南京三模江苏省南京市盐城市届高三第三次调研考试数学含答案.docx
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南京三模江苏省南京市盐城市届高三第三次调研考试数学含答案
南京、盐城2019届高三第三次模拟考试试卷
数 学
(满分160分,考试时间120分钟)
2019.5
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合U={x|1 2.若复数z满足z(1+i)=1,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点在第________象限. 3.已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示,那么这一周该商品日销售量的平均数为________. 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,输出S的值为________. 5.若实数x,y满足则x+3y的最小值为________. 6.从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个不同的数字,则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________. 7.若函数f(x)=则f(log23)=________. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n-1,n∈N*.若bn=log3an,则b1+b2+b3+b4的值为________. 9.已知函数f(x)=2sin(ωx+),其中ω>0.若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根,且|x1-x2|的最小值为π,则当x∈[0,]时,f(x)的最小值为________. 10.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离心率为________. 11.有一个体积为2的长方体,它的长、宽、高依次为a,b,1.现将它的长增加1,宽增加2,且体积不变,则所得新长方体高的最大值为________. 12.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a,b是夹角为60°的两个单位向量.若向量c满足c·(a+2b)=-5,则|c|的最小值为________. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知MN是圆C: (x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l: x-3y-5=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是________. 14.已知函数f(x)=x2-alnx+x-,对任意x∈[1,+∞),当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1,则实数a的取值范围是________. 二、解答题: 本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知a,b,c分别是△ABC三个角A,B,C所对的边,且满足acosB+bcosA=. (1)求证: A=C; (2)若b=2,且·=1,求sinB的值. 16.(本小题满分14分) 在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=1,BC=2,∠ABC=60°. (1)求证: 平面PAC⊥平面PAB; (2)设平面PBC∩平面PAD=l,求证: BC∥l. 17.(本小题满分14分) 如图,某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m.摩天轮与景观之间有一建筑物,此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成.圆柱的底面中心P在线段AB上,且PB为45m.半球体球心Q到地面的距离PQ为15m.把摩天轮看作一个半径为72m的圆C,且圆C在平面BPQ内,点C到地面的距离CA为75m.该摩天轮匀速旋转一周需要30min,若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周,求该游客能看到点B的时长.(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡) 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)过点(1,),离心率为.A,B分别是椭圆C的上、下顶点,M是椭圆C上异于A,B的一点. (1)求椭圆C的方程; (2)若点P在直线x-y+2=0上,且=3,求△PMA的面积; (3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点O,A),直线NA与直线BM交于点P,求·的值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=lnx++1,a∈R. (1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b,求a,b的值; (2)记g(x)=f(x)+ax,若函数g(x)在区间(0,)上有最小值,求实数a的取值范围; (3)当a=0时,关于x的方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数r,t,且r (1)若首项为3,公差为d的等差数列{an}是“M(r,2r)数列”,求d的值; (2)已知数列{an}为等比数列,公比为q. ①若数列{an}为“M(r,2r)数列”,r≤4,求q的值; ②若数列{an}为“M(r,t)数列”,q∈(-1,0),求证: r为奇数,t为偶数. 2019届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修42: 矩阵与变换) 已知矩阵M=. (1)求M2; (2)求矩阵M的特征值和特征向量. B.