泸州三质测届四川省泸州市高三第三次诊断性考试理科数学解析版.docx
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泸州三质测届四川省泸州市高三第三次诊断性考试理科数学解析版
泸州市2011级高三第三次教学质量诊断性考试
数学(理工类)2014.4.10
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页,第二部分3至4页,共150分。
考试时间120分钟。
第一部分(选择题共50分)
注意事项:
用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在草稿子、试题卷上。
一、本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的。
1、若
,
,
,则
()
【答案】:
C
【解析】:
本题考查集合的基本概念;显然
,∴
.选C.
A、
B、
C、
D、
2、如图,向量
对应的复数为
,则
对应的复数是()
【答案】:
D.
【解析】:
本题考查复数的基本概率和综合应用;由图得
,既
.
∴
.选D.
A、
B、
C、
D、
3、命题
:
,
,则()
A、
是假命题;
:
,
B、
是假命题;
:
,
C、
是真命题;
:
,
D、
是真命题;
:
,
【答案】:
C.
【解析】:
本题考查命题的四种基本形式;显然命题
是真命题,排除A、B;只有C满足.
4、已知
为锐角,
,则
的值是()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
A.
【解析】:
本题考查三角函数的基本公式;计算时不要马虎.
,而
.选A.
5、在区间
上任取三个数
,
,
,若向量
,则事件
发生的概率是()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
B.
【解析】:
本题考查综合度较大,中档题.设
,则
,由题意得:
,故点
对应的基本事件(反面)
是一个棱长为1的正方体,故它的体积为1.
记向量
对应事件为
,因为
得
即事件
对应的基本事件空间是以
坐标原点为球心,半径为1的球体在第一象限内的部分,其体积为球体体积的
.
∴
.∴
.选B.
6、用
,
,
,
,…,
这
个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
B
【解析】:
本题考查事件分类.①当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,十位有8种,共有8×8×4=256②当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,共有9×8×1=72种,根据分类计数原理知共有256+72=328种.故选B.
7、某厂生产甲、乙两种产品,生产甲种产品每单位需
种原料
克,
种原料
克,每单位利润
元;生产乙种产品每单位需
种原料和
种原料各
克,每单位利润
元。
现有
种原料
克,
种原料
克,如果企业合理搭配甲、乙两产品的生产单位,工厂可获得最大利润为()
A、
元B、
元C、
元D、
元
【答案】:
A.
【解析】:
本题着重考查线性规划的基本概念及应用.
设生产甲、乙两种产品分别为x单位、y单位,所获利润为z元,则z=60x+80y.
依题意,有
线性规划如右图所示:
得到
时使得利润最大化.
∴
元.故选A.
8、已知椭圆
:
(
)的离心率为
,双曲线
的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为
,则椭圆
的方程()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
D.
【解析】:
本题考查双曲线的性质,考查椭圆的标准方程与性质,要正确应用双曲线的性质是关键.
由题意得:
双曲线
的渐近线方程为
,根据以这四个交点为顶点的四边形面积为16.
在椭圆
利用
转化方程.∵点
在椭圆
上,∴
.
∵
,∴
故
,∴椭圆方程为
.选D.
9、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
B.
【解析】:
本题考查考生的空间构建发散思维.
结合主视图、左视图和俯视图不难推出这个几何体是个底面为直角
边长为4和5的三角形,一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,
底边长为5,如图所示:
,
,
,
.
∴
.故选B.
10、已知
是定义在
上的单调函数,
是
的导函数,若对
,都有
,则方程
的解所在的区间是()
A、
B、
C、
D、
【答案】:
C.
【解析】:
本题考查函数的单调性,要巧妙应用定值思想和二分法以及特殊值法.
根据题意:
对任意的
,都有
.
则
为定值.设
,则
.又由
,即
.
可解得
.则
,∴
.∴
.
令
,分析得
,
.
故
的零点在
之间.则方程
在
之间.选C.
第二部分(非选择题共100分)
注意事项:
必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、二次函数
是偶函数,则实数
_________。
【答案】:
4.
【解析】:
本题考查偶函数的基本性质.令
解出
.
12、在面积为
的扇形中,扇形周长的最小值为____________
。
【答案】:
8.
【解析】:
本题考查扇形的周长和面积计算公式以及不等式性质延伸.
设圆心角为
(不是度数),扇形半径为
,则
.得
而扇形周长
(均值不等式).
且仅当
时满足上述条件,故
,圆心角为2.∴周长最小为8.
13、已知
为如图所示的程序框图输出的结果,则在
的展开式中
的系数为____________(用具体数字作答)。
【答案】:
-20
【解析】:
程序框图和二项式的考查;简单题.
根据程序框图的走向,发现输出的
.故
的系数为
.
