘密。

1、请看下面的几个四边形（书上P107页），请同学们量出线段BC与AB的比值，算算大约是多少？

2、把书上10-2中的矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上（如图10-3）所示，此时点B把线段AB分成两部分，如果

，那么线段AC被点B黄金分割。

（有一种通俗的说法是：

小段与大段的比=大段与线段全长的比）点B为线段AC的黄金分割点。

AB与AC的比值为

，大约为0.618，这个比值称做黄金比。

问题：

一条线段的黄金分割点有几个？

3、对于一个矩形，如果它的两条边长度的比值约为0.618，这种矩形称做黄金矩形，前面的矩形就是黄金矩形。

4、“黄金分割”给人以美的感觉，用数学的眼光看事物，不难发现生活中存在着大量的黄金分割。

（1）（展示国歌的歌谱）同学们，国歌一个国家的象征，《义勇军进行曲》是我国的国歌，其实它是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐局组成的自由体乐段。

歌曲的高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比的振奋！

个案内容

（2）（展示芭蕾舞照片）芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。

请同学测量书上AB与AC的长，然后求出比值，看看结果是多少？

芭蕾舞演员的身材是苗条的，然而他们这个比值也只有0.58左右，于是人们设想：

如果让演员在表演时踮起脚尖，那么整个身高就可以增加6~8cm，这时，肚脐以下部分与整个身长的比就可以接近黄金数0.618，从而给人以更为优美的艺术形象。

（3）（展示上海东方明珠电视塔）上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽。

请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值。

你能举出生活中具有黄金分割的实际例子吗？

请与同学们交流。

三、练习巩固，固化新知

生活中很多地方都用到了黄金分割，比如：

1、一幅画，一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。

（展示图片）

2、舞台上，报幕员并不站在舞台的中央，而是偏在舞台的一侧，以站在舞台的长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的效果最好。

假设一个舞台的长度为10M的话，请问这位报幕员应站在什么地方比较合适？

3、教科书都是长方形，它的宽与长的比约为0.618。

书面太“胖”或者太“瘦”都不好看，只有符合黄金分割比的封面最好看。

请你量一下自己的数学书的长和宽，算出他们的比值，看你的书本是否符合黄金分割啊？

根据你的计算结果，说说你的看法。

已知老师的教参书的长是29.6cm，请问教参的宽大约是多少？

4、维纳斯雕像、雅典娜女神雕像等世界艺术珍品中，他们身材的比例合乎黄金分割，尤其是肚脐之下的长度与身高之比都接近0.618。

假设某人是标准身材，他的身高是1.8m，请问他的头顶到肚脐约多少米？

四、训练提高，加速知识的巩固

一）黄金分割在我们的周围有着广泛的应用，那我们怎么找出一条线段的黄金分割点呢？

下面让我们一起来学习黄金分割点的画法。

尝试：

1、作顶角为

的等腰三角形ABC

2、分别量出底边BC与腰AB的长度

3、作

的平分线，交AC于点D，量出

的底边CD的长度。

最后，分别求出

与

的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）

问：

比值是多少？

（大约是0.618）

所以我们把顶角为

的三角形称为黄金三角形。

它具有如下的性质：

个案内容

（1）

（2）设BD是

的底角的平分线，则

也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点

（3）如再作

的平分线，交BD于点E，则

也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形。

E

二）五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？

你能说明理由吗？

N

F

D

A

M

G

H

C

B

五、练习巩固、作业与思考

1、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果

那么下列说法错误的是（）

A、线段AB被点C黄金分割B、点C叫做线段AB的黄金分割点

C、AB与AC的比叫做黄金比D、AC与AB的比叫做黄金比

2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。

这个气温约为_______oC（精确到1oC）。

3、为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖?

为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?