(选修44: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,以极点O为坐标原点,极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(其中α为参数,r>0).若直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=3,求r的值. C.(选修45: 不等式选讲) 若x,y,z为实数,且x2+4y2+9z2=6,求x+2y+6z的最大值. 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.在平面直线坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)及点M(2,0),动直线l过点M交抛物线于A,B两点,当l垂直于x轴时,AB=4. (1)求p的值; (2)若l与x轴不垂直,设线段AB中点为C,直线l1经过点C且垂直于y轴,直线l2经过点M且垂直于直线l,记l1,l2相交于点P,求证: 点P在定直线上. 23.对由0和1这两个数字组成的字符串,作如下规定: 按从左向右的顺序,当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*,且k≥3)位,则称子串“010”在第k位出现;再继续从第k+1位按从左往右的顺序找子串“010”,若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k+m位(其中m≥3,且m∈N*),则称子串“010”在第k+m位出现;……;如此不断地重复下去.如: 在字符串11010101010中,子串“010”在第5位和第9位出现,而不是在第7位和第11位出现.记在n位由0,1组成的所有字符串中,子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n). (1)求f(3),f(4)的值; (2)求证: 对任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数. 2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准 1.{4,5} 2.四 3.30 4. 5.-5 6. 7. 8.6 9.-1 10. 11. 12. 13.2+2 14.(-∞,1] 15. (1)证明: 由正弦定理===2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入acosB+bcosA=,得(sinAcosB+sinBcosA)cosC=sinCcosA,(2分) 即sin(A+B)cosC=sinCcosA. 因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sinC,所以sinCcosC=sinCcosA.(4分) 因为C是△ABC的内角,所以sinC≠0,所以cosC=cosA. 因为A,C是△ABC的内角,所以A=C.(6分) (2)解: 由 (1)知A=C,所以a=c,所以cosB==.(8分) 因为·=1,所以a2cosB=a2-2=1,所以a2=3.(10分) 所以cosB=.(12分) 因为B∈(0,π),所以sinB==.(14分) 16.证明: (1)因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PA⊥AC.(2分) 因为AB=1,BC=2,∠ABC=60°,由余弦定理, 得AC===.(4分) 因为12+()2=22,即AB2+AC2=BC2,所以AC⊥AB.(6分) 因为AC⊥PA,且PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB, 所以AC⊥平面PAB. 又AC 平面PAC,所以平面PAC⊥平面PAB.(8分) (2)因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.(10分) 因为BC 平面PBC,且平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.(14分) 17.解: 以点B为坐标原点,BP所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则B(0,0),Q(45,15),C(160,75). 过点B作直线l与圆Q相切,与圆C交于点M,N, 设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0, 则点Q到l的距离为=15, 解得k=或k=0(舍去). 所以直线l的方程为y=x,即3x-4y=0.(4分) 点C(160,75)到直线l的距离CH==36.(6分) 在Rt△CHM中,因为CH=36,CM=72,所以cos∠MCH==.(8分) 因为∠MCH∈(0,),所以∠MCH=,所以∠MCN=2∠MCH=,(12分) 所以所用时长为30×=10min.(13分) 答: 该游客能看到点B的时长为10min.