14、抛物线
:
的准线与
轴相交于点
,过点
斜率
为正的直线交
于两点
、
,
为
的焦点,若
,则
____________。
【答案】:
.
【解析】:
略.
15、在
中,
是其外接圆的圆心,其两边中线的交点是
,两条高线的交点是
,给出下列结论或命题:
(1)动点
满足
,则动点
的轨迹一定过点
;
(2)动点
在
所在平面内,则点
与
重合时,使
的值最小;
(3)动点
满足
,则点
的轨迹一定过点
;
(4)
。
其中正确结论或命题的序号是____________。
(填上所有正确结论或命题的序号)
【答案】:
①②③.
【解析】:
略.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
已知函数
。
(Ⅰ)求函数
的最小正周期;
(Ⅱ)在面积为
的
中,
、
、
分别是角
、
、
的对边,若
,
,求
的值。
【解析】:
本题考查三角函数的基本变形能力和正、余弦定理的巧妙利用.
【答案】:
∵
.
因为
,故最小正周期
.
由上面得
.在
中,
.
由正玄定理得:
.
∵
,∴
.
而
.
又由余弦定理得:
,带入相关数据解出
.
17、(本小题满分12分)
某市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”,测试成绩满分为
分,规定测试成绩在
之间为体质优秀;在
之间为体质良好;在
之间为体质合格;在
之间为体质不合格。
现从某校高三年级的
名学生中随机抽取
名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如下:
(Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数;
(Ⅱ)根据以上
名学生体质健康测试成绩,现采用分层抽样的方法,从体质为优秀和良好的学生中抽取
名学生,再从这
名学生中选出
人,记
为选出的
名学生中体质为良好的人数,求
的分布列及数学期望。
【解析】:
本题着重考查茎叶图的基本概念以及概概率事件、期望的总额和应用.
【答案】:
(I)根据抽样再结合茎叶图,估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有
人.
(II)依照题意:
体质为良好和优秀的学生人数之比为15:
10=3:
2.
∴体制为良好的学生中抽取的人数为
人,故随机变量
的所有取值为1,2,3.
∴
;
;
.
所以,随机变量
的分布列为:
1
2
3
∴期望
.
18、(本小题满分12分)
已知
为等差数列
的前
项和,若
,
。
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)在等比数列
中,
,
,
,设
,
,求数列
的最大项与最小项的值。
【解析】:
本题考查等差、等比数列的基本性质和综合应用.考生要留意数列求前
项和的非常规套路.
【答案】:
由题意得:
在等差数列
中,
;
.
联立求解得出:
,
∴数列
的通项公式为
.
(II)由(I)得
,
∴数列
的通项公式为
.
∴数列
的前
项和
.
∴
.∴
.
∴令
,且
在
为奇数时,单调递减,
为偶数单调递增.
∴
,在这里着重对
讨论,当
为偶数,单调递减,故当
时
取得最小值为
.
为奇数时,
单调递减,故
时取得最大值
∴综上所述,最大值为
;最小值为
.
19、(本小题满分12分)
已知
平面
,
平面
,
为等边三角形,
,
在线段
上。
(Ⅰ)若
,试判断直线
与平面
的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)当二面角
的平面角的正弦值为
时,求
的值。
【解析】:
本题考查线面关系和二面角的综合应用,中档题.
【答案】:
证明:
取
的中点
,连接
、
.
∵
中点,∴
.∵
平面
,
平面
.∴
故
,又∵
∴
,∴四边形
为平行四边形,则
.
∵
平面
,
平面
.∴
平面
.
(II)建立如右图所示的空间直角坐标系.
设
,则
.
.
设
;∴
而平面
的法向量为
,设平面
的法向量为
.
则满足
(过程自己算)
故
,∴
.
20、(本小题满分13分)
已知函数
(
为自然对数的底数),
。
(Ⅰ)若
时,函数
在
内是增函数,求
的取值范围;
(Ⅱ)当
时,求函数
的最小值;
(Ⅲ)当
时,设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
、
,过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
、
于点
、
,问是否存在点
,使
在
处的切线与
在
处的切线平行?
若存在,求出
的横坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】:
(I)依据题意:
,∵
在
内是增函数,
∴
对
恒成立.
∴
,∵
,则
,∴
的取值范围是
.
(II)设
,则函数化为
.
∵
,∴当
时,函数
在
上为增函数.
当
时,
,∴当
,即
时,当
时,
.
当
,即
时,函数
在
时减函数,当
时,
.
综上所述:
...
(III)设点
的坐标依次是
,且
.
则点
的横坐标为
,
在点
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- 泸州 三质测届 四川省 泸州市 第三次 诊断 考试 理科 数学 解析