为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？

请利用“黄金分割”的知识加以解释。

4、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？

（结果精确到0.1m）

5、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm（精确到0.1cm）1、请同学们自己找一找身上的“黄金分割点”并验证。

六、作业：

P109/1、2

10.3相似图形

个案内容

教学目标：

知识目标：

理解相似形的特征。

能力目标：

掌握相似形的识别方法。

情感目标：

在实际操作、思考、教学、欣赏的过程中进一步感悟教学与生活的密切联系，学会观察身边的事物，学会热爱生活，树立正确的价值取向。

教学重点：

通过测量、计算让学生感受相似形的特征，了解相似形的识别方法。

教学难点：

在运用特征解决有关线段或角度的问题时，应注意“对应”。

教学过程：

一、情境创设：

通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似：

个案内容

你能看出上述图片的共同之处吗？

（它们的大小不等，形状相同）

二、新课探究：

你还记得全等的图形吗？

说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别！

定义1：

形状相同的图形是相似的图形。

E

想一想：

你能举出生活中所见过的相似图形吗？

定义2：

各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

C

如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；

，则△ABC与△DEF相似，记做“△ABC∽△DEF”。

其中k叫做它们的相似比。

注意：

表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

思考：

如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？

　　定义3：

类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。

三、例题教学：

A

例1：

如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△DEF与△ABC相似吗？

为什么？

（具体解题过程见教案P112）

B

例2：

如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长（具体解题过程见教案P112）

个案内容

四、巩固练习：

（一）课本p113,练习1-2

（二）补充：

1、下列图形中不一定是相似图形的是（）

A、两个等边三角形B、两个等腰直角三角形

C、两个长方形D、两个正方形

2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于（）

A、50°B、95°C、35°D、25°

3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且

，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是。

4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。

五、小结：

1、相似形及相似三角形的定义；2、相似比的含义；3、相似三角形的性质。

六、作业：

P114、2、3、4

七、预习：

10．4　探索三角形相似的条件

（1）

三角形相似的判定1的内容是什么？

怎样理解？

10．4　探索三角形相似的条件

（1）

个案内容

教学目标：

知识目标：

使学生了解判定1的证明方法并会应用，掌握例2的结论。

能力目标：

1、继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。

2、通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。

情感目标：

1、通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。

2、渗透几何证明的统一美和简洁美。

教学重点：

判定定理1的应用，以及例2的结论。

教学难点：

了解判定定理1的证题方法与思路。

教学方法：

探讨发现法。

用类比的方法，由全等三角形的判定方法引出三角形相似的判定定理时，全等三角形的判定方法中的“对应边相等”，在这里是“对应边成比例”，而全等中的“ASA”由于只有一条边，不能写出比，因此用全等三角形中的“ASA”引出本节判定定理1时，不需要“边”这个条件，且探讨，有两角对应相等，两三角形是否相似？

教学过程：

一、复习提问，引入新课：

什么叫相似三角形？

什么叫相似比？

二、新课讲解，探索研究：

我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？

我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：

问：

判定两个三角形全等的方法有哪几种？

答：

SAS、ASA（AAS）、SSS、HL．

问：

全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

答：

“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”。

个案内容

问：

我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

答：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

强调：

（1）学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引异、纠正。

（2）用类比方法找出的新命题一定要加以证明。

如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=B′。

问：

△ABC与△A′B′C′是否相似？

分析：

可采用问答式以启发学生了解证明方法。

问：

我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？

答：

三角形相似的定义，

问：

应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理。

（1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取AD=A′B′，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”．

（2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取AD=A′B′，在边AC（或延长线上）截取AE=A′C′，连结DE，“作全等，证相似”．

（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

判定1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

∵∠…=∠…，∠…=∠…，

∴△…∽△…．

例1、已知：

△ABC和△A1B1C1中，∠A=50°，∠B=∠B1=60°，∠C1=70°。

△ABC与△A1B1C1相似吗？

为什么？

个案内容

此例题是判定的直接应用，应使学生熟练掌握．

例2、已知：

如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。

△ADE与△ABC相似吗？

为什么？

解：

（见教材）

该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定三角形相似。

三、练习巩固：

1、已知△ABC与△A’B’C’中，∠B=∠B’=750，∠C=500，∠A′=550，这两个三角形相似吗？

为什么？

2、判断正误,已知△ABC与△A’B’C’中，∠A、∠A’分别是对应角

（1）若∠A=∠A’，则△ABC∽△A’B’C’（）

（2）若∠B=∠B’且∠C=∠C’，则△ABC∽△A’B’C’（）

（3）若△ABC与△A’B’C’有一个角对应相等，则△ABC∽△A’B’C’（）

3、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）

A、1对B、2对C、3对D、4对

4、如图所示，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠AED=60°，则AD·AB=AE·AC，请你说明理由。