(14分) 18.解: (1)因为椭圆过点(1,),离心率为, 所以+=1,=1-e2=,解得a2=2,b2=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1.(2分) (2)由 (1)知B(0,-1),设M(x0,y0),P(x,y). 由=3,得(x,y+1)=3(x0,y0+1),则x=3x0,y=3y0+2. 因为P在直线x-y+2=0上,所以y0=x0 ①.(4分) 因为M在椭圆C上,所以+y=1,将①代入上式,得x=.(6分) 所以|x0|=,从而|xP|=, 所以S△PMA=S△PAB-S△MAB=×2×-×2×=.(8分) (3)(解法1)由 (1)知,A(0,1),B(0,-1). 设D(0,m),0<m<1,M(x1,y1),N(x2,y2). 因为MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x+m. 联立方程组消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0, 所以x1+x2=-,x1·x2=.(10分) 直线MB的方程为y=x-1,直线NA的方程为y=x+1, 联立解得yP=.(12分) 将y1=x1+m,y2=x2+m代入,得 yP====.(14分) 所以·=(0,m)·(xP,yP)=myP=m·=1.(16分) (解法2)由 (1)知,A(0,1),B(0,-1).设M(x0,y0),则+y=1. 因为直线MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x-x0+y0,则D(0,y0-x0). 联立方程消去y,得3x2-4(x0-y0)x+2(x0-y0)2-2=0, 所以xN+x0=,(10分) 所以xN=,yN=-, 所以直线NA的方程为y=x+1=x+1, 直线MB的方程为y=x-1, 联立解得yP=.(12分) 因为+y=1, 所以yP==,(14分) 所以·=(0,y0-x0)·(xP,yP)=(y0-x0)=1.(16分) 19.解: (1)f′(x)=-,则f′ (1)=1-a=2,解得a=-1,则f(x)=lnx-+1, 此时f (1)=ln1-1+1=0,则切点坐标为(1,0),代入切线方程,得b=-2, 所以a=-1,b=-2.(2分) (2)g(x)=f(x)+ax=lnx++ax+1,g′(x)=-+a=. ①当a=0时,g′(x)=>0,则g(x)在区间(0,)上为增函数,则g(x)在区间(0,)上无最小值.(4分) ②当a≠0时,方程ax2+x-a=0的判别式Δ=1+4a2>0, 则方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2, 由韦达定理得x1x2=-1,则两根一正一负,不妨设x1<0<x2. 设函数m(x)=ax2+x-a(x>0), (i)若a>0, 当x2∈(0,)时,m(0)=-a<0,m()=+-a>0,解得0<a<. 此时当x∈(0,x2)时,m(x)<0,则g(x)递减;当x∈(x2,)时,m(x)>0,则g(x)递增, 当x=x2时,g(x)取极小值,即为最小值. 当x2≥时,x∈(0,),m(x)<0,则g(x)在(0,)上单调递减,无最小值.(6分) (ii)若a<0, 当x∈(0,x2)时,m(x)>0,则g(x)递增; 当x∈(x2,+∞)时,m(x)<0,则g(x)递减, 在区间(0,)上,g(x)不会有最小值. 所以a<0不满足条件. 综上,当0<a<时,g(x)在区间(0,)上有最小值.(8分) (3)当a=0时,由方程f(x)=bx2,得lnx+1-bx2=0. 记h(x)=lnx+1-bx2,x>0,则h′(x)=-2bx=. ①当b≤0时,h′(x)>0恒成立,即h(x)在(0,+∞)上为增函数, 则函数h(x)至多只有一个零点,即方程f(x)=bx2至多只有一个实数根, 所以b≤0不符合题意.(10分) ②当b>0时, 当x∈(0,)时,h′(x)>0,所以函数h(x)递增; 当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,所以函数h(x)递减, 则h(x)max=h()=ln+. 要使方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根, 则h()=ln+>0,解得0<b<.(12分) (i)当0<b<时,h()=-<0. 又()2-()2=<0,则<, 所以存在唯一的x1∈(,),使得h(x1)=0.(14分) (ii)h()=ln+1-=-lnb+1-,记k(b)=-lnb+1-,0<b<. 因为k′(b)=-+=,则k(b)在(0,1)上为增函数,在(1,)上为减函数, 则k(b)max=k (1)=0,则h()≤0. 又()2-()2=>0,即>, 所以存在唯一的x2∈(,],使得h(x2)=0. 综上,当0<b<时,方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根.(16分) 20. (1)解: 因为{an}是M(r,2r)数列,所以Sr=2r,且S2r=r. 由Sr=2r,得3r+d=2r.因为r>0,所以(r-1)d=-2 (*). 由S2r=r,得6r+d=r.因为r>0,所以(2r-1)d=-5 (**). 由(*)和(**),解得r=3,d=-1.(2分) (2)①解: (i)若q=1,则Sr=ra1,St=ta1. 因为{an}是M(r,2r)数列,所以ra1=2r (*),2ra1=r (**). 由(*)和(**),得a1=2且a1=,矛盾,所以q≠1.(3分) (ii)当q≠1,因为{an}是M(r,2r)数列,所以Sr=2r,且S2r=r, 即=2r (*),=r (**). 