中考二次函数综合题复习含答案.docx

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中考二次函数综合题复习含答案

中考二次函数综合题复习（含答案）

一、二次函数与面积

面积的求法：

①公式法：

S=1/2*底*高②分割法/拼凑法

1、如何表示各图中阴影部分的面积？

P

2、抛物线与轴交与A、B（点A在B右侧），与轴交与点C，D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.

3、已知抛物线与轴交与A、C两点，与轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：

在抛物线的对称轴上是否存点N，使得，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

变式二：

在双曲线上是否存在点N，使得，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线与轴交与A、B（点A在B右侧），与轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

【模拟题训练】

1．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．

（1）求B、C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

二、二次函数与相似

【相似知识梳理】

二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。

其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。

若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。

利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。

【例题点拨】

【例1】如图1-3，二次函数的图像与轴相交于点A、B，与轴相交于点C，经过点A的直线与轴相交于点D，与直线BC垂直于点E，已知AB=3，求这个二次函数的解析式。

【例2】如图1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为C，且在轴上截得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数解析式；

（2）在轴上方的抛物线上，是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

【例3】如图1-6，在平面直角坐标系中，二次函数-的图像经过点A（4,0），C（0,2）。

（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上；

（2）设所求函数图像的对称轴与轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标。

【模拟题训练】

2．（2015•崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C坐标；

（3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？

若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

三、二次函数与垂直

【方法总结】

①应用勾股定理证明或利用垂直②三垂直模型

【例1】：

如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（　　）

【例2】：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）直接填写：

a=，b=，顶点C的坐标为；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

【例3】、如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B（0,-3）,与x轴交于另一点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【模拟题训练】

3．（2015•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C在x轴上（不与点A重合）

（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）

（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标

（3）P是

（2）的二次函数图象上的一点，∠APC=90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．

4．如图，已知抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为M，与x轴交于A、B两点．

（1）判断△MAB的形状，并说明理由；

（2）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

四、二次函数与线段

题目类型：

①求解线段长度（定值，最值）：

充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（30°，45°，60°，90°，120°等）、特殊三角形（等腰△、等腰直角△、等边△）、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。

②判断线段长度关系：

a=b,a=√2b,a+b=c,a+b=√2c,a2+b2=c2,a*b=c2

【模拟题训练】

5．（2015•山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x2﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【特例探究】

（1）填空，当m=0时，OP=　_________　，PH=　_________　；当m=4时，OP=　_________　，PH=　_________　．

【猜想验证】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想．

【拓展应用】

（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x2﹣1变成y=x2﹣4x+3，直线l变成y=m（m＜﹣1）．已知抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m＜﹣1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：

该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．

①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；

②求m的值及点N的坐标．

五、二次函数与角度

结题方法总结

角度相等的利用和证明：

①直接计算②平行线③等腰三角形④全等、相似三角形⑤角平分线

性质⑥倒角（∠1=∠3，∠2=∠3→∠1=∠2）

【构造三垂直模型法】例1：

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为（）

【直接计算】例2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为（）

【与几何图形结合】例4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得∠PAC为锐角？

若存在，请你求出P点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。

【利用相似】例3、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点C（0，3），过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.

【模拟题训练】

6．（2015•松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；

（3）在第

（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

六、二次函数与平行四边形

解题方法总结：

①平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角）②比较一次函数k值③平行四边形的性质④注意多解性

【模拟题训练】

7．如图，抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2．

（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

七、二次函数与图形转换

常见图像变换：

①平移（上加下减，左加右减）②轴对称（折叠）

【模拟题训练】

8．（2014•西城区一模）抛物线y=x2﹣kx﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）将

（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；

（3）将线段BC平移得到线段B′C′（B的对应点为B′，C的对应点为C′），使其经过

（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B′到直线OC′的距离h的取值范围．

模拟训练题参考答案

1考点：

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分析：

（1）分别令解析式y=﹣x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；

（3）由

（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（4）设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：

解：

（1）令x=0，可得y=2，

令y=0，可得x=4，

即点B（4，0），C（0，2）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

将点A、B、C的坐标代入解析式得，

，

解得：

，

即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；

（3）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3=CD．

如图1所示，作CH⊥x对称轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（4）当y=