四、小结：

（1）判定1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路．

（2）判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．

五、作业：

教材P．125中　　1．

六、预习：

10.4探索三角形相似的条件

（2）

10.4探索三角形相似的条件

（2）

个案内容

教学目标：

知识目标：

1、使学生了解判定条件2、的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题；

2、通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解；

3、了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程。

能力目标：

继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。

情感目标：

渗透几何证明的统一美和简洁美。

教学重点：

使学生掌握三角形相似判定2，会运用它判定三角形相似。

教学难点：

对判定条件2作一种辅助线思路的进一步巩固，以及讨论这种类型题的审题及书写格式。

教学方法：

探讨发现法

在判定条件3的证明过程中，又一次运用了利用比例证明线段相等的方法，教学时要进一步讲明和巩固这种方法。

教学过程

一、复习提问，引入新课：

1、什么叫相似三角形？

我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

2、叙述判定定理1，定理1的证题思路是什么？

（①作相似，证全等，②作全等，证相似）

二、新课讲解，合作探究：

类比三角形全等判定的“SAS”让学生得出：

判定条件2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

已知：

如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:

AB=A′C′:

AC,∠A=∠A′。

试说明：

△ABC∽△A′B′C′。

为什么？

个案内容

建议“已知、求证”要学生自己写出。

讨论：

1、如图10－16，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？

2、如图，在△ABC中，AC＝4cm，AB＝2cm。

（1）在AC上取一点D，当AD＝______时，△ABD∽△ABC

（2）在AB的延长线上取一点E，当BE＝__时，△AEC∽△ABC；此时，CE与DB有怎样的位置关系？

为什么？

 这种类型的题具有两层意思：

一是对正确的题目加以说明；二是对不正确的题目要说出理由或举反例，但后者对于初二学生来说比较困难．为降低难度，这里的题目全是正确的，只要求学生能用学过的知识给出证明就可以了，不必研究如何判定两个三角形不相似．

三、练习巩固：

1、下列条件能判定△ABC∽△A/B/C/的有（）

（1）∠A=450，AB=12，AC=15，∠A/=450，A/B/=16，A/C/=20

（2）∠A=470，AB=1.5，AC=2，∠B/=470，A/B/=2.8，B/C/=2.1

（3）∠A=470，AB=2，AC=3，∠B/=470，A/B/=4，B/C/=6

A、0个B、1个C、2个D、3个

2、如图,在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件,还需添加的条件是，或或。

3、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3，AE=2，BD=4，试说明△ABC∽△ADE，并求AC、EC的长.

4、已知，如图，矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且DE=3AE。

说明：

△ABC∽△EAB。

个案内容

5、已知：

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E。

试说明：

（1）△ABD∽△CBE；

（2）△BDE∽△BAC。

四、小结：

1、让学生了解判定条件2的说明思路与方法；

2、会利用这个判定条件判定两个三角形是否相似。

五、作业：

教材P．126习题10.4中2、3．

六、预习：

10.4探索三角形相似的条件（3）

三角形相似的判定3的内容是什么？

如何证明？

10.4探索三角形相似的条件（3）

个案内容

教学目标：

知识目标：

1、使学生了解判定条件3的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题；

2、通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解；

3、了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程。

能力目标：

继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。

情感目标：

渗透几何证明的统一美和简洁美。

教学重点：

使学生掌握三角形相似判定条件3，会运用它判定三角形相似．

教学难点：

对判定条件2作辅助线思路的进一步巩固，以及例3这种类型题的审题及书写格式。

教学方法：

探讨发现法

在判定条件3的证明过程中，又一次运用了利用比例证明线段相等的方法，教学时要进一步讲明和巩固这种方法。

教学过程：

一、复习提问，引入新课：

1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方