由(*)和(**),得qr=-.(5分) 当r=1时,q=-;当r=2,4时,无解;当r=3时,q=-. 综上,q=-或q=-.(6分) ②证明: 因为{an}是M(r,t)数列,q∈(-1,0),所以Sr=t,且St=r, 即=t,且=r, 两式作商,得=,即r(1-qr)=t(1-qt).(8分) (i)若r为偶数,t为奇数,则r(1-|q|r)=t(1+|q|t). 因为r<t,0<1-|q|r<1,1+|q|t>1,所以r(1-|q|r)<t(1+|q|t), 这与r(1-|q|r)=t(1+|q|t)矛盾,所以假设不成立.(10分) (ii)若r为偶数,t为偶数,则r(1-|q|r)=t(1-|q|t). 设函数y=x(1-ax),0<a<1,则y′=1-ax-xaxlna. 当x>0时,1-ax>0,-xaxlna>0,所以y=x(1-ax)在(0,+∞)上递增. 因为r<t,所以r(1-|q|r)<t(1-|q|t), 这与r(1-|q|r)=t(1-|q|t)矛盾,所以假设不成立.(12分) (iii)若r为奇数,t为奇数,则r(1+|q|r)=t(1+|q|t). 设函数y=x(1+ax),0<a<1,则y′=1+ax+xaxlna. 设g(x)=1+ax+xaxlna,则g′(x)=axlna(2+xlna). 令g′(x)=0,得x=-.因为ax>0,lna<0, 所以当x>-,g′(x)>0,则g(x)在区间(-,+∞)上递增; 当0<x<-,g′(x)<0,则g(x)在区间(0,-)上递减, 所以g(x)min=g(-)=1-a-. 因为->0,所以a-<1,所以g(x)min>0, 从而g(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 所以y=x(1+ax),0<a<1在(0,+∞)上单调递增. 因为r<t,所以r(1+|q|r)<t(1+|q|t), 这与r(1-|q|r)=t(1-|q|t)矛盾,所以假设不成立.(14分) (iv)若r为奇数,t为偶数. 由①知,存在等比数列{an}为“M(1,2)数列”. 综上,r为奇数,t为偶数.(16分) 2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.解: (1)M2==.(4分) (2)矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ-1)(λ-3). 令f(λ)=0,解得M的特征值为λ1=1,λ2=3.(6分) ①当λ=1时,=,得 令x=1,则y=-1,于是矩阵M的一个特征向量为.(8分) ②当λ=3时,=3,得 令x=1,则y=1,于是矩阵M的一个特征向量为. 因此,矩阵M的特征值为1,3,分别对应一个特征向量为,.(10分) B.解: 直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2分) 曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=r2.(4分) 因为圆心C(2,-1)到直线l的距离d==,(6分) 所以r==.(10分) C.解: 由柯西不等式,得[x2+(2y)2+(3z)2](12+12+22)≥(x+2y+6z)2.(4分) 因为x2+4y2+9z2=6,所以(x+2y+6z)2≤36,(6分) 所以-6≤x+2y+6z≤6. 当且仅当==时,不等式取等号, 此时x=1,y=,z=或x=-1,y=-,z=-,(8分) 所以x+2y+6z的最大值为6.(10分) 22. (1)解: 因为l过M(2,0),且当l垂直于x轴时,AB=4, 所以抛物线经过点(2,2),代入抛物线方程,得4=2p×2,解得p=1.(2分) (2)证明: 设直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立消去x,得ky2-2y-4k=0, 则y1+y2=,y1y2=-4.(4分) 因为点C为AB中点,所以yC==,则直线l1的方程为y=.(6分) 因为直线l2过点M且与l垂直,则直线l2的方程为y=-(x-2). 联立(8分) 解得即P(1,), 所以点P在定直线x=1上.(10分) 23. (1)解: 在3位数字符串中,子串“010”在第3位出现有且只有1个,即010, 所以f(3)=1.(2分) 在4位数字符串中,子串“010”在第4位出现有2个,即0010与1010, 所以f(4)=2.(4分) (2)证明: 当n≥5且n∈N*时,当最后3位是010时,前n-3个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即0和1,所以共有2n-3种可能. 由于当最后3位是010时,若最后5位是01010,且前n-2位形成的字符串中是子串“010”是在第n-2位出现,此时不满足条件. 所以f(n)=2n-3-f(n-2),n≥5且n∈N*.(6分) 因为f(3)=1,所以f(5)=3. 下面用数学归纳法证明f(4n+1)是3的倍数. ①当n=1时,f(5)=3是3的倍数; ②假设当n=k(k∈N*)时,f(4k+1)是3的倍数, 那么当n=k+1时, f(4(k+1)+1)=f(4k+5)=24k+2-f(4k+3)=24k+2-[24k-f(4k+1)] =3×24k+f(4k+1).(8分) 因为f(4k+1)是3的倍数,且3×24k也是3的倍数,所以f(4k+5)是3的倍数. 这就是说,当n=k+1时,f(4(k+1)+5)是3的倍数. 由①②可知,对任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数.(10分)
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